6.1向量及其線性運(yùn)算ppt課件

1、*(共31張)1高等數(shù)學(xué)下冊(cè)）高等數(shù)學(xué)下冊(cè)）主講：陳銀輝 留意 ：l1. 課堂必須保持安靜，有問(wèn)題請(qǐng) 舉手 。l2 .上課嚴(yán)禁玩手機(jī)，睡覺(jué)。l3.課堂練習(xí)必須認(rèn)真對(duì)待 。l4.課后作業(yè)必須認(rèn)真獨(dú)立完成，嚴(yán)禁抄襲；l作業(yè)書寫須工整，不得把作業(yè)本當(dāng)草稿本。l5.上課有意見(jiàn)直接向老師提，不得私下發(fā)牢騷擾亂課堂。*(共31張)2考試 ：總成績(jī)=平常 0.3+期末0.7 l平時(shí)滿分30，根據(jù)作業(yè)完成情況和課堂表現(xiàn)給分?；c(diǎn)為20分，遲到5分鐘以上一次 扣一分，點(diǎn)名一次不到扣2分，抄作業(yè)一次扣1分。作業(yè)得A一次加1分，課堂回答問(wèn)題正確一次加1分，加到30分為止。*(共

2、31張)3第六章空間解析幾何與向量代數(shù) 這一章，我們?yōu)閷W(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分學(xué)作準(zhǔn)備，介紹空間解析幾何和向量代數(shù)。這是兩部分相互關(guān)聯(lián)的內(nèi)容。用代數(shù)的方法研究空間圖形就是空間解析幾何，它是平面解析幾何的推廣。向量代數(shù)則是研究空間解析幾何的有力工具。這部分內(nèi)容在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域中有著十分廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是一種很重要的數(shù)學(xué)工具。*(共31張)6數(shù)量關(guān)系數(shù)量關(guān)系 第一部分第一部分 向量代數(shù)向量代數(shù)第二部分第二部分 空間解析幾何空間解析幾何 在三維空間中:空間形式空間形式 點(diǎn)點(diǎn), , 線線, , 面面坐標(biāo)坐標(biāo), , 方程組）方程組） 向量代數(shù)與空間解析幾何向量代數(shù)與空間解析幾何 本章先引入空間直角坐

3、標(biāo)系，把點(diǎn)和有序數(shù)組、空間圖形和代數(shù)方程聯(lián)系起來(lái)，建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，給數(shù)和代數(shù)方程以幾何直觀意義，從而可以利用代數(shù)方法研究空間圖形的性質(zhì)和相互關(guān)系；接著介紹向量概念，然后以向量代數(shù)為工具，重點(diǎn)討論空間基本圖類平面，直線，常用的曲面和曲線。重點(diǎn)向量及其坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積，向量積直線與平面方程難點(diǎn)空間圖形的想象能力和描繪能力基本要求弄清空間直角坐標(biāo)系概念，會(huì)求兩點(diǎn)間的 間隔掌握向量概念，會(huì)用坐標(biāo)表示向量掌握向量代數(shù)的基本知識(shí)熟記兩向量平行、垂直，三向量共面的條件 并能正確運(yùn)用。掌握平面方程的各種形式，會(huì)求平面方程， 會(huì)判斷兩平面是否平行、垂直，會(huì)求兩平 面的夾角及點(diǎn)到平面的距離掌握直線方程的各種形

4、式，會(huì)求直線方程， 掌握兩直線平行、垂直的條件，直線與平面 平行、垂直的條件，兩直線的夾角，直線和 平面的夾角掌握曲面方程、旋轉(zhuǎn)曲面、柱面、二次曲面 和曲線方程概念，了解空間常用二次曲面的標(biāo)準(zhǔn)方程，會(huì)用“截痕法畫出其簡(jiǎn)圖*(共31張)10四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算 第一節(jié)一、向量的概念一、向量的概念二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算 三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運(yùn)算 *(共31張)11.a或表示法表示法:向量的模向量的模 : 向量的大小向量的大小,21MM記作向量向量:(又稱矢量又稱矢量)

