北京海淀區(qū)2015屆高三上學(xué)期期中練習(xí)數(shù)學(xué)理試題版含解析

1、如14-2015年海淀高三年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)（理）試卷解析【試卷結(jié)構(gòu)與特點(diǎn)】本次次海淀區(qū)的期中考試范圍與往年基本一致，即：集合、函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、解三角形和數(shù)列。1 .本次考試的試題結(jié)構(gòu)和高考的試題結(jié)構(gòu)一致，即選擇題8個(gè)，每題5分，填空題6個(gè)，每題5分，解答題6個(gè)，其中4題13分，另外兩題14分（高考中14分的題目為立體幾何和解析幾何，本次期中并未涉及這兩個(gè)知識(shí)內(nèi)容）。2 .試卷總體難度與去年類似，但是難易程度的分布與去年期中考試不同，更類似于2014年的高考真題的難度分布，即常規(guī)基本問題的難度下降，產(chǎn)生了很多“送分題”；但是中檔問題考核方向不變，但是考核方法有所改變，增強(qiáng)了知識(shí)

2、方法之間的綜合和深入理解知識(shí)后的靈活視同；對(duì)于難題而言，從命題和設(shè)問的角度可以看出，依舊本著考察數(shù)學(xué)思想、思維方法的方向，同時(shí)鼓勵(lì)歸納猜想的特征依舊在其中，想完成問題，需要對(duì)概念和方法有明確的認(rèn)識(shí)，而不是簡(jiǎn)單記憶。值得注意的是，第8題和第14題的題目難度有所下降，同時(shí)，第20題也與往常不同，并不是以組合數(shù)學(xué)為核心的問題，而變成了函數(shù)和不等式的綜合考核，但思維方式類似。3 .由于具備以上特征，本次考試相比之前的考試具有了更好的區(qū)分度，靠著對(duì)于題目“熟悉”才能入手的考生無法在此次考核中獲得較高的分?jǐn)?shù)，更加強(qiáng)調(diào)了知識(shí)和概念的理解，以及方法背后隱含的數(shù)學(xué)思想。通過以上分析，高三的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，題海戰(zhàn)術(shù)與高

3、考的要求是相違背的，是一種低效的復(fù)習(xí)方式。應(yīng)在對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和概念的理解上多下工夫，思考和總結(jié)與做題并重，特別是要注重對(duì)重要數(shù)學(xué)思想和思維方法的訓(xùn)練和體會(huì)。【試卷分析】一、選擇題部分1.設(shè)集合A=xWR|xA。，B=xWR|-1xW2,則AB=()A.1-1,:B.1,二C.1,21D.1-1,1【分析】本題考查集合的表示與運(yùn)算，難度不大，掌握表示方法、了解運(yùn)算概念即可解決。集合的核心考察主要就集中在集合的表示和運(yùn)算上，常與基本的解不等式結(jié)合考察；同時(shí)還要強(qiáng)調(diào)，集合作為基本的數(shù)學(xué)語言，考生應(yīng)該注意掌握，可以讀懂用集合語言表述的答案，同時(shí)也可以靈活使用集合語言表述數(shù)學(xué)問題。【解】C.A=(1,),B

4、=-1,2,通過數(shù)軸表示可知，兩個(gè)集合的公共部分為x三R|1<x<2,即1,21,故選C.44442.已知向量a=(2,1),b=(3,x),若ab=3,則x=()A.6B.5C.4D.3I-【分析】本題考察平面向量的坐標(biāo)表不及坐標(biāo)表布下的點(diǎn)乘運(yùn)算(a=(x1,y1),b=(x2,y2),ab=x1x2+必丫2),考核難度較低，屬于基本的運(yùn)算方法的考核。對(duì)于這部分的考核，考生需要注意，向量的坐標(biāo)表示和基本運(yùn)算屬于常規(guī)的運(yùn)算工具，考生應(yīng)該把重點(diǎn)放在這種運(yùn)算的應(yīng)用上，結(jié)合應(yīng)用之后的向量問題的難度較大，而且重點(diǎn)的難度不在于向量，多在基本的代數(shù)運(yùn)算，可以參考2013年重慶高考第10題。【解

