自動(dòng)控制原理教案3

1、第3章 線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法本章主要內(nèi)容與重點(diǎn) 典型響應(yīng)的性能指標(biāo)一階系統(tǒng)的時(shí)域分析二階系統(tǒng)的時(shí)域分析 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)判據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的分析和計(jì)算本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容 本章介紹了控制本章介紹了控制系統(tǒng)時(shí)域性能分析法系統(tǒng)時(shí)域性能分析法的相關(guān)概念和原理。的相關(guān)概念和原理。包括各種典型輸入信包括各種典型輸入信號(hào)的特征、控制系統(tǒng)號(hào)的特征、控制系統(tǒng)常用性能指標(biāo)、一階常用性能指標(biāo)、一階、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響、二階系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及應(yīng)、脈沖響應(yīng)函數(shù)及其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)其應(yīng)用、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性及穩(wěn)定判據(jù)、系定性及穩(wěn)定判據(jù)、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差等。本章重點(diǎn)本章重點(diǎn) 通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)通過本章學(xué)

2、習(xí)，應(yīng)重點(diǎn)掌握典型輸入信號(hào)重點(diǎn)掌握典型輸入信號(hào)的定義與特征、控制系的定義與特征、控制系統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)統(tǒng)暫態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)的定義及計(jì)算方法、一的定義及計(jì)算方法、一階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)階及二階系統(tǒng)暫態(tài)響應(yīng)的分析方法、控制系統(tǒng)的分析方法、控制系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)穩(wěn)定性的基本概念及穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用、控制系定判據(jù)的應(yīng)用、控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差概念和誤差系數(shù)的求取等內(nèi)容。差系數(shù)的求取等內(nèi)容。.1 典型響應(yīng)和性能指標(biāo)典型響應(yīng)和性能指標(biāo)0)0(0()0() ccc一一. .典型初狀態(tài)典型初狀態(tài)二典型外作用二典型外作用 1 單位階躍1（t）)(1 t圖3.1 典型外作用 stL1)(11

3、 t=0 0 t=00 t1稱過阻尼，由上知，s1 ，s2為兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根。=1 稱臨界阻尼，s1 ，s2為一對(duì)相等的負(fù)實(shí)根-n01稱為欠阻尼，特征根將為一對(duì)實(shí)數(shù)部為負(fù)的共軛復(fù)數(shù)。=0稱0阻尼，s1 ，s2由上可看出為一對(duì)虛實(shí)部的特征根=0.75%誤差帶四 臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)s1,2= -nssssscnn1)(1)()(22tnnetscLth)1 (1)()(1欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析n21nn0jcos在圖中稱為阻尼角無零點(diǎn)欠阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算公式（1）延遲時(shí)間 的計(jì)算dt) 0()1sin(11)(22ttethntn5 . 0

4、)(dth221)cos1sin(2ln1arcttdndn在繪制出 ntd 和 之間的關(guān)系曲線，利用曲線擬合方法，當(dāng)阻尼比在欠阻尼時(shí)ndt22 . 06 . 01ndt7 . 01或（2）上升時(shí)間 的計(jì)算rt21ndrt0)1sin(1)1sin(11)(222rnrntrttethrn（3）峰值時(shí)間 的計(jì)算pt0sin0sin1)(2pdpdtnttttedttdhpnp,2, 0pdt21,ndppdtt（4）超調(diào)量 的計(jì)算%221/221/221)(1)sin()sin(11)1sin(11)(ethetethppntppn%100%21/e根據(jù)超調(diào)量的定義，并考慮到1)(h%5 .

