上海市高三數(shù)學一模填選難題解析

1、2013 年上海市高三數(shù)學一?？陀^壓軸題匯編一、填空題1(2014 年閔行區(qū)一模理科 12)設(shè) i, j 依 次 表 示 平 面 直 角 坐 標 系 x 軸 、 y 軸 上 的 單 位 向 量 ， 且ar ri ar 2rj 5 ，則 ar 2ri 的取值范圍是答案： 655 ,3詳解：根據(jù)題意， ra ir ar 2rj 5的幾何意義為一個點到 (1,0) 的距離加上這個點到 (0, 2)的距離等于 5 ，如下圖所示，即到 A點的距離加上到 B的距離等于 5 ，而 AB就等于 5 ，所以這個點的軌跡即線段 AB，而 我們要求的取值范圍的幾何意義即轉(zhuǎn)化成線段AB 上的點到點 ( 2,0) 的距

2、離的取值范圍， 最短距離即下圖中的 CD 的長度，用點到直線的距離 公式或者等面積法可求得 CD 6 5 ，因為 BC 2 2 ， AC 3，所以距離5的最大值為 3 教法指導：用代數(shù)的方法計算，因為有根號，過程會很繁雜，結(jié)合向 量的模的幾何意義，轉(zhuǎn)化成圖形問題，簡潔明了，易于理解，教學過 程中注意引導數(shù)形結(jié)合的使用2(2014 年閔行區(qū)一模理科 13)log2 x(0 x 4)f (x) 2 2 70 ， 若 a,b,c, d 互 不 相 同 ， 且 x2 8x (x 4)33f (a) f(b) f(c) f(d)，則 abcd的取值范圍是答案： (32,35)詳解：根據(jù)題意， 如圖所示，

3、 ab 1， abcd cd c(12 c) 12c c2，4 c 5 ，所以答案為 (32,35)教法指導：這類題出現(xiàn)較多，典型的數(shù)形結(jié)合題型，要讓學生熟悉各類函數(shù)圖象，以及相應(yīng)的性質(zhì)，尤其是對稱性和周期性；在草稿紙上作圖的時候，雖然是草圖，但有必要做出一些特殊點進行定位；寫區(qū)間的時候，務(wù)必考慮區(qū)間的開閉情況變式練習(2014 年閔行區(qū)一模文科 13)已知函數(shù) f (x) x 1 1，若關(guān)于 x的方 程 f(x) t (t R)恰有四個互不相等的實數(shù)根 x1,x2,x3,x4( x1 x2 x3 x4)， 則 x1 x2 x3 x4 的取值范圍是答案： (3, 4)詳解：根據(jù)題意，如圖 所

4、示 x1 x2 0x1 x2 x3 x4 x3 x4 x3 (4 x3 )4x3 x32 ，x3(1,2)3(2014 年閔行區(qū)一模理科14)Ak x x kt 1 , 12 t 1 ，其中 k 2,3, ,2014 ，則所有 Ak 的交集為 kt k答案： 2, 5 2詳解：因為 k 2,3,2014 ，所以 12 1 1，結(jié)合耐克函數(shù)的圖像，如kk圖所示，當 12 t 1 時，kAk 2,k 1，因為 k 2,3,2014 時， k 1遞增，所以所有 Ak的交集為kk2,52 教法指導：本題考查了耐克函數(shù)的圖像與性質(zhì)，結(jié)合圖像以及函數(shù)的 定義域，處理函數(shù)的值域問題；難度不大，但學生可能會因

5、為含有參數(shù)k而產(chǎn)生畏難心理，可以讓學生先求 A2, A3,A4 ，發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，再總 結(jié)歸納 變式練習42（2014年閔行區(qū)一模文科 14）已知 f（x） x 4 kx2 1 （ k是實常數(shù)），則x x 1f （x） 的最大值與最小值的乘積為答案：k+234（ 2014 年徐匯區(qū)一模理科 12）如圖所示， 已知點 G是 ABC的重心，過 G作直線與 AB、AC 兩邊分別則 xyx的值為 yuuuur uuur uuur uuur交于 M 、N 兩點，且 AM xAB,AN yAC ，答案： 13詳解：解法一： M , G, N三點共線， uuuur uuur uuur AM xAB, ANuu