5、】D.43根據(jù)平面向量坐標(biāo)下的運(yùn)算法則，可知a匕=2父3十(-1)x=6-x=3,求解方程可以得到x=3,故選D.3.若等比數(shù)列an滿足a1+a3=5,且公比q=2,則徭+a5=()A.10B.13C.20D.25【分析】本題考察等比數(shù)列的基本性質(zhì)，難度不大，但入手角度較多。對(duì)于做題經(jīng)驗(yàn)較為豐富的同學(xué)，可以選擇猜想實(shí)驗(yàn)，即可以輕松發(fā)現(xiàn)本題的數(shù)列通項(xiàng)為an=2n，可以直接求得答案；或者使用等比數(shù)列的性質(zhì)去解決，這是一種經(jīng)典的“對(duì)應(yīng)項(xiàng)”問題，即a1與改對(duì)應(yīng)，a3與a5對(duì)應(yīng)，則加和可以公比推導(dǎo)；亦或者使用等差等比數(shù)列中最基本的“基本量法”建立關(guān)于基本量司和q的方程，求解基本量取處理問題。【解】C.方

6、法一：根據(jù)觀察，數(shù)列可以為1,2,4,8,16,.,即an=2n/,那么a3+%=4+16=20,故選C.方法二：對(duì)于a3+a5=a1q2+a3q2=4（a1+a3又2+a3=5,則a3+a5=4黑5=20,故選C.方法三：對(duì)于a1+a3=a1+a1q2=a1+4al=5,解方程可得，a1=1,那么通項(xiàng)an=2n,可知徭=4,a5=16,則a3+a5=20,故選C.（n）4.要得到函數(shù)y=sin2x+I的圖象，只需將函數(shù)y=sin2x的圖象（）3A.向左平移三個(gè)單位B.向左平移三個(gè)單位36C.向右平移工個(gè)單位D.向右平移工個(gè)單位36【分析】本題考察三角函數(shù)的圖象變化的基本方法，難度中等，但是包

7、含很多細(xì)節(jié)，容易導(dǎo)致考生失誤，常見的關(guān)注點(diǎn)有如下三點(diǎn)：（1）在自變量前存在系數(shù)時(shí)，要注意平移的大小，平移是針對(duì)于X的變化，而不是函數(shù)內(nèi)部整體；（2）關(guān)注兩個(gè)圖象關(guān)系，哪個(gè)是原始的函數(shù)圖象，哪個(gè)是變化后的函數(shù)圖像，避免審題失誤；（3）關(guān)注變化前后圖象的函數(shù)名，若問題是從cos變?yōu)閟in（或反之），要注意應(yīng)先利用誘導(dǎo)公式變名后，再利用圖象變化原則進(jìn)行變化?！窘狻緽.y=sin2,x+Hi6,明顯是利用首先分析哪個(gè)是原始函數(shù)，本題中，原始函數(shù)為y=sin2x,要將其變化為JIx+'替換x,再根據(jù)“左加右減”的原則可知，應(yīng)該向左平6移二個(gè)單位，故選B.6i13.11c5.設(shè)a=-I,b=log

8、2-,c=log23,則（）23D.cbaA.abcB.cabC.acb【分析】本題是一種十分常見的考核方法，即數(shù)大小的比較，這類型問題處理方法主要有兩種：（1）利用函數(shù)單調(diào)性解決數(shù)的大小比較；（2）利用對(duì)數(shù)指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小，與“分界點(diǎn)”進(jìn)行比較，得到結(jié)論。本題則需要使用方法（2）,使用十分常規(guī)的“分界點(diǎn)”0和1,。這類型問題在近些年趨向于復(fù)雜，不單單只考核對(duì)數(shù)和指數(shù)，又是還會(huì)結(jié)合一些特殊的三角函“一，1數(shù)，例如sin,sin1等;另外，也會(huì)出現(xiàn)一些不是0和1的分界點(diǎn)，如判斷l(xiāng)og52和log732的大小時(shí)，選擇分界點(diǎn)1才可以做出（10g52c10g5v5=1=log7J7<log

9、73）。22【解】B.113,一1一八，c.對(duì)于a=,則0<ac1；對(duì)于b=log2,則b父0；對(duì)于c=log23,則c>1,那么2 3可得b<0<ac1cc,那么c>a>b,故選B.，口“11,6.設(shè)a,bWR,則“abA0且a：>b”是“一<一”的（）abA.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C充分必要條件D.既不充分也不必要條件【分析】本題是結(jié)合不等式的基本性質(zhì)考核充分必要條件，難度適中，充分必要條件是高考的必考題型之一，這類型的考核以充分必要條件為框架，結(jié)合不同的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行考核，多是在考核這個(gè)結(jié)合著的知識(shí)點(diǎn)的細(xì)節(jié)，北京近兩年結(jié)合的都是數(shù)