5、1%4 .25%8 . 04 . 0P.83 圖3-13 給出了欠阻尼二階系統(tǒng)阻尼比與超調(diào)量之間的關(guān)系。（5）調(diào)節(jié)時(shí)間 的計(jì)算 為了簡(jiǎn)化調(diào)節(jié)時(shí)間的計(jì)算，一般用包絡(luò)線來代替實(shí)際響應(yīng)估算調(diào)節(jié)時(shí)間。st在 ，誤差帶 時(shí)，可用以下近似估算公式：8 . 0%505. 0nst5 . 3也可以用以下公式估算：%511ln31%211ln4122nnst) 9 . 00 (%53%24nnst二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的性能指標(biāo)歸納如下：ndt22 . 06 . 01ndt7 . 01或21ndrt21ndpt%100%21/e) 9 . 00 (%53%24nnst實(shí)際上，上述各項(xiàng)性能指標(biāo)之間的存在矛盾，例如上

6、升時(shí)間（響應(yīng)速度）和超調(diào)量（阻尼程度或相對(duì)穩(wěn)定性）)(1%,20%stppKsrdttt)(sC)(sR) 1( ssKs1KsKsKsRsCs)1 ()()()() 1 (2KKKn21) 2 (456.0)1(ln)/1ln(%,100%)3(221/2pppe)/(53.31)4(2sradtpn178. 01246.12) 5(2KKnn)/(14. 31)(097. 1cos) 6(2sradradarcnd)(374. 07 . 01stnd)(651. 012stndr%5)(864. 13%2)(485. 24sstnns過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析過阻尼二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過程分析

7、 過阻尼系統(tǒng)響應(yīng)緩慢，對(duì)于一般要求時(shí)間響應(yīng)快的系統(tǒng)過阻尼響應(yīng)是不希望的。但在有些應(yīng)用場(chǎng)合則需要過阻尼響應(yīng)特性：例如（1）大慣性的溫度控制系統(tǒng)、壓力控制系統(tǒng)等。 （2）指示儀表、記錄儀表系統(tǒng)，既要無超調(diào)、時(shí)間響應(yīng)盡可能快。另外，有些高階系統(tǒng)可用過阻尼二階系統(tǒng)近似。1過阻尼)0(1/1/1)(21/12/21tTTeTTethTtTt動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)：延遲時(shí)間、上升時(shí)間、調(diào)節(jié)時(shí)間因?yàn)榍笊鲜鲋笜?biāo)，要解一個(gè)超越方程，只能用數(shù)值方法求解。利用曲線逆合法給出近似公式ndt22 . 06 . 011（1）延遲時(shí)間 計(jì)算dt21212122/2)/(1,112TTTTTsTsssnn（2）上升時(shí)間 計(jì)算 p.86

8、 圖3-16 rtnrt25 . 111211TTTts（3）調(diào)節(jié)時(shí)間 計(jì)算 p.86 圖3-17st12175. 41/1TtTTs)(sc)(sr) 1(TssK例：角度隨動(dòng)系統(tǒng)如圖所示，設(shè) K 為開環(huán)增益，T=0.1 (s)為伺服電動(dòng)機(jī)的時(shí)間常數(shù)。若要求：?jiǎn)挝浑A躍響應(yīng)無超調(diào)，而且 ，求K的取值、系統(tǒng)的延遲時(shí)間和上升時(shí)間)(1 sts解：因?yàn)榭紤]系統(tǒng)盡量快的無超調(diào)響應(yīng)，則可選阻尼比為臨界阻尼1175. 4Tts01)(1/)(222TKsTssDTKsTsTKKsTsKs5 . 2,2510,10)/(5, 1,1012, 1 . 02KKKTKsradTTnnn21221212211,1

9、1111TTTTsTTsTsTsn2 . 051121TT)(95. 02 . 075. 475. 41sTts)(36. 058 . 12 . 06 . 012stnd)(70. 055 . 35 . 112stnr22222222222) 12 (2)(/2/2112)(nnnnnnnnnnsssssssssssC二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)) 0()2sin(112)(2ttettcdtnnn（1）欠阻尼單位斜坡響應(yīng)dptdttde0)(nssttc2)()2sin(112)()()(2tetctrtedtnnn)2sin(11)(2tetcdtnttnnsssssstc

