第六章 共形映射

1、第六章第六章 保形映射保形映射 z 平面內(nèi)的任一條有向曲線平面內(nèi)的任一條有向曲線C可用可用 z=z(t), a a t b b表示表示, 它的正向取為它的正向取為t增大時點(diǎn)增大時點(diǎn)z移動的方向移動的方向, z(t)為為一條連續(xù)函數(shù)一條連續(xù)函數(shù). 如果如果z (t0) 0,a at0b b, 則表示則表示z (t)的向量的向量(把起點(diǎn)把起點(diǎn)放取在放取在z0. 以下不一一說明以下不一一說明)與與C相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)z0=z(t0). z(t0)z(a a)z(b b)z (t0)1 保形映射的概念保形映射的概念z(t0)z(a a)z (t0)3 事實上事實上, 如果通過如果通過C上兩點(diǎn)上兩點(diǎn)P0與

2、與P的割線的割線P0P的正向?qū)Φ恼驅(qū)?yīng)于應(yīng)于t增大的方向增大的方向, 則這個方向與表示則這個方向與表示ttzttz)()(00 的方向相同的方向相同.Oxyz(t0)P0Pz(t0+D Dt)C(z)當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P沿沿C無限趨向于點(diǎn)無限趨向于點(diǎn)P0, 割線割線P0P的極限位置就是的極限位置就是C 上上P0處的切線處的切線. 因此因此, 表示表示ttzttztzt)()(lim)(0000的向量與的向量與C相切于點(diǎn)相切于點(diǎn)z0=z(t0), 且方向與且方向與C的正向一致的正向一致.z (t0)4 我們有我們有 1)Arg z (t0)就是就是z0處處C的切線正向與的切線正向與x軸正向間的夾角軸正向

3、間的夾角; 2)相交于一點(diǎn)的兩條曲線相交于一點(diǎn)的兩條曲線C1與與C2正向之間的夾角就是正向之間的夾角就是它們交點(diǎn)處切線正向間夾角它們交點(diǎn)處切線正向間夾角Ox(z)z01C2C5 1.解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)w=f (z)在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)解析解析, z0為為D內(nèi)的一點(diǎn)內(nèi)的一點(diǎn), 且且f (z0) 0. 又設(shè)又設(shè)C為為z平面內(nèi)通過點(diǎn)平面內(nèi)通過點(diǎn)z0的一條有向光滑曲線的一條有向光滑曲線: z=z(t), a a t b b,且且z0=z(t0), z (t0) 0, a at00映射成映射成單位圓單位圓|w|0映射成單位圓映射成單位圓|w|0映射成映射成|w|

4、0映射成單位圓映射成單位圓|w|1且滿且滿 足足w(2i)=0, arg w(2i)=0的分式線性映射的分式線性映射. 2.2iziwezi24( )e,(2 )iiw zzi故有故有(2 ).4iiwiearg(2 )0,.22wi從而得所求的映射為從而得所求的映射為2.2ziwizi解：解：由條件由條件w(2i)=0知知, 所求的映射要將上半平面中所求的映射要將上半平面中的點(diǎn)的點(diǎn)z=2i映射成單位圓周的圓心映射成單位圓周的圓心w=0. 所以由所以由(6.3.3)得得49 例例5 求將單位圓求將單位圓|z|1映射成單位圓映射成單位圓|w|1的分式線的分式線 性映射性映射. x1y(z)OOu

5、v(w)1a aa150 解解 設(shè)設(shè)z平面上單位圓平面上單位圓|z|1內(nèi)部的一點(diǎn)內(nèi)部的一點(diǎn)a a映射成映射成w平平 面上的單位圓面上的單位圓|w|1的中心的中心w=0. 這時與這時與1| 1(0).,1,0,.zwwzwzwaaaa 點(diǎn) 對稱于單位圓周的點(diǎn)應(yīng)該被映射成平面上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 即與對稱的點(diǎn) 因此當(dāng)時而當(dāng)時滿足這些條件的分式線性映射具有如下的形式,111zzkzzkzzkwaaaaaaaakk其中51 由于由于z平面上單位圓周上的點(diǎn)要映成平面上單位圓周上的點(diǎn)要映成w平面上單位平面上單位圓周上的點(diǎn)圓周上的點(diǎn), 所以當(dāng)所以當(dāng)|z|=1,|w|=1. 將圓周將圓周|z|=1上的點(diǎn)上的點(diǎn)z=1代