6、ur AGuuur yAC， uuuur AMuuurANuuur xAB +假設(shè)uuurAGuuuurAMuuurAN ，有=1 ，yuAuCur ， 因 為 G 是 重 心 ， 所 以uuur 1 uuurAG AB31 uuurAC31，3，=1， 3x 3y1，化簡 xxyy13解法二：特殊值法，取 x y 23教法指導：作為填空題，本題的第一做法應(yīng)是解法二，但對于一些特 別認真的學生，一定會問具體做法的，要求我們能夠?qū)懗鼍唧w過程； 注意向量一些常用知識點，以及一些轉(zhuǎn)化技巧5（ 2014 年徐匯區(qū)一模理科 13）一個五位數(shù) abcde滿足 a b,b c d, d e, 且 a d,b

7、 e（ 如 37201,45412） ，則稱這個五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”那么，共有個五位數(shù)符合“正弦規(guī)律”答案： 2892詳解：根據(jù)題意，第二位最大，第四位最小，其他三個數(shù)介于二者之間；由此可以展開分類 第二位數(shù)與第四位數(shù)相差2，情況為 138 種； 第二位數(shù)與第四位數(shù)相差3，情況為 237 種； 第二位數(shù)與第四位數(shù)相差4，情況為 336種；以此類推，總共的情況為13 8+23 7+33 6+43 5+53 4+63 3+7 32+83 1=2892 種教法指導：特殊元素優(yōu)先原則，這里面最大的第二位數(shù)與最小的第四 位數(shù)最特殊， 由此可以展開分類； 這類題型學生一般不知道從何下手， 我們要教會學生

8、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，找出特殊元素或特殊位置，從而合理分類 6( 2014 年徐匯區(qū)一模理科 14)定義區(qū)間 c,d 、 c, d 、 c, d 、 c,d 的長度均為 d c d c . 已知實數(shù)a, b a b . 則滿足 1 1 1的 x 構(gòu)成的區(qū)間的長度之和為 x a x b答案：2詳解：因為求的是區(qū)間的長度，原不等式1xa1xb1(ab) 的解的區(qū)間長度和不等式 1 1 1(t 0) 的解的區(qū)間長度是一樣的， 因為只是圖 x t x像發(fā)生了平移，移項通分得 x tx 2x t 0 ，因式分解后用數(shù)軸標根法 x(x t)解 得 x (0,t 2 t 4 (t,t 2 t 4 ， 區(qū) 間 長 度 之

9、 和 為22t 2 t 2 4 t 2 t2 4 t 22 2 t 2 教法指導：因為含有兩個字母，不等式不好解，所以我們要化歸成一 個字母的不等式問題，因為描述的是區(qū)間長度，根據(jù)題意，圖像平移 并不改變區(qū)間長度，就轉(zhuǎn)化成一個字母，然后解出不等式即可求區(qū)間 長度，注意轉(zhuǎn)化化歸的領(lǐng)會；當然，這道題也可以用特殊值法，不再 贅述7( 2014 年松江區(qū)一模理科 11)對于任意實數(shù) x， x 表示不小于 x的最小整數(shù)，如 1.2 2, 0.2 0 定 義在 R 上的函數(shù) f (x) x 2x ，若集合 A y y f ( x), 1 x 0 ，則集合 A 中所有元素的和為答案： 4詳解： x 1時，

10、f(x) 3； 1 x 0.5， f(x)1； 0.5 x 0 ， f (x)0；1A 3, 1,0教法指導：根據(jù)題目定義，引導學生發(fā)現(xiàn)規(guī)則，用枚舉法列出所有元素即可，重在理解8( 2014 年松江區(qū)一模理科 13)已知函數(shù) f(x) loga 1 x (a 0,a 1) ，若 x1 x2x3x4 ，且f (x1) f (x2) f (x3)f(x4) ，則 1 1x1 x2x3x4答案：2詳解：設(shè) f ( x) log1 x t ， loga 1t ，1 xa t ，x 1x1四個根為 1t t 1 at，1 at，1 a1t ，1t ，它們的倒數(shù)為a1at 11， t， a1tt a ，

11、a t ， t a 1 a 1倒數(shù)之和等于 2解法二：特殊值，例如 a 2，令 f (x) 1，解出四個根即可 教法指導：本題直接求出四個解，并不難，就怕有些學生認為沒這么 簡單，從而去從其他角度分析，反而復雜了，當然，本題可以借助數(shù) 形結(jié)合的方法進行理解，作為填空題，特殊值不失為一種好方法 9( 2014 年松江區(qū)一模理科 14)設(shè)集合 A 1,2,3,L ,n，若 B 且B A，記 G(B)為B中元素的最大值與 最小值之和，則對所有的 B，G(B) 的平均值答案： n 1 詳解：當最大值為 n時，最小值可以為 1，2，3 n ，G( B)個數(shù)為 n，G(B) 之和為 1 2 . n n n

