數(shù)學(xué)建?！逯蹬c擬合

1、插值與擬合插值與擬合一、概述一、概述二、基本概念二、基本概念三、插值與擬合的區(qū)別和聯(lián)系三、插值與擬合的區(qū)別和聯(lián)系四、插值的四、插值的MATLABMATLAB實現(xiàn)實現(xiàn)五、擬合的五、擬合的MatlabMatlab實現(xiàn)實現(xiàn) 我們經(jīng)常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，我們經(jīng)常會遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，例如而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，例如數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計、插值等數(shù)據(jù)處理算法。此類問題在法。此類問題在MATLAB中有很多現(xiàn)成的中有很多現(xiàn)成的函數(shù)可以調(diào)用，熟悉函數(shù)可以調(diào)用，熟悉MATLAB，這些方法，這些方法都能游刃有余的用好。都能游刃有余的

2、用好。 一、一、 數(shù)據(jù)擬合在很多賽題中有應(yīng)用，與圖形數(shù)據(jù)擬合在很多賽題中有應(yīng)用，與圖形處理有關(guān)的問題很多與插值和擬合有關(guān)系，處理有關(guān)的問題很多與插值和擬合有關(guān)系，例如例如9898年美國賽年美國賽A A題，生物組織切片的三維插題，生物組織切片的三維插值處理，值處理，9494年年A A題逢山開路，山體海拔高度的題逢山開路，山體海拔高度的插值計算，插值計算，20032003年吵的沸沸揚揚的年吵的沸沸揚揚的“非典非典”問題也要用到數(shù)據(jù)擬合算法，觀察數(shù)據(jù)的走問題也要用到數(shù)據(jù)擬合算法，觀察數(shù)據(jù)的走向進(jìn)行處理，向進(jìn)行處理， 20052005年的雨量預(yù)報的評價的插年的雨量預(yù)報的評價的插值計算。值計算。2001

3、2001年的公交車調(diào)度擬合問題，年的公交車調(diào)度擬合問題，20032003年的飲酒駕車擬合問題。年的飲酒駕車擬合問題。預(yù)測點和實測點的圖形預(yù)測點和實測點的圖形插值后的圖形插值后的圖形喝兩瓶酒的擬合曲線喝兩瓶酒的擬合曲線喝喝1-5瓶酒的擬合曲線瓶酒的擬合曲線 在實際中，常常要處理由實驗或測量所在實際中，常常要處理由實驗或測量所得到的一些離散數(shù)據(jù)。插值與擬合方法就是得到的一些離散數(shù)據(jù)。插值與擬合方法就是要通過這些數(shù)據(jù)去確定某一類已知函數(shù)的參要通過這些數(shù)據(jù)去確定某一類已知函數(shù)的參數(shù)或?qū)で竽硞€近似函數(shù)，使所得到的近似函數(shù)或?qū)で竽硞€近似函數(shù)，使所得到的近似函數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高的擬合精度。數(shù)與已知數(shù)據(jù)有較高

4、的擬合精度。 如果要求這個近似函數(shù)（曲線或曲面）如果要求這個近似函數(shù)（曲線或曲面）經(jīng)過所已知的所有數(shù)據(jù)點，則稱此類問題為經(jīng)過所已知的所有數(shù)據(jù)點，則稱此類問題為插值問題插值問題。 （不需要函數(shù)表達(dá)式）（不需要函數(shù)表達(dá)式）二、二、 如果不要求近似函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點，如果不要求近似函數(shù)通過所有數(shù)據(jù)點，而是要求它能較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近而是要求它能較好地反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法稱為似函數(shù)的方法稱為數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合。（必須有函數(shù)。（必須有函數(shù)表達(dá)式）表達(dá)式） 近似函數(shù)不一定（曲線或曲面）通過所近似函數(shù)不一定（曲線或曲面）通過所有的數(shù)據(jù)點。有的數(shù)據(jù)點。 1 1、聯(lián)系、聯(lián)系都是根據(jù)實際中一組已知