6、入上式代入上式, 得得|,1 |1 |1|11| |aaaa又因wk 所以所以 |k|=1, 即即k=ei . 這里這里 是任意實數(shù)是任意實數(shù).因此因此, 將單位圓將單位圓|z|1映射成單位圓映射成單位圓|w|1的分式線性的分式線性映射的一般表示式是映射的一般表示式是e. (| 1)(6.3.5)1izwzaaa52 . 1eee1ee|aaaaiiiiiw 反之反之, 形如上式的映射必將單位圓形如上式的映射必將單位圓|z|1映射成單位映射成單位圓圓|w|1. 這是因為圓周這是因為圓周|z|=1上的點(diǎn)上的點(diǎn)z=ei ( 為實數(shù)為實數(shù))映射映射成圓周成圓周|w|=1上的點(diǎn)上的點(diǎn):同時單位圓同時單

7、位圓|z|1內(nèi)有一點(diǎn)內(nèi)有一點(diǎn)z=a a映射成映射成w=0.所以所以(6.3.5)必將單位圓必將單位圓|z|1映射成單位圓映射成單位圓|w|0的分式線性映射的分式線性映射.21211 1111422 22e,ee12311122iiizzzzwwzz解解 由條件由條件w(1/2)=0知知, 所求的映射要將所求的映射要將z=1/2 映射成映射成|w|1的中心的中心. 所以由所以由(6.3.5) 得得54 2i(z)O( )2i(w)w=2(i+ )55 4 幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射幾個初等函數(shù)所構(gòu)成的映射1. 冪函數(shù)冪函數(shù) w=zn(n 2為自然數(shù)為自然數(shù))在在z平面內(nèi)處處可導(dǎo)平面內(nèi)處處可導(dǎo), 它

8、的導(dǎo)數(shù)是它的導(dǎo)數(shù)是 因而當(dāng)因而當(dāng)z 0時時, 所以所以, 在在z平面內(nèi)除去原點(diǎn)外平面內(nèi)除去原點(diǎn)外, 由由w=zn所構(gòu)成的映所構(gòu)成的映射處處保形射處處保形.映射的特點(diǎn)是映射的特點(diǎn)是: 把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成把以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域映射成以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的角形域, 但張角變成了原來的但張角變成了原來的n倍倍.56 O(z) 0O(w)n 0w=zn(z)(w)OO上岸上岸下岸下岸w=zn002)n000角形域:角形域:n(由單值性可知002特別，沿實軸剪開的w平面:2 .n57 0002: 00()nnnnn根式函數(shù)z= w于是w=z 和z= w的映射特點(diǎn)是擴(kuò)大與縮小角形域。例

9、例1 求把角形域求把角形域0arg z /4映射成單位圓映射成單位圓|w|1 的的 一個映射一個映射.解解 =z4將所給角形域?qū)⑺o角形域0arg z0. 又從上節(jié)的例又從上節(jié)的例2知知, 映射映射 44| 1.iwwiziwzi將上半平面映射成單位圓因此所求映射為58 (z)O4O( )1(w) z4iiwizizw4440arg01.4izzImwwi 59 01210arg2zwz例 求映為單位園的一個映射.2222222201010arg0arg2Im01Im0Re01111.11zzzttststzizsiwwwsiziz 解：60 例例3 求把下圖中由圓弧求把下圖中由圓弧C2與與C

