力矩轉動定律

1、第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量1問：問：在質點問題中，我們將物體所受的力均作用于同一在質點問題中，我們將物體所受的力均作用于同一點，并僅考慮力的大小和方向所產生的作用；在剛體問點，并僅考慮力的大小和方向所產生的作用；在剛體問題中，我們是否也可以如此處理？力的作用點的位置對題中，我們是否也可以如此處理？力的作用點的位置對物體的運動有影響嗎？物體的運動有影響嗎？0,0iiMF圓盤靜止不動圓盤靜止不動0,0iiMF圓盤繞圓心轉動圓盤繞圓心轉動FFFF力矩力矩可以反映力的作用點的位置對物體運動的影響可以反映力的作用點的位置對物體運動的影響.第

2、四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量2Pz*OMFrdM 剛體繞剛體繞 O z 軸旋轉軸旋轉 , 力力 作用在剛體上點作用在剛體上點 P , 且且 F一一 力矩力矩 r在轉動平面內在轉動平面內, 為由點為由點O 到力的作用點到力的作用點 P 的徑矢的徑矢 . FrM 對轉軸對轉軸 Z 的力矩的力矩 FFdM d : 力臂力臂sinFr矢量式矢量式第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量3zOFr討論討論FFFzsinz rFMzFF 1）若力）若力 不在轉動平面內，可把力分解為不在轉動平面內，

3、可把力分解為平行于和垂直于轉軸方向的兩個分量平行于和垂直于轉軸方向的兩個分量 F或或321MMMM 其中其中 對轉軸的力矩為對轉軸的力矩為零，故零，故力對轉軸的力矩力對轉軸的力矩zF一一 力矩力矩 FrM2）合力矩等于各分力矩的矢量和）合力矩等于各分力矩的矢量和FrMz第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量43）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消jiijMMjririjijFjiFdOijMjiM結論：結論：剛體內各質點間的作用剛體內各質點間的作用力對轉軸的合內力矩為零力對轉軸的合內力矩為零.0ijMM

4、第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量5O Oz zmmi i 剛體可看成由剛體可看成由 n n 個質點個質點組成，剛體繞固定軸組成，剛體繞固定軸OzOz轉動，轉動，剛體上每一質點都繞剛體上每一質點都繞OzOz軸作軸作圓周運動。圓周運動。iriF討論外力矩和角加速度之間的關系：討論外力矩和角加速度之間的關系：if 在剛體上取某一質點在剛體上取某一質點i i，其質量為其質量為 mmi i，繞，繞OzOz軸作半軸作半徑為徑為r ri i 的圓周運動。的圓周運動。質點質點i i 受力情況如何？受力情況如何？ 質點質點i i 受兩種力作用，一種是外力

5、受兩種力作用，一種是外力F Fi i（合外力），（合外力），另一種是剛體中其它質點作用的內力另一種是剛體中其它質點作用的內力 f fi i（合內力）。（合內力）。設：外力設：外力F Fi i 和內力和內力 f fi i 均在與均在與OzOz軸垂直的同一平面內。軸垂直的同一平面內。二二 轉動定律轉動定律第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量6iiiiamfF 由牛頓第二定律，質點由牛頓第二定律，質點 i i 的動力學方程為：的動力學方程為：以以 F Fit it 和和 f fit it 分別表示外力和分別表示外力和合內力在質點軌道切向的分合內力

6、在質點軌道切向的分力，那么質點力，那么質點i i 的沿切向的動的沿切向的動力學方程為：力學方程為：iiitiititrmamfF兩邊同乘以兩邊同乘以 r ri i ，得：，得：2iiitiitirmfrFrO Oz zmmi iiriFifitfitF第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量7式中：式中：F Fit it r ri i 是合外力是合外力F Fi 的對的對OzOz軸的力矩；軸的力矩；對于剛體上所有的質點，可得：對于剛體上所有的質點，可得：f fit it r ri i是內力是內力 f fi 對對OzOz軸的力矩。軸的力矩。故上式左

7、邊為作用在質點故上式左邊為作用在質點i i 上上的外力矩與內力矩之和。的外力矩與內力矩之和。2iiitiitirmfrFr)()()(2iiiiitiiitirmfrFrO Oz zmmi iiritfitF第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量8由于剛體內各質點間的內力對轉軸的合力矩為零，即由于剛體內各質點間的內力對轉軸的合力矩為零，即有：有：0)(itifr)(itiFrM)(2iirmM轉動定律轉動定律)()()(2iiiiitiiitirmfrFr)()(2iiiiitirmFr為剛體內所有質點所受的外力為剛體內所有質點所受的外力對轉