10、列的知識(shí)點(diǎn)，所以，充分必要條件問題的復(fù)習(xí)重點(diǎn)不應(yīng)該過多點(diǎn)的放在充分必要條件上，而是要放在其余的知識(shí)細(xì)節(jié)上。【解】A.，11一f(x由于ab>0,可知a,b同號(hào)，對(duì)于函數(shù)f(x)=-而后，在(-«,0/口(0,收)這對(duì)于3bA0且a>b”的充分性考核，可以有兩種方法：第一種方法可以采用函數(shù)x11兩個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減，由于a>b,則f(a)<f(b),即一<一。第二種萬法單純使用不等式ab性質(zhì)，由于a>b,左右分別先同時(shí)除以a,再同時(shí)除以b,由于ab0,則a,b同號(hào)，若11,八一均大于0,則兩次除法不變方，可得g>一；若a,b同時(shí)大于0,則兩次除法變

11、了兩次號(hào)，1 1一,最終并沒有變化，同樣,那么可知條件“ab>0且aAb”具有充分性。對(duì)于其必要性ba的考核，可以找出明顯的反例，即a<0但bA0,是明顯的反例，故不具備必要性。故選A.-x,x:07.已知函數(shù)f(x)=«L，若關(guān)于x的萬程f(x)=a(x+1)有二個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,，卜x,x-0則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()1a2,二)B.0,二C.0,1【分析】本題屬于常規(guī)的函數(shù)與方程的設(shè)問方法，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來判斷方程根的個(gè)數(shù)，此處有三個(gè)不相等的實(shí)根本質(zhì)是y=f(x)的圖象和y=a(x+1)有三個(gè)交點(diǎn)。圖象交點(diǎn)的研究需要對(duì)于常見的圖象繪制了如指掌，同時(shí)，參數(shù)變化對(duì)

12、于圖象的影響也需要掌握良好。就本題而言，綜合程度較高，但是仍然屬于常見的綜合問題，把切線、直線方程、分段函數(shù)、方程與函數(shù)的內(nèi)容通過圖象的載體結(jié)合在一起，本題需要注意切線起到的特殊作用，很多函數(shù)問題的“臨界點(diǎn)”都是切線，本題圖象如下圖所示：分段函數(shù)和過定點(diǎn)（-1,0）的直線在如上圖位置時(shí)恰好相切，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，若直線斜率變大，則只存在一個(gè)交點(diǎn)，若直線斜率減小，則會(huì)出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示:但是，斜率不能無限下降，當(dāng)斜率等于0時(shí)，就只存在一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率繼續(xù)減小時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)不會(huì)超過1個(gè)。可知滿足條件的直線應(yīng)該在切線和x的范圍內(nèi)。對(duì)于此類型問題，核心的處理方式類似，但在高三的復(fù)習(xí)中，務(wù)必關(guān)注切線的

13、“臨界”作用?！窘狻緿.根據(jù)上述分析，首先計(jì)算切線斜率，假設(shè)直線與y=JX的切點(diǎn)為（Xo,y。）,對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可.1，一一得丫'=一產(chǎn)，那么可以得到如下三個(gè)方程:2.xy0=ax01y0=，講后兩個(gè)方程代入到第一個(gè)1a二-2”。方程中，得到Jx=1=(x0+1),即2x02xo1=%+1,解得=1,從而余率a=產(chǎn)2x01一，根據(jù)分析可知，若要有二個(gè)交點(diǎn)，則斜率aw（0,）,故選D.28.設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,在同一個(gè)坐標(biāo)系中，an=f（n）及Sn=g（n）的部分圖象如圖所示，則（上an(Sn)0.7-0.4-0.878.,*nA.當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最大值B.當(dāng)n=3時(shí),sn取