10、3所圍成的交角為所圍成的交角為a a的的月牙域映射成角形域月牙域映射成角形域 0arg w 0+a a的一個映射的一個映射. a a 0(w)O1C1C2a a(z)O ii61 a aO( )a a 0(w)O1C1C2a a(z)O iiizizi0eiwizizewi)2(0162 解解 令令C1,C2的交點(diǎn)的交點(diǎn)z=i與與z= i分別映射成分別映射成 平面中的平面中的 =0與與 = , 將所給月牙域映射成將所給月牙域映射成 平面中的角形域的映射是具平面中的角形域的映射是具有以下形式的分式線性函數(shù)有以下形式的分式線性函數(shù): izizk其中其中k為待定的復(fù)常數(shù)為待定的復(fù)常數(shù).111111,

11、.izkikkiiziiCzi 令。這樣就把映射成 平面上的正實軸00()2,0arg.iiziziwieezizia根據(jù)保角性 所給的月牙域映射成角形域由此得所求的映射為63 2. 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù) w = e z由于在由于在z平面內(nèi)平面內(nèi)w= e z 0。所以。所以, 由由 w = e z所構(gòu)成的映射是所構(gòu)成的映射是0y2 上的保形映射上的保形映射.設(shè)設(shè)z =x+iy, w =r r e i , 則則w = e z =e x+iy =r r e i 推出推出 r= e x ：z平面上垂直線平面上垂直線x映射成映射成w平面上圓周平面上圓周r r； （x00單位單位圓周圓周,x0 單位單位圓外

12、）圓外） = y： z平面上水平直線平面上水平直線y映射成映射成w平面上射線平面上射線 。 帶形域帶形域0Im(z)a映射成角形域映射成角形域0arg wa. 特別是帶形域特別是帶形域0Im(z)2 映射成沿正實軸剪開映射成沿正實軸剪開的的w平面平面:0arg w2 .它們間的點(diǎn)是一一對應(yīng)的它們間的點(diǎn)是一一對應(yīng)的.64 aiOxy(z)arg w=auOv(w)2 iOxy(z)Ouv(w)w=ezz=lnw65 由指數(shù)函數(shù)由指數(shù)函數(shù)w = e z 所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)是所構(gòu)成的映射的特點(diǎn)是: 把水平把水平的帶形域的帶形域0Im(z)a(a )映射成角形域映射成角形域0arg wa. 例例4 求

13、把帶形域求把帶形域0Im(z) 映射成單位圓映射成單位圓|w|1的的 一個映射一個映射. w =e ziwieezziwi zi66 例例4 求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。求映射把如圖所示的半帶狀域映成上半單位圓。i zi z 1-1i t1-1i wtewt zwe 67 O(z)ab(w)Oi()Otbaw=e()iz ab aweO(s)b-asz a tis例5 求把帶形域aRe(z)0 的一個 映射. O(t)(b-a)i68 例6 求把具有割痕Re(z)=a, 0Im(z)h的上半 平面映射成上半平面的一個映射. xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)aha a

14、+hBCD69 xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a ha a+hBCDO(z1)C B Dih h2CO BD(z2) COBh2D(z3) O(z4)C BD h+hz1=z az2=z12z3=z2+h2w=z4+a69 xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a ha a+hBCDO(z1)C B Dih h2CO BD(z2) COBh2D(z3) O(z4)C BD h+hz1=z az2=z12z3=z2+h2w=z4+a69 xOy(z)C(a+ih)B DaOuv(w)a ha a+hBCDO(z1)C B Dih h2CO BD(z2) COBh2D(z3) O(z4)C BD h+hz1=z az2=z12z3=z2+h2w=z4+a70 解解 不難看出不難看出, 解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂解決本題的關(guān)鍵顯然是要設(shè)法將垂直于直于x軸的割痕的兩側(cè)和軸的割痕的兩側(cè)和x軸之間的夾角展平軸之間的夾角展平. 由由于映射于映射w=z2能將頂點(diǎn)在原點(diǎn)處的角度增大到兩倍能將頂點(diǎn)在原點(diǎn)處的角度增大到兩倍, 所以利用這個映射可以達(dá)到將割痕展平的目的所以利用這個映射可以達(dá)到將割痕展平的目的.首先首先, 把上半把上半z平面向左平移一個距離平面向左平移一個距離a:z1=z a. 第