10、ttctrte2)()()()()211 (21112sin112)2sin(112)(2222pnpnpnpntntnntnntnnpeeeete%)5(3nstnssttc2)(tnnttnettc2112)(tnnnnettctte21122)()() 0(21122)(tetttctnnnn（2）臨界阻尼單位斜坡響應(yīng)%)5(1 . 4nst（3）過阻尼單位斜坡響應(yīng)) 0(1212121212122)() 1(222) 1(22222teettctntnnnn) 0(1212121212122)()()() 1(222) 1(22222teetctrtetntnnnnnsse2P.89

11、例3-3)2() 5 .34(5)(2nnAssssKsG1500,200,5 .13,5,5/25.17AAnAKKK（1）改變開環(huán)增益就相當(dāng)于改變了系統(tǒng)阻尼比，單位階躍響應(yīng)的超調(diào)量和單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差對(duì)阻尼比的要求正好相反，難以折衷；（2）若能選擇某個(gè)開環(huán)增益，滿足穩(wěn)態(tài)與動(dòng)態(tài)要求，但難以滿足擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差要求；（3）在有些系統(tǒng)不能降低系統(tǒng)的開環(huán)增益來?yè)Q取較小的超調(diào)量。二階系統(tǒng)性能的改善二階系統(tǒng)性能的改善改善二階系統(tǒng)性能的兩種方法：比例-微分控制 測(cè)速反饋控制（1）比例-微分控制)(sC)(sR)2(2nnss1sTd)(sE)(th1t2t5t4t3t1t2t5t4t3t)(te)

12、(te 以角度隨動(dòng)系統(tǒng)為例(a)比例控制0，t1) 系統(tǒng)阻尼小，修正轉(zhuǎn)矩過大；輸出超調(diào)t1 , t3) 轉(zhuǎn)矩反向，起制動(dòng)作用，但慣性與制動(dòng)轉(zhuǎn)矩不夠大，仍超調(diào)t3 ,t5) 誤差又為正，修正轉(zhuǎn)矩又為正，力圖使輸出趨勢(shì)減小(b)控制措施：附加誤差的微分量 0，t2) 內(nèi)減小正向修正轉(zhuǎn)矩，增大反向制動(dòng)轉(zhuǎn)矩； t2 , t4) 內(nèi)減小反向制動(dòng)轉(zhuǎn)矩，增大正向修正轉(zhuǎn)矩理論分析：比例-微分控制對(duì)系統(tǒng)性能的影響2/,) 12/() 1()(nndKsssTKsG)2() 1()(2ndnsssTsGzTzsszsTzszszsTzsTsTsTsTssTsGsGsnddnndndnnnnndnnndndndnn

13、dndn212)()2/( 2)() 2/( 2)/ 1() 2/( 2) 1()(1)()(22222222222222有零點(diǎn)二階系統(tǒng)zTzsszsTzsGsGsnddnndndn212)()(1)()(2222比例-微分控制不改變系統(tǒng)的自然頻率，但增大了系統(tǒng)的阻尼比。適當(dāng)選擇開環(huán)增益和微分時(shí)間常數(shù)，既可減小系統(tǒng)斜坡輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差，又可使系統(tǒng)具有滿意的階躍響應(yīng)性能。1d)/1(arg)/(1arg22ddnddntgztgsssszsssssszszsRsGsGsCnndnnndnnndn1211)2(12)()()(1)()(222222222) 0()1sin(121)(2222tte

14、zzthdntdnndndP.92 給出了：（1）求上升時(shí)間的關(guān)系曲線；（2）峰值時(shí)間；（3）超調(diào)量；（4）調(diào)節(jié)時(shí)間 結(jié)論：（1）微分控制可增大系統(tǒng)阻尼，減小階躍響應(yīng)的超調(diào)量，縮短調(diào)節(jié)時(shí)間；（2）允許選取較高的開環(huán)增益，減小穩(wěn)態(tài)誤差；（3）微分對(duì)于噪聲（高頻噪聲）有放大作用，在輸入端噪聲較強(qiáng)時(shí)，不用比例-微分控制。 1)2/(12)(2ntnntnKssKsGntKK2（2）測(cè)速反饋控制)(sE)(sC)(sR)2(2nnsssKt開環(huán)增益2222)(nntnsssnttK21結(jié)論：（1）測(cè)速反饋可以增加阻尼比，但不影響系統(tǒng)的自然頻率；（2）測(cè)速反饋不增加系統(tǒng)的零點(diǎn)，對(duì)系統(tǒng)性能改善的程度與比例