8、軸的力矩的代數(shù)和，即合對轉軸的力矩的代數(shù)和，即合力矩。力矩。第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量9得：得：2iirmJ對于繞定軸轉動的剛體，對于繞定軸轉動的剛體，J J 為一恒量。為一恒量。式中式中)(2iirmJM )(2iirmM轉動定律轉動定律是只與剛體的形狀、質量以及轉軸的位置有關，而與是只與剛體的形狀、質量以及轉軸的位置有關，而與運動無關的因子，定義為剛體對軸的運動無關的因子，定義為剛體對軸的轉動慣量轉動慣量第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量10JM JM牛頓第二定律是解決質

9、點牛頓第二定律是解決質點運動問題的基本定律。運動問題的基本定律。轉動定律與牛頓第二定律的比較：轉動定律與牛頓第二定律的比較：轉動定律轉動定律牛頓第二定律牛頓第二定律mFa 轉動定律是解決剛體繞定轉動定律是解決剛體繞定軸轉動問題的基本方程。軸轉動問題的基本方程。它們的形式很相似：外力矩它們的形式很相似：外力矩MM和外力和外力F F相對應，角加速相對應，角加速度度與加速度與加速度a a相對應，轉動慣量相對應，轉動慣量J J 與質量與質量 m m 相對應。相對應。剛體定軸轉動定律：剛體定軸轉動定律：剛體定軸轉動的剛體定軸轉動的角加速度角加速度與它所受與它所受的的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，與剛體

10、的，與剛體的轉動慣量轉動慣量成反比成反比 .第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量11 轉動慣量物理意義：轉動慣量物理意義：轉動慣性的量度轉動慣性的量度. 質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量mrrmJiiid22dm 質量元質量元注意：注意：轉動慣量的大小與剛體的密度、幾何形狀及轉軸轉動慣量的大小與剛體的密度、幾何形狀及轉軸的位置有關，一般都要通過實驗確定，只有質量分布均的位置有關，一般都要通過實驗確定，只有質量分布均勻，形狀典型的剛體的轉動慣量才可以通過計算求得勻，形狀典型的剛體的轉動慣量才可以通過計算求得.2iirmJ三

11、三 轉動慣量轉動慣量國際單位：國際單位：kgm2對質量離散分布剛體的轉動慣量對質量離散分布剛體的轉動慣量2222112rmrmrmJiii第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量122mdJJCO平行軸定理平行軸定理P96 表表4-1列出了一些均勻剛體的轉動慣量列出了一些均勻剛體的轉動慣量 . 質量為質量為m的剛體，如果對的剛體，如果對其質心軸的轉動慣量為其質心軸的轉動慣量為 Jc，則則對任一與該軸平行，相距為對任一與該軸平行，相距為d 的轉軸的轉動慣量的轉軸的轉動慣量dCOm2221mRmRJP例：圓盤對例：圓盤對P 軸的轉動慣量軸的轉動慣量

12、RmO223mR（證明略）（證明略）P第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量13哪種握法轉動慣量大？哪種握法轉動慣量大？第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量14竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 飛輪的質量為什么飛輪的質量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量15P96例例1 一個半徑為一個半徑為 R、質量為、質量為m的定滑輪（當作均勻的定滑輪（當作均勻圓盤）上面繞有輕而細繩索，繩的

13、一端固定在滑輪邊上，圓盤）上面繞有輕而細繩索，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質量為另一端掛一質量為m 的物體。忽略軸處摩擦，求物體的物體。忽略軸處摩擦，求物體 m下落時的加速度、繩中的張力和滑輪的角加速度。下落時的加速度、繩中的張力和滑輪的角加速度。Rommy yRoTmPTm解：解：受力分析受力分析運動分析運動分析0a建立坐標系建立坐標系注：轉動（順時針）和注：轉動（順時針）和平動的坐標取向要一致平動的坐標取向要一致.列方程列方程maTmg對物體對物體m，列牛頓方程，列牛頓方程221RmJRT對滑輪對滑輪m，根據轉動定律，有，根據轉動定律，有第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2