12、 n(1 n) n2 3n2 1 n ；同理當最大值為 n 1時， G(B)個數(shù)為 n 1，2 2 2和為 3 (n 1)2 1 (n 1)；22以此類推， 所有 G(B)的個數(shù)為 1 2 . n n(1 n) ，所有G(B)的和2為3(12 22. n2)1(12 . n) 11n(n1)(2n 1) 1 1n(n1)，除以22 22 2 2G(B) 的個數(shù) n(1 n)就是 G(B) 的平均值 1(2n 1) 1 n 122 教法指導：本題可以舉一些 A 1,2,3,L ,n 的子集，讓學生理解 G(B) 的 意思，然后按最大值或者最小值進行分類，注意B 可能是個單元素集合，不要遺漏這種情

13、況；這類題目注意培養(yǎng)學生的耐心10(2014 年青浦區(qū)一模理科 13)已 知 直 角 坐 標 平 面 上 任 意 兩 點 P(x1,y1) 、 Q(x2,y2) ， 定 義d(P,Q) x2 x1 x2 x1 y2 y1 為P,Q兩點的“非常距離” ，當平面上動 y2 y1 x2 x1 y2 y1點M(x,y) 到定點 A(a,b) 的距離滿足 MA 3時，則 d(M , A)的取值范圍是 答案： 3 2 ,32詳解：根據(jù)題意， 通過比較兩點的水平距離和垂直距離， 較大的為“非 常距離”， A為定點， M 的軌跡是 A為圓心， 3為半徑的圓， 根據(jù)下圖， 例如 A,M 1兩點的垂直距離較大，那

14、么此時 A,M 的非常距離為圖中的綠 色線段部分，而 A,M 2兩點的水平距離相比垂直距離更大，那么非常距 離為圖中的紫色線段部分，可以得出 M 與 A的水平距離或垂直距離最 大為 3，當水平距離等于垂直距離的時候取到最小值3 2 ，即圖中取 M424 的時候 教法指導：理解性的題型，注意引導學生如何理解題意，講解時，一 定要輔以圖像幫助理解11(2014 年青浦區(qū)一模理科 14)若不等式 ( 1)na 3 ( 1) 對任意自然數(shù) n 恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍 n1是答案： 3,2)詳解：當 n 為奇數(shù)時，a 3 1 ， a (3 1 ) ，因為是恒成立，大于 n 1 n 1最大值， 不

15、等式右邊的最大值永遠小于3，所以 a 3；當 n為偶數(shù)時，n 是自然a 3 n11，小于最小值，因為 n N， n 0時取最小值 2教法指導：恒成立問題均為最值問題，注意分類討論，并且 數(shù)，討論 n為偶數(shù)的時候， n是可以取 0 的，學生可能會取 2，這是個 易錯點，需要給學生強調(diào)12(2014 年金山區(qū)一模理科 13)如圖，已知直線 l:4x 3y 6 0，拋物線 C:y2 4x圖像上的一個動點 P到 直線 l與 y軸的距離之和的最小值是答案： 1詳解：如下圖， PH PA PH PB 1 PH PF 1 PH 1 1，PH 用點到直 線距離公式求教法指導：這是 2012 長寧區(qū)二模題，注意

16、圓錐曲線的相關(guān)定義，進 行巧妙的轉(zhuǎn)化，結(jié)合圖像引導學生分析13(2014 年金山區(qū)一模理科 14)在三棱錐 P ABC中，PA 、PB、PC兩兩垂直，且PA 3,PB 2,PC 1. 設(shè)M 是底面 ABC內(nèi)一點，定義 f(M) (m,n,p)，其中 m、n、 p分別是三棱錐 M PAB、 三棱錐 M PBC 、三棱錐 M PCA的體積 .若 f(M) (1,2x,y)，2且 1 a 8 恒成立，則正實數(shù) a 的最小值為xy答案： 6 4 2詳解：依題意得， 2x y 1 ， y 1 2x，將不等式中的 a 分離得a (8 1)(1 2x) 6 ( 1 16x) ，右邊的最大值為 6 4 2 ，

17、所以 a 6 4 2x 2 2x教法指導：這是 2012 長寧區(qū)二模題，主要是理解題意，得出 2x y 是 個定值，要引導學生看透看似復雜的表象，抓住條件的本質(zhì)，然后就 是一道常見的恒成立題型14(2014 年奉賢區(qū)一模理科 13)已知定義在 R上的函數(shù) y f(x) 對任意的 x 都滿足 f(x 2) f(x)，當1 x 1時， f(x) x3 ，若函數(shù) g(x) f(x) loga x 只有 4個零點，則 a的取 值范圍是答案： (1, 1) (3,5)53詳解：根據(jù)已知條件， f(x)周期為 4，先畫 f (x)一個周期圖像， 當1 x 3 時， f(x 2) (x 2)3 f(x)，f