5、. 1M2M既有大小既有大小, 又有方向的量稱為向量又有方向的量稱為向量自由向量自由向量: 與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)的向量.單位向量單位向量: 模為模為 1 的向量的向量.零向量零向量: 模為模為 0 的向量的向量,0.0記作 ， 或有向線段有向線段 M1 M2 ,或或 a ,a或.a或一、向量的概念一、向量的概念*(共31張)12規(guī)定規(guī)定: 零向量與任何向量平行零向量與任何向量平行 ;若向量若向量 a 與與 b大小相等大小相等, 方向相同方向相同, 則稱則稱 a 與與 b 相等相等,記作記作 ab ;若向量若向量 a 與與 b 方向相同或相反方向相同或相反,則稱則稱 a 與與 b 平行平行

6、, ab ;與與 a 的模相同的模相同, 但方向相反的向量稱為但方向相反的向量稱為 a 的負(fù)向量的負(fù)向量,記作記作因平行向量可平移到同一直線上因平行向量可平移到同一直線上, 故兩向量平行又稱故兩向量平行又稱 兩向量共線兩向量共線 .假設(shè)假設(shè) k (3)個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上個(gè)向量經(jīng)平移可移到同一平面上 , 則稱此則稱此 k 個(gè)向量共面?zhèn)€向量共面 .記作記作a ;*(共31張)131. 向量的加法向量的加法三角形法則三角形法則:平行四邊形法則平行四邊形法則:運(yùn)算規(guī)律運(yùn)算規(guī)律 : 交換律交換律結(jié)合律結(jié)合律三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加三角形法則可推廣到多個(gè)向量相加 .babbacba )()

7、(cbacbaacba cb)(cbacba )(aaba ba bb二、向量的線性運(yùn)算二、向量的線性運(yùn)算*(共31張)14s3a4a5a2a1a54321aaaaas*(共31張)152. 向量的減法向量的減法三角不等式三角不等式ab)( ab有時(shí)特別當(dāng),ab aa)( aababaabababa0baba*(共31張)16aa3. 向量與數(shù)的乘法向量與數(shù)的乘法 是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù) ,.a規(guī)定規(guī)定 :時(shí)，0，同向與aa,0時(shí),0時(shí).0a;aa;1aa可見(jiàn)可見(jiàn);1aa;aa 與與 a 的乘積是一個(gè)新向量的乘積是一個(gè)新向量, 記作記作，反向與aa總之總之:運(yùn)算律運(yùn)算律 : 結(jié)合律結(jié)合律)(a)(a

8、a分配律分配律a)(aa)(baba, 0a若ae 則有單位向量.1aa因此因此aaa e*(共31張)17定理定理1. 設(shè)設(shè) a 為非零向量為非零向量 , 那那么么( 為唯一實(shí)為唯一實(shí)數(shù)數(shù))證證: “ ”., 取取 且且再證數(shù)再證數(shù) 的唯一性的唯一性 .那那么么,0故.即abab設(shè)設(shè) abba取正號(hào)取正號(hào), 反向時(shí)取負(fù)號(hào)反向時(shí)取負(fù)號(hào), a , b 同向時(shí)同向時(shí)那么那么 b 與與 a 同同向向,設(shè)又有設(shè)又有 b a ,0)(aaa baab.ab故,0a而*(共31張)18“ ”那么,0 時(shí)當(dāng)例例1. 設(shè)設(shè) M 為為MBACD解解:ABCD 對(duì)角線的交點(diǎn),0 時(shí)當(dāng)ba,0 時(shí)當(dāng),aAB ,bD