15、-微分控制是不一樣的；（3）測(cè)速反饋會(huì)降低系統(tǒng)原來的開環(huán)增益，通過增益補(bǔ)償，可不影響原系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。P.94 例 3-5 給出無測(cè)速反饋和有測(cè)速反饋控制的性能指標(biāo)P.95 給出比例-微分控制與測(cè)速反饋控制的各自的優(yōu)缺點(diǎn)3-4 控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)判據(jù)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和代數(shù)判據(jù)一一.穩(wěn)定性的定義穩(wěn)定性的定義 如小球平衡位置如小球平衡位置b點(diǎn)點(diǎn),受外界擾動(dòng)作用受外界擾動(dòng)作用,從從b點(diǎn)到點(diǎn)到 點(diǎn)，外力作用去掉后點(diǎn)，外力作用去掉后,小球圍繞小球圍繞b點(diǎn)點(diǎn)作幾次反復(fù)振蕩作幾次反復(fù)振蕩,最后又回到最后又回到b點(diǎn)點(diǎn),這時(shí)小球這時(shí)小球的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。的運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。abcb b 如小球的位置在如小球的位置

16、在a或或c點(diǎn)點(diǎn),在微小擾動(dòng)下在微小擾動(dòng)下,一旦偏一旦偏離平衡位置離平衡位置,則無論怎樣則無論怎樣,小球再也回不到原來小球再也回不到原來位置位置,則是不穩(wěn)定的。則是不穩(wěn)定的。 定義定義:若系統(tǒng)在初始偏差作用下若系統(tǒng)在初始偏差作用下,其過渡過程隨其過渡過程隨時(shí)間的推移時(shí)間的推移,逐漸衰減并趨于零逐漸衰減并趨于零,具有恢復(fù)平衡具有恢復(fù)平衡狀態(tài)的性能狀態(tài)的性能,則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定則稱該系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定,簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。反之為不穩(wěn)定。反之為不穩(wěn)定。 我們把擾動(dòng)消失時(shí)我們把擾動(dòng)消失時(shí),系統(tǒng)與平衡位置的偏差看系統(tǒng)與平衡位置的偏差看作是系統(tǒng)的初始偏差。作是系統(tǒng)的初始偏差。 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身

17、的結(jié)構(gòu)參線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)參數(shù)數(shù),而與外作用及初始條件無關(guān)而與外作用及初始條件無關(guān),是系統(tǒng)的固有是系統(tǒng)的固有特性。特性。二二.穩(wěn)定的充要條件穩(wěn)定的充要條件 設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為:)()()()()()()()()()()(1110111011101110sRsDsMsCasasasasDbsbsbsbsMsDsMasasasabsbsbsbsRsCsnnnnmmmmnnnnmmmm則輸出 由于系統(tǒng)的初始條件為零由于系統(tǒng)的初始條件為零,當(dāng)輸入一個(gè)理想當(dāng)輸入一個(gè)理想的單位脈沖的單位脈沖(t)時(shí)時(shí),則系統(tǒng)的輸出便是單位則系統(tǒng)的輸出便是單位脈沖過渡函數(shù)脈沖過