5、數(shù)據(jù)來構(gòu)造一個能夠都是根據(jù)實際中一組已知數(shù)據(jù)來構(gòu)造一個能夠反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法。反映數(shù)據(jù)變化規(guī)律的近似函數(shù)的方法。2 2、區(qū)別、區(qū)別插值問題插值問題不一定得到近似函數(shù)的表達(dá)形式，僅不一定得到近似函數(shù)的表達(dá)形式，僅通過插值方法找到未知點對應(yīng)的值。通過插值方法找到未知點對應(yīng)的值。數(shù)據(jù)擬合數(shù)據(jù)擬合要求得到一個具體的近似函數(shù)的表達(dá)式。要求得到一個具體的近似函數(shù)的表達(dá)式。 三、插值與三、插值與四、四、 當(dāng)數(shù)據(jù)量不夠，需要補充，且認(rèn)定已有數(shù)當(dāng)數(shù)據(jù)量不夠，需要補充，且認(rèn)定已有數(shù)據(jù)可信時據(jù)可信時, , 通常利用函數(shù)插值方法。通常利用函數(shù)插值方法。 實際問題當(dāng)中碰到的函數(shù)實際問題當(dāng)中碰到的函數(shù) f

6、(x) 是各種各是各種各樣的，有的表達(dá)式很復(fù)雜，有的甚至給不出數(shù)樣的，有的表達(dá)式很復(fù)雜，有的甚至給不出數(shù)學(xué)的式子，只提供了一些離散數(shù)據(jù)，警如，某學(xué)的式子，只提供了一些離散數(shù)據(jù)，警如，某些點上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值。些點上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值。 4.1 4.1 引言引言 選用不同類型的插值函數(shù)，逼近的效選用不同類型的插值函數(shù)，逼近的效果就不同，一般有：果就不同，一般有：（1）拉格朗日插值（）拉格朗日插值（lagrange插值）插值）（2）分段線性插值）分段線性插值（3）Hermite（4）三次樣條插值。）三次樣條插值。 4.2 4.2 插值方法插值方法 Matlab 實現(xiàn)：實現(xiàn)分段線性插值不需實現(xiàn)：實現(xiàn)分

7、段線性插值不需要編制函數(shù)程序，它自身提供了內(nèi)部的功要編制函數(shù)程序，它自身提供了內(nèi)部的功能函數(shù)能函數(shù)interp1(一維插值一維插值) intep2(二維二維) interp3(三維三維) intern(n維維) 4.3 MATLAB 4.3 MATLAB實現(xiàn)插值實現(xiàn)插值用用MATLAB作插值計算作插值計算一維插值函數(shù)：一維插值函數(shù)：yi=interp1(x，y，xi，method)插值方法插值方法被插值點被插值點插值節(jié)點插值節(jié)點xi處的處的插值結(jié)果插值結(jié)果nearest 最鄰近插值；最鄰近插值；linear 線性插值；線性插值；spline 三次樣條插值；三次樣條插值；cubic 立方插值；立

8、方插值； 缺省時缺省時 分段線性插值分段線性插值 注意：所有的插值方法注意：所有的插值方法都要求都要求x是單調(diào)的，并且是單調(diào)的，并且xi不不能夠超過能夠超過x的范圍的范圍例：從例：從1 1點點1212點點的的1111小時內(nèi)，每隔小時內(nèi)，每隔1 1小時測量一次溫小時測量一次溫度，測得的溫度的數(shù)值依次為：度，測得的溫度的數(shù)值依次為：5 5，8 8，9 9，1515，2525，2929，3131，3030，2222，2525，2727，2424試估計每隔試估計每隔1/101/10小小時的溫度值時的溫度值hours=1:12;temps=5 8 9 15 25 29 31 30 22 25 27 24

9、;h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,spline); plot(hours,temps,+,h,t,hours,temps,r:) %作圖作圖xlabel(Hour),ylabel(Degrees Celsius)0246810125101520253035xy機翼下機翼下輪廓線輪廓線例例 已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求已知飛機下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求x每改變每改變0.1時的時的y值值05101500.511.522.5二維插值的定義二維插值的定義 xyO O第一種（網(wǎng)格節(jié)點）：第一種（網(wǎng)格節(jié)點）： 已知已知 m n個節(jié)點個節(jié)點 ),2 , 1;,.,2 ,