9、AACMC2MA2BDMD2MB2知 b a ,b0a , b 同向a , b 反向ab .,MDMCMBMAba表示與試用baab)(21baMA)(21abMB)(21baMC)(21abMD*(共31張)19xyz由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則由三條互相垂直的數(shù)軸按右手規(guī)則組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系組成一個(gè)空間直角坐標(biāo)系. 坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn) 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)過(guò)空間一定點(diǎn)過(guò)空間一定點(diǎn) o ,o 坐標(biāo)面坐標(biāo)面 卦限卦限(八個(gè)八個(gè))面xoy面yozzox面面1. 空間直角坐標(biāo)系的基本概念空間直角坐標(biāo)系的基本概念三、空間直角坐標(biāo)系三、空間直角坐標(biāo)系*(共31張)20

10、 xyzo向徑向徑在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下 11坐標(biāo)軸上的點(diǎn)坐標(biāo)軸上的點(diǎn) P, Q , P, Q , R ;R ;坐標(biāo)面上的點(diǎn)坐標(biāo)面上的點(diǎn) A , B , A , B , C C點(diǎn)點(diǎn) M特殊點(diǎn)的坐標(biāo)特殊點(diǎn)的坐標(biāo) : :有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC(稱為點(diǎn)稱為點(diǎn) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo))原點(diǎn)原點(diǎn) O(0,0,0) ;O(0,0,0) ;rrM*(共31張)21坐標(biāo)軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標(biāo)面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 yxyzo*(共31張)22

11、2. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示在空間直角坐標(biāo)系下在空間直角坐標(biāo)系下,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) M , ),(zyxM那那么么沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向的分向量.kzjyixr),(zyxxoyzMNBCijkA,軸上的單位向量分別表示以zyxkji的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為此式稱為向量此式稱為向量 r 的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式 ,rkzjyix稱為向量,r任意向量任意向量 r 可用向徑可用向徑 OM 表示表示.NMONOMOCOBOA, ixOA, jyOBkzOC*(共31張)23設(shè)設(shè)),(zyxaaaa , ),(zyxbbbb 那那么么ba),(zzyyxxbababaa),(zyxaaaab,

12、0 時(shí)當(dāng)aabxxabyyabzzabxxabyyabzzab平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例平行向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例:，為實(shí)數(shù)四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算*(共31張)24例例2. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)在在AB直線上求一點(diǎn)直線上求一點(diǎn) M , 使使解解: 設(shè)設(shè) M 的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為, ),(zyx如下圖如下圖ABMo11MAB, ),(111zyxA),(222zyxB及實(shí)數(shù)及實(shí)數(shù), 1得得),(zyx11),(212121zzyyxx即即.MBAMAMMBAMOAOM MBOMOBAOOM )(OMOBOMOBOA(*(共31張)25闡明闡明: 由由得定比分點(diǎn)公式得定比分點(diǎn)公式

13、:,121xx,121yy121zz,1時(shí)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn) M 為為 AB 的中點(diǎn)的中點(diǎn) , 于是得于是得x,221xx y,221yy z221zz ABMoMAB),(zyx11),(212121zzyyxxxyz中點(diǎn)公式中點(diǎn)公式:*(共31張)261. 向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式222zyx),(zyxr 設(shè)則有則有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得由勾股定理得),(111zyxA因因AB得兩點(diǎn)間的距離公式得兩點(diǎn)間的距離公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx對(duì)兩點(diǎn)對(duì)兩點(diǎn)與與, ),(222zyxB, rOM作O

14、Mr OROQOPBABAOAOBBA五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影*(共31張)27例例3. 求證以求證以)3,2,5(, )2, 1 ,7(, ) 1 ,3,4(321MMM證證:21MM 2)47( 2)31 ( 2) 12( 1432MM 2)75( 2) 12( 2)23( 631MM 2)45( 2)32( 2) 13( 63132MMMM即即321MMM為等腰三角形為等腰三角形 .的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形 . 為頂點(diǎn)為頂點(diǎn)*(共31張)28例例4. 在在 z 軸上求與兩軸上求與兩點(diǎn)點(diǎn))7, 1 ,4(A等距等距解解: 設(shè)該點(diǎn)為設(shè)該點(diǎn)為, ),