14、得最大值C.當(dāng)n=4時(shí)，Sn取得最小值D.當(dāng)n=3時(shí),sn取得最小值【分析】本題是綜合考察等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和性質(zhì)的問題，其中對(duì)邏輯推理的要求很高。首先，考生需要對(duì)于圖象中三個(gè)點(diǎn)具體表示的含義有做出具體詳盡的分析，三個(gè)點(diǎn)的含義是處理這個(gè)問題的前提和基礎(chǔ)，要分析清楚含義，考生要有有條理清晰的分析能力及較好的數(shù)列基礎(chǔ)。當(dāng)分析出三個(gè)點(diǎn)的含義之后，對(duì)于前n項(xiàng)和的最值問題也存在兩種做法，第一種可以直接利用題目中點(diǎn)的坐標(biāo)完成數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，第二種方法就是直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行處理。本題的難度較高，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力提出了挑戰(zhàn)，十分符合北京高考的命題思路和方向，熟悉的知識(shí)點(diǎn)，但是給出了不同于以往的

15、題目特征?！窘狻緼.首先分析圖象中三個(gè)點(diǎn)各自的含義，若橫坐標(biāo)為8的點(diǎn)表示為,那么a7的情況分為兩種：（1）a7A0,在這種情況下，根據(jù)圖象可知，S必然小于0，但我們可以根據(jù)圖象發(fā)現(xiàn)，a7A0,a8<0,等差數(shù)列為單調(diào)遞減的，說明數(shù)列從第一項(xiàng)至第七項(xiàng)應(yīng)該都是大于0的，那么前7項(xiàng)和S7>0,與圖象給出的信息矛盾，故&>0不成立；（2）a7<0,在這種情況下，根據(jù)圖象可以推理出前7項(xiàng)和&A0,但是，a7<a8<0,說明數(shù)列單調(diào)遞增，且從第一項(xiàng)至第八項(xiàng)均小于0,那么前7項(xiàng)和必然大于0,又產(chǎn)生矛盾。說明橫坐標(biāo)為8處的點(diǎn)表示的是數(shù)列的前8項(xiàng)和&,

16、此時(shí)需要分析橫坐標(biāo)為7處的兩個(gè)點(diǎn)各自的含義，若a7=0.7,則a8=8-S=-0.4-(-0.8)=0.4,說明數(shù)列單調(diào)遞減，那么可知數(shù)列在第一項(xiàng)至第8項(xiàng)均為正數(shù)，那么S8AS7>0,與圖象信息矛盾，故a7=-0.8,6=0.7,0=0.4,可以解得出=S8-S=-1.1,可知等差數(shù)列公差為d=-0.3,接下來可以有兩種基本思路去處理。方法一：直接求解數(shù)列通項(xiàng)，根據(jù)公差d=-0.3,解得a1=1,那么可以解得前n項(xiàng)和的表d2d2達(dá)式為Sn=dn2+a1-dn=-0.15n2+1.15n,可知其對(duì)稱軸2121.1511.5n=，距它最近的整數(shù)為n=4,故其在n=4時(shí)取最大值，故選A.2-0

17、.153方法二：從前n項(xiàng)和的最值性質(zhì)可以看出，數(shù)列本身正負(fù)發(fā)生改變的地方是產(chǎn)生最值的地方，根據(jù)分析可知，a7=-0.8,那么a6=-0.5,a5=-0.2,a4=0.1,可見，數(shù)列從第一項(xiàng)至第四項(xiàng)均是正數(shù)，此時(shí)前n項(xiàng)和越加越大，最大值在第四項(xiàng)取到，故選A.二、填空題部分9.設(shè)復(fù)數(shù)z=-，則z=.1-i【分析】本題考察復(fù)數(shù)運(yùn)算中的模的運(yùn)算，雖然簡(jiǎn)單，但是方法的選擇不同也會(huì)帶來不同的效果。復(fù)數(shù)的運(yùn)算在高考的考核中難度較低，通常是填選的前幾個(gè)基礎(chǔ)問題，重點(diǎn)在于掌握基本的運(yùn)算法則和復(fù)平面的理解。本題中模的運(yùn)算也可以有兩種手段，第一就是直接對(duì)復(fù)數(shù)z進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化處理，從而得到a+bi的形式，利用|z|=

18、，a2+b2處理，第二種處理方法可以利用復(fù)數(shù)除法的性質(zhì)，即亙=且，以此直接求解。復(fù)數(shù)難度不大，掌握基本的方Z2法可以直接求解，若要進(jìn)行最有效最快速的求解，還需對(duì)這部分的常見性質(zhì)有所掌握。方法一：首先進(jìn)行分母實(shí)數(shù)化處理，即ii1iii2i-111.Z=2=十i，1-i1-i1i1-i222方法二：根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算的除法性質(zhì)，可知z=Jr，其中i=1,1-i=42,故1-i|1-i|12+22=f=,故填,222xa10 .已知函數(shù)y=2的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值是【分析】本題考察函數(shù)的基本性質(zhì)，本題處理的方法如果不同，那么本題側(cè)重的知識(shí)點(diǎn)就有所不同，但本質(zhì)上都是圍繞著函數(shù)的對(duì)稱性進(jìn)行問題的求解