10、1(),(njmizyxijji 其中其中jiyx ,互不相同，不妨設(shè)互不相同，不妨設(shè)bxxxam 21dyyycn 21 構(gòu)造一個二元函數(shù)構(gòu)造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點通過全部已知節(jié)點,即即再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz ),1 ,0;,1 ,0(),(njmizyxfijji 第二種（散亂節(jié)點）：第二種（散亂節(jié)點）： yx0 0已知已知n個節(jié)點個節(jié)點),.,2 , 1(),(nizyxiii 其中其中),(iiyx互不相同，互不相同， 構(gòu)造一個二元函數(shù)構(gòu)造一個二元函數(shù)),(yxfz 通過全部已知節(jié)點通過全部已知節(jié)點,即即),1 ,0(),(

11、nizyxfiii 再用再用),(yxf計算插值，即計算插值，即).,(*yxfz 返回返回 要求要求x0, ,y0單調(diào)；單調(diào)；x，y可取可取為矩陣，為矩陣，或或x取行向量，取行向量，y取為列向量取為列向量，x,y的值分別不能的值分別不能超出超出x0, ,y0 0的范圍的范圍z=interp2(x0,y0,z0,x,y,method)被插值點插值方法用用MATLAB作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值作網(wǎng)格節(jié)點數(shù)據(jù)的插值插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearest 最鄰近插值；最鄰近插值；linear 雙線性插值；雙線性插值；cubic 雙三次插值；雙三次插值；缺省時缺省時 雙線性插值雙線性插值. .例：測得平板表

12、面例：測得平板表面3 35 5網(wǎng)格點處的溫度分別為：網(wǎng)格點處的溫度分別為： 82 81 80 82 84 82 81 80 82 84 79 63 61 65 81 79 63 61 65 81 84 84 82 85 86 84 84 82 85 86 試作出平板表面的溫度分布曲面試作出平板表面的溫度分布曲面z= =f( (x, ,y) )的圖形的圖形輸入以下命令：輸入以下命令：x=1:5;y=1:3;temps=82 81 80 82 84;79 63 61 65 81;84 84 82 85 86;mesh(x,y,temps)1.先在三維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲線圖先在三

13、維坐標(biāo)畫出原始數(shù)據(jù)，畫出粗糙的溫度分布曲線圖.2以平滑數(shù)據(jù)以平滑數(shù)據(jù),在在 x、y方向上每隔方向上每隔0.2個單位的地方進(jìn)行插值個單位的地方進(jìn)行插值.再輸入以下命令再輸入以下命令:xi=1:0.2:5;yi=1:0.2:3;zi=interp2(x,y,temps,xi,yi,cubic);mesh(xi,yi,zi)畫出插值后的溫度分布曲面圖畫出插值后的溫度分布曲面圖. 例例 山地高程繪圖山地高程繪圖要在山區(qū)修一條公路，要在山區(qū)修一條公路，首先測得一些地點的高程，數(shù)據(jù)見表首先測得一些地點的高程，數(shù)據(jù)見表.表中的數(shù)據(jù)為在平面區(qū)域表中的數(shù)據(jù)為在平面區(qū)域 0 x2000, 0yx=0:4:20;

14、%給出給出X軸的坐標(biāo)軸的坐標(biāo)y=0:4:20; %給出給出Y軸的坐標(biāo)軸的坐標(biāo)z=37 51 65 74 83 88; 47 62 76 88 98 106; ; 69 87 105 128 142 150; %給出（給出（xi，yj）點的高程）點的高程 zij：X，Y=meshgrid(0:1:20,0:1:20); % 給出加密的插值坐標(biāo)網(wǎng)格給出加密的插值坐標(biāo)網(wǎng)格Z=interp2(x,y,z,X,Y,spline);%在坐標(biāo)上進(jìn)行樣條插值在坐標(biāo)上進(jìn)行樣條插值畫圖：畫圖：clf;%清空圖形坐標(biāo)系中的內(nèi)容清空圖形坐標(biāo)系中的內(nèi)容mesh(X,Y,Z) %在網(wǎng)格上畫出插值的結(jié)果在網(wǎng)格上畫出插值的結(jié)