15、0,0(zM,BMAM因?yàn)?2)4(212)7(z 23252)2(z解得解得,914z故所求點(diǎn)為故所求點(diǎn)為及及)2,5,3(B. ),0,0(914M思索思索: (1) 如何求在如何求在 xoy 面上與面上與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程等距離之點(diǎn)的軌跡方程?(2) 如何求在空間與如何求在空間與A , B 等距離之點(diǎn)的軌跡方程等距離之點(diǎn)的軌跡方程 ?離的點(diǎn)離的點(diǎn) . *(共31張)29提示提示:(1) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, )0,(yxM利用利用,BMAM得得,028814 yx(2) 設(shè)動(dòng)點(diǎn)為設(shè)動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxM利用利用,BMAM得得014947zyx且且0z*(共31張)30oyz

16、x2. 方向角與方向余弦方向角與方向余弦設(shè)有兩非零向量設(shè)有兩非零向量 ,ba任取空間一點(diǎn)任取空間一點(diǎn) O ,aOA作,bOBOAB稱稱 =AOB (0 ) 為向量為向量 ba,的夾角的夾角. ),(ab或類似可定義向量與軸類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角軸與軸的夾角 . ,0),(zyxr給定與三坐標(biāo)軸的夾角與三坐標(biāo)軸的夾角 , , rr稱為其方向角為其方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦稱為其方向余弦方向角的余弦稱為其方向余弦. 記作記作),(ba*(共31張)31oyzxrcosrx222zyxxcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的

17、性質(zhì)方向余弦的性質(zhì):的單位向量向量 rrrer)cos,cos,(cos*(共31張)32例例5. 已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn))2,2,2(1M和和, )0,3, 1(2M的模的模 、方向余弦和方向角、方向余弦和方向角 . 解解:,21,23)20計(jì)算向量計(jì)算向量)2, 1, 1(222)2(1) 1(2,21cos,21cos22cos,32,34321MM(21MM21MM*(共31張)33例例6. 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) A 位于第一卦限位于第一卦限,解解: 知知角依次為角依次為,43求點(diǎn)求點(diǎn) A 的坐標(biāo)的坐標(biāo) . ,43那么那么222coscos1cos41因點(diǎn)因點(diǎn) A 在第一卦限在第一卦限 ,故故,cos2

18、1于是于是(6,21,22)21)3,23,3(故點(diǎn)故點(diǎn) A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 . )3,23,3(向徑向徑 OA 與與 x 軸軸 y 軸的夾軸的夾 ,6AO且OAO AOAe *(共31張)34空間一點(diǎn)在軸上的投影空間一點(diǎn)在軸上的投影u AA 過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)A作作軸軸u的的垂垂直直平平面面，交交點(diǎn)點(diǎn)A 即即為為點(diǎn)點(diǎn)A在在軸軸u上上的的投投影影.3、向量在軸上的投影、向量在軸上的投影*(共31張)35空間向量在軸上的投影空間向量在軸上的投影u MMOra aP Pr rj ja aa a, ,P Pr rj ja aa a, ,P Pr rj ja ay yz z中中的的坐坐標(biāo)標(biāo)滿滿足足向向量量a a在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)O Ox xz zz zy yy yx xx x*(共31張)36空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影uAA BB *(共31張)37ABjuPr.BA 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為關(guān)于向量的投影性質(zhì)關(guān)于向量的投影性質(zhì)1 1）ABjuPr cos| AB uABA B B u *(共31張)38關(guān)于向量的投影性質(zhì)關(guān)于向量的投影性質(zhì)2 2）兩兩個(gè)個(gè)向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個(gè)個(gè)向向量量在在該