19、。第一種入手的方法就是從條件“關(guān)于y軸對(duì)稱”入手，得知函數(shù)為偶函數(shù)，從而利用偶函數(shù)的代數(shù)性質(zhì)，進(jìn)行求解；另外一種處理手段是通過解析式y(tǒng)=2卜劃對(duì)原始的y=2x圖象帶來的圖象變化入手可以解得問題，或者直接使用圖象變化的二級(jí)結(jié)論，即y=f(|x-a|)的圖象關(guān)于x=a對(duì)稱，利用二級(jí)結(jié)論解決小題是最快的求解手段，而且，近幾年北京高考對(duì)于函數(shù)圖象變化的考核明顯增多，望考生在后續(xù)復(fù)習(xí)時(shí)加大關(guān)注力度?！窘狻?方法一：由于函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么函數(shù)為偶函數(shù)，那么2r加=274a,根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知，x+a=-x+a,只有當(dāng)a=0時(shí)，等式恒成立，故填0.方法二：根據(jù)函數(shù)圖像的變化規(guī)律可知，函數(shù)y=2

20、x*L由函數(shù)y=2x得到，首先將函數(shù)y=2x關(guān)于y軸進(jìn)行翻折，可以得到函數(shù)y=2x,此時(shí)函數(shù)關(guān)于y軸對(duì)稱，再將圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)=2x*，此時(shí)函數(shù)關(guān)于x=-a對(duì)稱，根據(jù)題目條件可知對(duì)稱軸為y軸,故*=-a=0,故填0.【注：此法結(jié)論可以當(dāng)作一個(gè)二級(jí)結(jié)論記下，在考試小題求解中直接使用】11 ./xsinxdx=31【分析】本題考察基本的定積分運(yùn)算，難度不大,但同樣可以從兩個(gè)角度入手，其一就是常規(guī)的定積分運(yùn)算，其二就是利用定積分的幾何含義進(jìn)行分析【解】0方法一:jiixsinxdx=2x-cosx2一cos二2-JI-cos(-)=0,故填0.方法二：由于定積分性質(zhì)可知,對(duì)于奇函數(shù)，若積分

21、對(duì)應(yīng)的區(qū)間關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么積分的結(jié)果一定為0（通過圖像也可以判別），故填0.12 .為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度C（單位:20tmg/L）隨時(shí)間t（單位：h）的變化關(guān)系為C一，則經(jīng)過h后池水中藥品的t4濃度達(dá)到最大。【分析】本題直觀從題面看的話是一個(gè)函數(shù)應(yīng)用問題，但本質(zhì)上只是一個(gè)均值不等式的應(yīng)用問題，經(jīng)典的一次比二次的代數(shù)式最值求解，這種最值求解也經(jīng)常在解析幾何中的最值問題中出現(xiàn)。當(dāng)然，本題也可以理解為對(duì)勾函數(shù)的問題，但對(duì)勾函數(shù)的最值求解也可以用均值不等式求解。本題如果選擇求導(dǎo)找最值同樣可以，但是難度較大，不建議?！窘狻?、，_20t廠0202-t2t方

22、法一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，其關(guān)系式C=-,求導(dǎo)可得C'=一2t4t24當(dāng)tw（0,2州，C'a0,函數(shù)遞增，當(dāng)tw（2,+=）,C'<0,函數(shù)遞減，可知，當(dāng)t=2時(shí),函數(shù)取最大值，故填2.方法二：對(duì)于解析式2020口tt20_,4<-4=5,當(dāng)t=時(shí)取得最值，此時(shí)t=2,故填2.13.如圖所示，在AABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且TTBD=2DC，若AC=mA也nAm,nwR）,則m-n=.【分析】本題考察向量的線性表示，屬于常規(guī)問題，難度適中，可以通過兩個(gè)思路去解決問題，第一，利用幾何關(guān)系處理問題，通過建立平行線尋找?guī)讉€(gè)向量的關(guān)系；第二，則可以使用向量