15、果hold on %打開在同一坐標(biāo)系中畫圖的功能打開在同一坐標(biāo)系中畫圖的功能contour(X,Y,Z) %畫平面等高線畫平面等高線con3=contour3(X,Y,Z) %畫三維等高線畫三維等高線clabel(con3) %標(biāo)高程標(biāo)高程hold off %結(jié)束作圖結(jié)束作圖 插值函數(shù)插值函數(shù)griddata格式為格式為: cz =griddata（x，y，z，cx，cy，method）用用MATLAB作散點數(shù)據(jù)的插值計算作散點數(shù)據(jù)的插值計算 要求要求cx取行向量，取行向量，cy取為列向量取為列向量被插值點插值方法插值節(jié)點被插值點的函數(shù)值nearest最鄰近插值最鄰近插值linear 雙線性插

16、值雙線性插值cubic 雙三次插值雙三次插值v4- MATLAB提供的插值方法提供的插值方法缺省時缺省時, , 雙線性插值雙線性插值 例例 在某海域測得一些點在某海域測得一些點( (x, ,y) )處的水深處的水深z由下表由下表給出，船的吃水深度為給出，船的吃水深度為5 5英尺，在矩形區(qū)域（英尺，在矩形區(qū)域（7575，200200）（-50-50，150150）里的哪些地方船要避免進(jìn)入）里的哪些地方船要避免進(jìn)入返回返回4.作出水深小于作出水深小于5的海域范圍的海域范圍,即即z=5的等高線的等高線.2.在矩形區(qū)域在矩形區(qū)域(75,200)(-50,150)進(jìn)行插值。進(jìn)行插值。 1.輸入插值基點數(shù)

17、據(jù)輸入插值基點數(shù)據(jù) 3. 作海底曲面圖作海底曲面圖 %程序一：插值并作海底曲面圖程序一：插值并作海底曲面圖 x =129.0 140.0 103.5 88.0 185.5 195.0 105.5 157.5 107.5 77.0 81.0 162.0 162.0 117.5 ;y = 7.5 141.5 23.0 147.0 22.5 137.5 85.5 -6.5 -81 3.0 56.5 -66.5 84.0 -33.5 ;z = 4 8 6 8 6 8 8 9 9 8 8 9 4 9 ;x1=75:1:200;y1=-50:1:150;x1,y1=meshgrid(x1,y1);z1=g

18、riddata(x,y,z,x1,y1,v4);meshc(x1,y1,z1) 海底曲面圖海底曲面圖%程序二：插值并作出水深小于程序二：插值并作出水深小于5 5的海域范圍。的海域范圍。x1=75:1:200;y1=-50:1:150;x1,y1=meshgrid(x1,y1);z1=griddata(x,y,z,x1,y1,v4); %插值插值z1(z1=5)=nan; %將水深大于將水深大于5的置為的置為nan，這，這樣繪圖就不會顯示出來樣繪圖就不會顯示出來meshc(x1,y1,z1) 水深小于水深小于5 5的海域范圍的海域范圍實驗作業(yè)實驗作業(yè)1 1 山區(qū)地貌：山區(qū)地貌：在某山區(qū)測得一些地

19、點的高程如下表：在某山區(qū)測得一些地點的高程如下表：( (平平面區(qū)域面區(qū)域12001200 x 4000,12004000,1200y 3600)3600)，試作出該山區(qū)的，試作出該山區(qū)的地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進(jìn)行比較地貌圖和等高線圖，并對幾種插值方法進(jìn)行比較 對于情況較復(fù)雜的實際問題（因素不易對于情況較復(fù)雜的實際問題（因素不易化簡，作用機理不詳）可直接使用數(shù)據(jù)組建化簡，作用機理不詳）可直接使用數(shù)據(jù)組建模，尋找簡單的因果變量之間的數(shù)量關(guān)系，模，尋找簡單的因果變量之間的數(shù)量關(guān)系， 從而對未知的情形作預(yù)報。這樣組建的模型從而對未知的情形作預(yù)報。這樣組建的模型為擬合模型。為擬合模型。 擬合