18、渡函數(shù)k(t),如果如果 ,則系統(tǒng)則系統(tǒng)穩(wěn)定。穩(wěn)定。 若若 是線性系統(tǒng)特征是線性系統(tǒng)特征方程方程 的根的根,且互不相等且互不相等,則上式可則上式可分解為分解為0)(limtkt)()()(, 1)(sDsMsCtL), 2 , 1(nissi0)(sDniiissCsDsMsC1)()()( 式中式中 則通過拉式變換則通過拉式變換,求出系統(tǒng)的單位脈沖過渡求出系統(tǒng)的單位脈沖過渡函數(shù)為函數(shù)為 欲滿足欲滿足 ,則必須各個(gè)分量都趨則必須各個(gè)分量都趨于零。式中于零。式中 為常數(shù)為常數(shù),即只有當(dāng)系統(tǒng)的全即只有當(dāng)系統(tǒng)的全部特征根部特征根 都具有負(fù)實(shí)部才滿足。都具有負(fù)實(shí)部才滿足。issiisssDsMC)()

19、()(nitsiieCtctk1)()(0)(limtktiCis穩(wěn)定的穩(wěn)定的充要條件是充要條件是:系統(tǒng)特征方程的全部根系統(tǒng)特征方程的全部根都具有負(fù)實(shí)部都具有負(fù)實(shí)部,或者閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極或者閉環(huán)傳遞函數(shù)的全部極點(diǎn)均在點(diǎn)均在s平面的虛軸之左。平面的虛軸之左。特征方程有重根時(shí)特征方程有重根時(shí),上述充要條件完全適用。上述充要條件完全適用。i0 0it tk k( (t t) )c ci i0 00 00 0c ci ic ci it tt t穩(wěn)穩(wěn)定定臨臨界界穩(wěn)穩(wěn)定定發(fā)發(fā)散散實(shí)實(shí)根根情情況況下下系系統(tǒng)統(tǒng)的的穩(wěn)穩(wěn)定定性性0 0t tk(t)k(t)0 00 00 0t tt t衰減振蕩穩(wěn)定衰減振蕩穩(wěn)

20、定等幅振蕩臨界穩(wěn)定等幅振蕩臨界穩(wěn)定發(fā)散振蕩不穩(wěn)定發(fā)散振蕩不穩(wěn)定共軛復(fù)根情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性共軛復(fù)根情況下系統(tǒng)的穩(wěn)定性j jj jj j三三.勞思穩(wěn)定判據(jù)勞思穩(wěn)定判據(jù) 不必求解特征方程的根不必求解特征方程的根,而是直接根據(jù)特征而是直接根據(jù)特征方程的系數(shù)方程的系數(shù),判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,回避求解高回避求解高次方程的困難。次方程的困難。 1.系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程中所有項(xiàng)特征方程中所有項(xiàng)的系數(shù)均大于的系數(shù)均大于0.只要有一項(xiàng)等于或小于只要有一項(xiàng)等于或小于0,則則為不穩(wěn)定系統(tǒng)。為不穩(wěn)定系統(tǒng)。 充分條件充分條件:Routh表第一列元素均大于表第一列元素均大于0。 2.R

21、outh表的列寫方法表的列寫方法 特征方程為特征方程為 則則Routh表為表為(在下頁(yè)中在下頁(yè)中)00122334455asasasasasa0011012110112421224051414253434355000241asdcabbcsacbbaabsbaaaaabaaaaasaaasaaas 則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件則系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件:勞思表中第一列元?jiǎng)谒急碇械谝涣性厝看笥谒厝看笥?。若出現(xiàn)小于。若出現(xiàn)小于0的元素的元素,則系統(tǒng)則系統(tǒng)不穩(wěn)定。且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)等不穩(wěn)定。且第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)等于系統(tǒng)正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。于系統(tǒng)正實(shí)部根的個(gè)數(shù)。 例例:50651425310543