18、(x) (x 2)3，由此畫出 1,3)的圖像，此為 一個周期，圖像如下， g(x) f(x) loga x 只有 4個零點即 f(x)與 y loga x 只有 4 個交點，因為 a是未知的，需要分類討論：當 0 a 1時，有兩個界值，如下圖，此時 5 個交點， 代入點 ( 5, 1) ， 解出 a 15此時 3 個交點，代入點 (3, 1) ，解得 a 13當 a 1時，也有兩個界值，如下圖，此時 3 個交點，代入點 ( 3,1) ， 解得 a 3此時 5 個交點，代入點 (5,1) ，解得 a 5 教法指導：數(shù)形結(jié)合的題型，一定要結(jié)合圖像分析，并且一些用于定 位的特殊點要善于把握；另一方

19、面，必須熟悉初等函數(shù)的所有性質(zhì)以 及函數(shù)圖像的變換15(2014 年奉賢區(qū)一模理科 14)已 知 函 數(shù) y f(x) ， 任 取 t R ， 定 義 集 合 ： At y y f(x),點P(t, f(t),Q(x,f(x), PQ 2 ，設(shè)M t,mt分別表示集合 At中元 素的最大值和最小值，記 h(t) Mt mt ，則( 1)若函數(shù) f (x) x ，則h(1) (2)若函數(shù) f (x) sin x，則 h(t) 的最大值為2答案：(1)2；(2)2詳解：定義的意思是函數(shù) y f (x)在以定點 P(點 P在函數(shù)圖像上)為 圓心半徑為 2 的圓內(nèi)的部分，這部分函數(shù)圖像的值域即 At

20、，第一問， t 1，定點 P (1,1) ，如下圖，藍色實線段部分為符合定義的圖像部分， 這部分圖像最大值為 2，最小值為 0，所以 h(1) 2 第二問，對于 f(x) sin 2 x ，函數(shù)最大值與最小值之差為 2，如下圖， 通過理解觀察， 可得出 At能夠同時包含最大值和最小值， 所以 h(t) 的最 大值為 2，此時 t 2k,k Z 教法指導：這是一道理解性的定義題型，理解題目的定義很重要，然 后結(jié)合函數(shù)圖像進行分析就不難了、選擇題1( 2014 年奉賢區(qū)一模理科18)N* )上動點 P到定點 Q(1,0) 的距離的最小值設(shè)雙曲線 nx2 (n 1)y2 1( n 為 dn ，則 l

21、im dn 的值為(nC. 0 D. 1答案：A詳解：雙曲線方程兩邊同時除n ，得到 x2 (110，n即方程 x2 y2 0 ，這就是方程的極限位置，1 2 1 2 ，當)y，當 nnn即求點 Q(1,0) 到直線 y x的距離，所以選 A教法指導：這是一類要考慮極限位置的極限題型，在高考題中出現(xiàn)過 類似題型，一般找到了極限位置，題目是很容易解的，很多學生不會 做是因為沒有想到極限位置，而是想把 dn用 n表示出來，這就復雜了 2( 2014 年徐匯區(qū)一模理科 18)已知集合 M x,y y f x ，若對于任意 x1,y1 M ，存在 x2,y2 M ， 使得 x1x2 y1y2 0 成立

22、，則稱集合 M是“垂直對點集” . 給出下列四個集 合：1 M x, y y ； M x, y y sinx 1 ；x M x, y y log2 x ； M x, y y ex 2 .其中是“垂直對點集”的序號是( )A B. C. D. 答案：D詳解：根據(jù)題意，對于圖像上任意點 A，圖像上存在點 B，使得 OA OB，所以用排除法，中( 1,1 )點不符合，中( 1,0 )點不符合， 所以選 D 教法指導：這類題型，重在理解題意；作為選擇題，排除法與特殊值 法是要學生能夠靈活運用3( 2014 年青浦區(qū)一模理科 18)對于函數(shù) f (x) ，若在定義域內(nèi)存在實數(shù) x，滿足 f ( x) f(x)，稱 f(x)為 “局部奇函數(shù)”，若f(x) 4x m2x1 m2 3為定義域 R上的“局部奇函數(shù)” ，則實數(shù) m的取值范圍是( )A 1 3 m 1 3B.13m22C. 2 2 m 2 2D.22m13答案：B詳解：因為存在實數(shù)x，滿足