14、力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量16Rommy yRoTmPTm0amaTmg221RmJRT解得解得另有另有Ra TTmmmga22mmmgmT2Rmmmg)2(2第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量17P97例例2 有一半徑為有一半徑為R質量為質量為 m 勻質圓盤勻質圓盤, 以角速度以角速度0 0繞繞通過圓心垂直圓盤平面的軸轉動通過圓心垂直圓盤平面的軸轉動. .若有一個與圓盤大小相若有一個與圓盤大小相同的粗糙平面同的粗糙平面( (俗稱剎車片俗稱剎車片) )擠壓此轉動圓盤擠壓此轉動圓盤, ,故而有正壓故而有正壓力力N N 均勻

15、地作用在盤面上均勻地作用在盤面上, , 從而使其轉速逐漸變慢從而使其轉速逐漸變慢. .設正設正壓力壓力N N 和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)和剎車片與圓盤間的摩擦系數(shù)均已被實驗測出均已被實驗測出. .試問經過多長時間圓盤才停止轉動試問經過多長時間圓盤才停止轉動? ? 在圓盤上取面積微元在圓盤上取面積微元, 面積面積元所受對轉軸的摩擦力矩大小元所受對轉軸的摩擦力矩大小rlRNrFrMfdddd2rl drdfFd剎車片剎車片解：解：0第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量18面積微元所受摩擦力矩面積微元所受摩擦力矩MMd圓盤所受摩擦力矩圓盤所受摩擦

16、力矩NR32以順時針方向為正以順時針方向為正,由轉動定律可由轉動定律可得圓盤角加速度得圓盤角加速度MRNJM43NmRt0043停止轉動需時停止轉動需時rlRNrFrMfdddd2rl drdfFd剎車片剎車片0rRlRrNr2002ddRRrNr022d2第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量19mlo P98例例3 一長為一長為 l 質量為質量為 m的勻質細桿豎直放置，其下的勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈端與一固定鉸鏈 O 相接，并可繞其轉動相接，并可繞其轉動. 由于此豎直放由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時

17、，置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O 轉動轉動.試計算試計算細桿轉動到與豎直線成細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度和角速度角時的角加速度和角速度.Jmglsin21NFP2l解：解：NF和鉸鏈對細桿的約束力和鉸鏈對細桿的約束力受力：細桿受重力受力：細桿受重力P由轉動定律得由轉動定律得式中式中231mlJ 第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量20t dd得得sin23lg00dsin23dlg)cos1 (3lg231sin21mlmglmloNFP2lt d

18、ddddd得得第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量21JM 本節(jié)小結：本節(jié)小結：剛體定軸轉動定律：剛體定軸轉動定律：剛體定剛體定軸轉動的軸轉動的角加速度角加速度與它所受與它所受的的合外力矩合外力矩成正比成正比 ，與剛體，與剛體的的轉動慣量轉動慣量成反比成反比 .2iirmJ剛體對軸的轉動慣量剛體對軸的轉動慣量本節(jié)本節(jié)結束結束FrM一、力矩一、力矩二、轉動定律二、轉動定律OPdrFM三、轉動慣量三、轉動慣量四、平行軸定理四、平行軸定理J JJ JC Cmdmd2 2第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動

19、慣量轉動慣量22CgmfFCaNxy* *P98例例4 如圖一斜面長如圖一斜面長 l = 1.5m, 與水平面的夾角與水平面的夾角= 5o. 有兩個物體分別靜止地位于斜面的頂端有兩個物體分別靜止地位于斜面的頂端, 然后由頂端沿然后由頂端沿斜面向下滾動斜面向下滾動, 一個物體是質量一個物體是質量 m1 = 0.65kg、半徑為、半徑為R1 的實心圓柱體的實心圓柱體, 另一物體是質量為另一物體是質量為 m2 = 0.13 kg 、半徑、半徑 R2 = R1 = R 的薄壁圓柱筒的薄壁圓柱筒. 它們分別由斜面頂端滾到斜它們分別由斜面頂端滾到斜面底部各經歷多長時間面底部各經歷多長時間?物體由斜面頂端滾下物體由斜面頂端滾下, 可視為質心的平動和可視為質心的平動和相對質心的滾動兩種相對質心的滾動兩種運動合成運動合成.解：解：第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量23質心運動方程質心運動方程CmaFmgfsin轉動定律轉動定律JRFfRaaC角量、線量關系角量、線量關系2sinRJamgmaJmRmgRa22sinCgmfFCaNxy圓柱圓柱2121mRJ 薄壁圓柱筒薄壁圓柱筒22mRJ 第四章第四章 剛體轉動剛體轉動4-2 4-2 力矩力矩 轉動定律轉動定律 轉動慣量轉動慣量24JmRmgRa22sin3sin21ga 2sin2ga )(