22、201234234sssssssss 則系統(tǒng)不穩(wěn)定則系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個(gè)正實(shí)部根。（即有且有兩個(gè)正實(shí)部根。（即有2個(gè)根在個(gè)根在S的右半平面。的右半平面。一次方程一次方程:a1,a0同號(hào)則系統(tǒng)穩(wěn)定。同號(hào)則系統(tǒng)穩(wěn)定。二次方程二次方程:a1,a2,a0同號(hào)則系統(tǒng)穩(wěn)定。同號(hào)則系統(tǒng)穩(wěn)定。三次方程三次方程:a0,a1,a2,a3均大于均大于0,且且a1a2a3a0,則系統(tǒng)穩(wěn)定。則系統(tǒng)穩(wěn)定。001asa00122asasa0012233asasasa3 勞思判據(jù)應(yīng)用（1）勞思表不但可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，）勞思表不但可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而且可以選擇使系統(tǒng)穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器參數(shù)而且可以選擇使系統(tǒng)穩(wěn)定的調(diào)節(jié)器參數(shù)的數(shù)值的

23、數(shù)值(分析參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響分析參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響)。（2）利用勞思表能判斷特征根的位置）利用勞思表能判斷特征根的位置分布情況。分布情況。例1 試分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)穩(wěn)定性的影響,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 式中，Kk為系統(tǒng)的開環(huán)放大系數(shù)。 123111KBKKWsTsT sT sK解：解：系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為 321 2 31 21 32 312310KTT T sTTTTT TsTTTsK 列勞斯表，整理得假設(shè)假設(shè)T T1 1=T=T2 2 =T =T3 3 ，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)K Kk k為為=8。如果取如果取T T2 2=T=T3 3 ，T T1 1=

24、 10T= 10T2 2 ， 則使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)變?yōu)閯t使系統(tǒng)穩(wěn)定的臨界放大系數(shù)變?yōu)镵 Kk k=24.2。由此可見，由此可見，將各時(shí)間常數(shù)的數(shù)值錯(cuò)開，可以允許較將各時(shí)間常數(shù)的數(shù)值錯(cuò)開，可以允許較大的開環(huán)放大系數(shù)。大的開環(huán)放大系數(shù)。 33122123112302KTTTTTTKTTTTTT例例2:結(jié)構(gòu)圖如圖所示結(jié)構(gòu)圖如圖所示,試分析試分析取何值能保證系統(tǒng)穩(wěn)定取何值能保證系統(tǒng)穩(wěn)定. SS 1 ) 1(10SS )(sR )(sC 解解:求系統(tǒng)特征方程求系統(tǒng)特征方程0) 1(1011)(1SSSSSWb0101023SSS建立勞思表建立勞思表: 根據(jù)勞思判據(jù)根據(jù)勞思判據(jù),要保證系統(tǒng)穩(wěn)定要保證

25、系統(tǒng)穩(wěn)定,勞思表第一列的系數(shù)應(yīng)大勞思表第一列的系數(shù)應(yīng)大于于0.1例例3:系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如下圖所示,求能保證系統(tǒng)穩(wěn)定的局部反饋系求能保證系統(tǒng)穩(wěn)定的局部反饋系數(shù)數(shù)kf的數(shù)值。的數(shù)值。 )(sR S11 ) 1(10SS SKf )(sC 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖方法方法1: 特征方程特征方程: 0) 1(10)101(2SKSSf即即:01010)101 (23SSKSf根據(jù)勞思判據(jù)根據(jù)勞思判據(jù)kf0 另一種方法另一種方法: 系統(tǒng)特征方程系統(tǒng)特征方程:01010)101 (23SSKSf根據(jù)勞思判據(jù)根據(jù)勞思判據(jù) kf 0例例4 確定系統(tǒng)穩(wěn)定的K、T值。解: 系統(tǒng)的特征方程為列出勞斯表要使系統(tǒng)穩(wěn)定，第

26、一列元素的符號(hào)均應(yīng)大于零。由此得則穩(wěn)定條件為： , 0 K 0) 1()2(223KsKsTTs0022) 1)(2(2120123KsTTKKTsKTsKTs, 02 , 0TK02) 1)(2(TKKT0T22TT 11 ss013512131sss1s0210823sss1s02075. 9281010123ssss0108 . 2153101112131ssss 例例6:已知系統(tǒng)的特征已知系統(tǒng)的特征為為: 試判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的試判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍值范圍,如果要求特征如果要求特征值均位于值均位于s=-1垂線之左。問垂線之左。問k值應(yīng)如何調(diào)整值應(yīng)如何調(diào)整?0325. 0025. 023