23、之間的相互表達(dá)的手段去處理，或者直接使用共線定理（即：若A,B,C共線，且AB=ABC,則OB=OA+'-OC)。;1"1【解】-2方法一：由于BD=2DC,則BC=3CD，其中BC=ACAB,CD=ADAC,那么BC=-3CD可轉(zhuǎn)化為AC-AB=-3(AD-AC),可以得到2AC=-3AD+AB,即13AC=AB+AD,則22方法二：直接利用共線定理,1 3-13m=,n=,那么m-n=-二一2,故填一2.2 222一一1一一11-31BC=-3CD,則九二3,則AC=AB+AD,則221 3-13m=,n=,那么m-n=-2,故填2.2 222方法三：利用幾何方法，如右圖

24、所示構(gòu)造輔助線，做AB的2，TT三等分點(diǎn)E,根據(jù)平行線等分定理則DE=AC,在新構(gòu)造的AAED中，ED+AE=AD,3又ED=2Ac3,2r1-*口,那么一AC十一AB=AD,可以得到33一1313則m=-一，n=，那么m_n=_-=_2,故填一2.222214.已知函數(shù)f（x）=Asin（cox+邛）（A,®,中是常數(shù)，A>0,o>0）的最小正周期為n.設(shè)集合M=直線l|1為曲線y=f（x）在點(diǎn)（xo,f（xo）處的切線，xowb,n.若集合M中有且只有兩條直線相互垂直，則co=;A=.【分析】本題是一個(gè)綜合性較強(qiáng)的考題，與往年14題的命題思路有些不同，重點(diǎn)放在了知識(shí)的

25、綜合和深入理解上。題目利用三角函數(shù)為基本背景，以切線關(guān)系為橋梁，代數(shù)的數(shù)值關(guān)系為核心構(gòu)成的，同時(shí)利用集合的數(shù)學(xué)語言描述問題，內(nèi)容十分豐富。首先需要理解集合M是一個(gè)切線集合，同時(shí)x0wb,n）這個(gè)條件要特別注意，這說明集合M是一個(gè)完整周期內(nèi)的全部切線，所以對(duì)于只影響左右位置的參數(shù)邛對(duì)于本題無關(guān)緊要。那么這道題目本質(zhì)就是在說，三角函數(shù)一個(gè)周期內(nèi)只存在一組相互垂直的直線，要去求出參數(shù)A的值，那么我們就要關(guān)注所有的切線斜率及其之間的關(guān)系，這個(gè)斜率構(gòu)成的集合中，只有兩個(gè)斜率乘積為-1即可。11【解】2,-22二由于函數(shù)的周期為冗，則丁=n，可以解得a=2,那么函數(shù)為f（x）=Asin（2x+中）,接下來

26、求解函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的所有切線的斜率，f'（x）=2Acos（2x+邛），由于xo可以取遍一個(gè)周期內(nèi)的所有的點(diǎn)，故cos（2x0+邛）的范圍為11,1，則f'（x0產(chǎn)I2A,2AL那么集合M中所有的直線斜率取值范圍為-2A,2A，那么要有在這個(gè)集合中只存在兩個(gè)數(shù)互為負(fù)倒數(shù)。對(duì)于區(qū)間l-2A,2A1而言，其負(fù)倒數(shù)的對(duì)應(yīng)區(qū)間為111.一1、一.,-U-,+ocI,若區(qū)間-2A,2A中有兩個(gè)值互為負(fù)倒數(shù)，則其與對(duì)應(yīng)的負(fù)倒11.1數(shù)區(qū)間的交集中有且只有兩個(gè)兀素，那么=-2A（或=2A）,解得A=±,又2A2A21A>0,故A=.2三、解答題部分15.已知函數(shù)f(x)=s

27、inIn)x-sinlx.,3（i）求f-j的值;2（n）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間.冗、.冗.冗,工11八【解】（I）f（一）=sinsin（-+）=1一一=一.（3分）222322(n)f(x)=sinx-sin(x).,冗.冗、，_八、=sinx(sinxcos-+cosxsin)(5分)331731v3冗=sinx-(sinxcosx)=-sinx-cosx=sin(x).22223(9分)冗冗函數(shù)y=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為2k：t,2k冗十(kwZ),22兀兀.兀_由2k冗一一Wx2k冗+一(k=Z),111分)2325得2ku_<x<2k冗*(k匚Z).6 65冗一、所

28、以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為2kL,2k(k=Z).(13分)66116.已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，&=一，且a1，a3,-a2成等差數(shù)列2（I）求Qn的通項(xiàng)公式;(n)求數(shù)列an-n的前n項(xiàng)和Sn.【解】(i)因?yàn)閍1，a3,a2成等差數(shù)列,所以2a3=a1-a2.1一一設(shè)數(shù)列an的公比為q(q>0),由4=萬可得C12112-q-q,（2分）（4分）222即2q2q-1=0.解得:1，人q=或q=1（舍）.2（5分）所以an112（2）n12n（7分）(H)由(I)得:1an-n=-n.2n一1111所以Sn1-2-3III-n222232n（8分）1111-p?IH?

