高等數學-第七版-課件-3-9曲率

1、第九講 曲率曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑0M0 xMxxyo規(guī)定：規(guī)定：設函數設函數f(x)在在(a,b)上具有連續(xù)導數上具有連續(xù)導數M0(x0，y0)度量基點度量基點M(x，y)曲線上任一點曲線上任一點(1) 曲線的正向與曲線的正向與x增大的方向一致增大的方向一致s0s0s為為x的函數，記為：的函數，記為：s(x)s(x)為為x的單調增加函數的單調增加函數有向弧段的值有向弧段的值的方向與曲線的正向相反的方向與曲線的正向相反MM0的方向與曲線的正向一致的方向與曲線的正向一致MM0(2) 有向弧段有向弧段

2、的值為的值為sMM0MM0| sM Rxx M0M0 xxxyo弧微分弧微分x的值：的值：xx+x對應的點：對應的點：MM0,xMM 0limxyyx dd21syx s(x)為為x的單調增加函數的單調增加函數dd21syx 弧微分公式弧微分公式y(tǒng) MMs 22222)(|xMMMMMMxMMxs 2222)()()(|xyxMMMM 221|xyMMMM 221|xyMMMMxs1|lim MMMMMM曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑描述曲線局部性質（彎曲程度）描述曲線局部性質（彎曲程度）1M3M)2 2

3、M2S 1S MM 1S 2S NN )弧段彎曲程度越大轉角越大弧段彎曲程度越大轉角越大轉角相同轉角相同,弧段越短彎曲程度越大弧段越短彎曲程度越大1 )背景背景定義定義) S S) .M .MC0MyxosKs 0limMM切線轉角切線轉角: Ks dds 曲線曲線C在在M處的曲率處的曲率|sMM 的平均曲率的平均曲率MM 計算公式計算公式(1) 直線的曲率處處為零直線的曲率處處為零;(2) 圓上各點處的曲率等于半徑的倒數圓上各點處的曲率等于半徑的倒數,半徑越小曲率越大半徑越小曲率越大.,tany 2dd ,1yxy arctan,y 2d1dsyx l注注sKs 0limdds 3 221y

4、ky ( )( )xtyt C: 3 222( )( )( ) ( )( )( )ttttktt u例例1拋物線拋物線y=ax2+bx+c上哪一點處的曲率最大上哪一點處的曲率最大?曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑曲曲 率率一、弧微分二、曲率及其計算公式三、曲率圓與曲率半徑D)(xfy Mk1 xyo定義定義設曲線設曲線y=f(x)在點在點M(x,y)處的曲率為處的曲率為K(K0).在點在點M處的曲線的法線上處的曲線的法線上,在在凹的一側取一點凹的一側取一點D,使使1DMK 以以D為圓心為圓心,為半徑作圓為半徑作圓,稱為曲線在點稱為曲線在點M處的曲率圓處的曲率圓.其中其中: D曲率中心曲率中心曲率半徑曲率半徑l注注1. 曲率半徑與曲率互為倒數曲率半徑與曲率互為倒數.2. 曲率半徑越大曲率半徑越大, 曲線越平坦曲線越平坦;曲率半徑越小曲率半徑越小, 曲線越彎曲曲線越彎曲.3.曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧曲線上一點處的曲率圓弧可近似代替該點附近曲線弧u思考思考橢圓橢圓 x=2cost，y=3sint 上哪些點處曲率最大上哪些點處曲率最大？l解答解答232)(1 |yyk 2322)cos