20、模型的組建主要是處理擬合模型的組建主要是處理好觀測數(shù)據(jù)的誤差，使用數(shù)學(xué)表達(dá)式從數(shù)量好觀測數(shù)據(jù)的誤差，使用數(shù)學(xué)表達(dá)式從數(shù)量上近似因果變量之間的關(guān)系。擬合模型的組上近似因果變量之間的關(guān)系。擬合模型的組建是通過對有關(guān)變量的觀測數(shù)據(jù)的觀察、分建是通過對有關(guān)變量的觀測數(shù)據(jù)的觀察、分析和選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)方式得到的。析和選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)表達(dá)方式得到的。 五、五、 對于已給一批實測數(shù)據(jù)，由于實測方法、對于已給一批實測數(shù)據(jù)，由于實測方法、實驗環(huán)境等一些外界因素的影響，不可避免實驗環(huán)境等一些外界因素的影響，不可避免地會產(chǎn)生隨機干擾和誤差。我們自然希望根地會產(chǎn)生隨機干擾和誤差。我們自然希望根據(jù)數(shù)據(jù)分布的總趨勢去剔除

21、觀察數(shù)據(jù)中的偶據(jù)數(shù)據(jù)分布的總趨勢去剔除觀察數(shù)據(jù)中的偶然誤差，這就是所謂的數(shù)據(jù)修勻（或稱數(shù)據(jù)然誤差，這就是所謂的數(shù)據(jù)修勻（或稱數(shù)據(jù)平滑）問題。平滑）問題。 直直 線線 擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 1 1溫度溫度t(C) 20.5 32.7 51.0 73.0 95.7電阻電阻R( ) 765 826 873 942 1032已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：已知熱敏電阻數(shù)據(jù)：求求6060C C時的電阻時的電阻R R2040608010070080090010001100 設(shè)設(shè) R=at+ba,b為待定系數(shù)為待定系數(shù)曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 引引 例例 2 2 t (h) 0.25 0.5 1

22、1.5 2 3 4 6 8c ( g/ml) 19.21 18.15 15.36 14.10 12.89 9.32 7.45 5.24 3.01已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)已知一室模型快速靜脈注射下的血藥濃度數(shù)據(jù)(t=0注射注射300mg)求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律求血藥濃度隨時間的變化規(guī)律c(t).在直角坐標(biāo)系下作圖如下在直角坐標(biāo)系下作圖如下(plot)0( )e,ktc tcc k為待定系數(shù)曲曲 線線 擬擬 合合 問問 題題 的的 提提 法法已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上已知一組（二維）數(shù)據(jù)，即平面上 n個點個點（xi,yi) i=1,n, 尋求一個函數(shù)（曲線）尋求一個函數(shù)（曲

23、線）y=f(x), 使使 f(x) 在某種準(zhǔn)則下與所有在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好數(shù)據(jù)點最為接近，即曲線擬合得最好 +xyy=f(x)(xi,yi)i i 為點為點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離曲線擬合問題最常用的解法曲線擬合問題最常用的解法線性最小二乘法的基本思路線性最小二乘法的基本思路第一步: :先選定一組函數(shù)先選定一組函數(shù) r1(x), r2(x), ,rm(x), mn, 令令 f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+ +amrm(x) （1）其中其中 a1,a2, ,am 為待定系數(shù)為待定系數(shù) 第二步: 確定確定a1,a2, ,am

24、的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）：的準(zhǔn)則（最小二乘準(zhǔn)則）：使使n個點個點（xi,yi) 與與曲線曲線 y=f(x) 的距離的距離 i 的平方和最小的平方和最小 記記 )2()()(),(211211221iiknimkkininiiimyxrayxfaaaJ 問題歸結(jié)為，求問題歸結(jié)為，求 a1,a2, ,am 使使 J (a1,a2, ,am) 最小最小用用MATLAB作線性最小二乘擬合作線性最小二乘擬合1. 1. 作多項式作多項式f(x)=a1xm+ +amx+am+1擬合擬合, ,可可利用已有程序利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)輸入同長度輸入同長度的數(shù)組的數(shù)組x，y擬合多項擬合多項式次