29、-1-2-3-IH-n（9分）1（1.1）2（2n）n（n1）1-12n（n1）17.如圖所示，在四邊形ABCD中，/D=2/B,且AD=1,CD=3,cJ3(I)求MCD的面積;(n)若BC=2卮求AB的長(zhǎng)./?【解】（I）因?yàn)?D=2/B,cosB=321所以cosD=cos2B=2cosB-1二一一3（3分）所以22,2sinD=.1-cosD=3因?yàn)锳D=1,CD=3,112一2所以ACD的面積S=ADCDsinD=乂1乂3乂=近223（n）在ACD中,_2_22_AC=ADDC2ADDCcosD=12.所以AC=2,3.ACAB因?yàn)锽C=2j3,=,sinBsin.ACB2.3ABA

30、BABABsinBsin（二-2B）sin2B2sinBcosB2、3sinB3所以AB=4.(5分)(7分)(9分)(11分)(13分)218.已知函數(shù)f(x)=2alnxx+1.(i)若a=1,求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(n)若a>0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間1,收)上的最大值；(出)若f(x)W0在區(qū)間1,收)上恒成立，求a的最大值.【解】(I)當(dāng)a=1時(shí)，f(x)=2lnxx2+1.2f,x)=2_2x=_2(x_1),x>0.xx-2(x-1)令f(x)=0<0.x因?yàn)閤0,所以x1.（2分）（3分）所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,收).（4分）/、2a-2(

31、x2-a)八(n)f(x)=-2x=,x0.xx令f'(x)=0,由aa0,解得xi=yfa,X2=-va(舍去).(5分) 當(dāng)y<1,即0<aM1時(shí)，在區(qū)間1,代)上f'(x)<0,函數(shù)f(x)是減函數(shù).所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,+=)上的最大值為f(1)=0;(7分) 當(dāng)ja>1,即a>1時(shí)，x在1,收)上變化時(shí)，f'(x),f(x)的變化情況如下表x1(1,忖c西,十)f'(x)+0-f(x)0alna-a+1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間1,十比)上的最大值為f(J&)=alnaa十1.(1。分)綜上所述：當(dāng)0<aW1

32、時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,上)上的最大值為f(1)=0;當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f(x)在區(qū)間1,十比)上的最大值為f(«)=alnaa+1.(出)由(n)可知：當(dāng)0caW1時(shí)，f(x)Ef(1)=0在區(qū)間1,收)上恒成立;(11分)當(dāng)a>1時(shí)，由于f(x)在區(qū)間1,Ja上是增函數(shù)，所以f(Ja)>f(1)=0，即在區(qū)間1,y)上存在x=J1使得f(x)>0.(13分)綜上所述，a的最大值為1.(14分)n1an19.已知數(shù)列an的刖n項(xiàng)和Sn=(n=1,2,3,.).2(i)求a1的值；(n)求證：(n2)an+1=(n1汨1(n之2)；(出)判斷數(shù)列an是否為等差

33、數(shù)列，并說明理由.【解】(D解：由題意知：Si=上生，即ai=上電.22解得：a1=1.(2分)(II)證明：因?yàn)镾n=n(1+an)(n=123,|),2(n-1)(1-ani)-八所以Sn=1(n02).(4分)2因?yàn)閍n=Sn-Sn(n>2).(6分)所以an=nan1(n一加,即(n-2)an1=(n-1)anJ(n-2).2(7分)(出)數(shù)列an是等差數(shù)列.理由如下：(8分)又Sn(n-2)(1+"(n>3),由(n)可得：2-一1).1-2)an-=Sn廠S-2(3).(")nan_2(n_1)anJ(n_2)anJ以anan二一,2即(n2)an2(n2)an+(n2)an=0.(11分)因?yàn)閚>3,所以an2an+anj=0,即