25、數(shù)式次數(shù)2.2.多項式在多項式在x處的值處的值y可用以下命令計算：可用以下命令計算： y=polyval（a，x）1）輸入以下命令：）輸入以下命令： x=0:0.1:1; y=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2; A=polyfit(x,y,2) z=polyval(A,x); plot(x,y,k+,x,z,r) %作出數(shù)據(jù)點和擬合作出數(shù)據(jù)點和擬合曲線的圖形曲線的圖形2）計算結(jié)果：）計算結(jié)果： = -9.8108 20.1293 -0.0317用多項式擬合的命令用多項式擬合的命令00.20.40.60.81-20

26、246810120317.01293.208108.9)(2xxxf如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長 人口的增長是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題，人口的增長是當(dāng)前世界上引起普遍關(guān)注的問題，并且我們會發(fā)現(xiàn)在不同的刊物預(yù)報同一時間的人口并且我們會發(fā)現(xiàn)在不同的刊物預(yù)報同一時間的人口數(shù)字不相同，這顯然是由于用了不同的人口模型計數(shù)字不相同，這顯然是由于用了不同的人口模型計算的結(jié)果。算的結(jié)果。 我國是世界第一人口大國，基本上地球每九個我國是世界第一人口大國，基本上地球每九個人中就有一個中國人。有效地控制我國人口的增長人中就有一個中國人。有效地控制我國人口的增長是使我過全面進(jìn)入小康社會、到是使我過全面進(jìn)入

27、小康社會、到2121世紀(jì)中葉建成富世紀(jì)中葉建成富強民主文明的社會主義國家的需要。而有效控制人強民主文明的社會主義國家的需要。而有效控制人口增長的前提是要認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立口增長的前提是要認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報。人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報。 例例:如何預(yù)報人口的增長如何預(yù)報人口的增長例如：例如：19491949年年19941994年我國人口數(shù)據(jù)資料如下：年我國人口數(shù)據(jù)資料如下： 年年 份份xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 198

28、9 1994 1984 1989 1994 人口數(shù)人口數(shù)yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 10.3 11.3 11.8 建模分析我國人口增長的規(guī)律建模分析我國人口增長的規(guī)律, ,預(yù)報預(yù)報19991999年我國人口年我國人口數(shù)。數(shù)。 模型一：假設(shè)人口隨時間線性地增加模型一：假設(shè)人口隨時間線性地增加 模型：模型：參數(shù)估計觀測值的模型：參數(shù)估計觀測值的模型： 擬合的精度擬合的精度: : 誤差平方和。誤差平方和。 可以算出：可以算出：a = -283.2320 b=0.1480模型：

29、模型：y = 1.93 + 0.146 x bxaynibxayii, 2 , 1,)(22iiiibxayeQ則可看成是線性方程則可看成是線性方程, ,用用 polyfit命令計算得：命令計算得：模型二：指數(shù)增長模型模型二：指數(shù)增長模型 bxaey bxay lnln可變?yōu)榭勺優(yōu)閤ey0179. 033. 2YA= =+ + BXa=2.33, b=0.0179則所求模型為則所求模型為: :程序如下：程序如下：x=1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994; y=5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3

30、 11.8 ; a=polyfit(x,y,1); x1=1949:10:1994; y1=a(2)+a(1)*x1; b=polyfit(x,log(y),1); y2=exp(b(2)*exp(b(1)*x1); plot(x,y,*) hold on plot(x1,y1,-r) hold on plot(x1,y2,-k) legend(原曲線原曲線,模型一曲線模型一曲線,模型二曲線模型二曲線) 結(jié)論的比較如下表：結(jié)論的比較如下表： 年年 份份 xi 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 xi 1949 1954 1959

31、1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994 人口數(shù)人口數(shù) yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 yi 5.4 6.0 6.7 7.0 8.1 9.1 9.8 10.3 11.3 11.8 模型一值模型一值 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 5.24 5.97 6.70 7.43 8.16 8.90 9.62 10.36 11.09 11.82 誤誤 差差 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 0.16 0.03 0.00 -0.43 -0.06 0.20 0.18 -0.06 0.01 -0.02 模型二值模型二值 5.55 6.06 6.62 7.23 7.90 8.64 9.44 10.31 11