27、ksss解解:特征方程化為特征方程化為: 列勞思表列勞思表:040401323ksss130401340401340134010123kkkskskss及 所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的所以使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍是值范圍是 若要求全部特征根在若要求全部特征根在s=-1之左之左,則虛軸向左平則虛軸向左平移一個(gè)單位，令移一個(gè)單位，令s=s1-1代入原特征方程代入原特征方程,得得: 整理得整理得:130 k040) 1(40) 1(13) 1(12131ksss0)2840(171012131ksss列勞思表列勞思表:第一列元素均大于第一列元素均大于0,則得則得:284010)2840(17028401017101

28、112131kskskss95.47.0 k4.兩種特殊情況兩種特殊情況 情況情況1:勞思表中某一行的第一個(gè)元素為勞思表中某一行的第一個(gè)元素為0,其其它各元素不全為它各元素不全為0,這時(shí)可以用任意小的正數(shù)這時(shí)可以用任意小的正數(shù)代替某一行第一個(gè)為代替某一行第一個(gè)為0 0的元素。然后繼續(xù)的元素。然后繼續(xù)勞思表計(jì)算并判斷。勞思表計(jì)算并判斷。 例例: :160481216)(01231641016124301234234sssssssss 當(dāng)當(dāng)很小時(shí)很小時(shí), , 則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個(gè)正實(shí)部根。則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個(gè)正實(shí)部根。 情況情況2:2:勞思表中第勞思表中第k k行元素全為行元素全為0,0,這說

29、明系這說明系統(tǒng)的特征根或存在兩個(gè)符號(hào)相異統(tǒng)的特征根或存在兩個(gè)符號(hào)相異, ,絕對(duì)值相絕對(duì)值相同的實(shí)根同的實(shí)根, ,或存在一對(duì)共軛純虛根或存在一對(duì)共軛純虛根, ,或存在或存在實(shí)部符號(hào)相異實(shí)部符號(hào)相異, ,虛虛部數(shù)值相同的共軛復(fù)根，部數(shù)值相同的共軛復(fù)根，或上述類型的根兼而有之?；蛏鲜鲱愋偷母娑兄?48124812 此時(shí)系統(tǒng)必然是不穩(wěn)定的。在這種情況下此時(shí)系統(tǒng)必然是不穩(wěn)定的。在這種情況下,可作如下處理。可作如下處理。 (1).用用k-1行元素構(gòu)成輔助方程行元素構(gòu)成輔助方程. (2).將輔助方程為將輔助方程為s求導(dǎo)求導(dǎo),其系數(shù)作為全零行其系數(shù)作為全零行的元素的元素,繼續(xù)完成勞思表。繼續(xù)完成勞思表。

30、 例例:系統(tǒng)的特征方程為：系統(tǒng)的特征方程為：01249332345sssss列勞思表列勞思表:列輔助方程列輔助方程0123450001293431ssssss0181201293324ssss求導(dǎo)第一列符號(hào)改變一次第一列符號(hào)改變一次,有一個(gè)正實(shí)部根有一個(gè)正實(shí)部根,系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。12050122/9018121293431012345ssssss解輔助方程解輔助方程得：得：解得符號(hào)相異，絕對(duì)值相同的兩個(gè)實(shí)根解得符號(hào)相異，絕對(duì)值相同的兩個(gè)實(shí)根和一對(duì)純虛根和一對(duì)純虛根 可見其中有一個(gè)正可見其中有一個(gè)正實(shí)根。實(shí)根。0129324 ss0)4)(1(432224ssss原式12,1s, 24,

31、 3js3-5 穩(wěn)態(tài)誤差的分析和計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的分析和計(jì)算 穩(wěn)態(tài)性能是控制系統(tǒng)的又一重要特性穩(wěn)態(tài)性能是控制系統(tǒng)的又一重要特性,它表它表征了系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的準(zhǔn)確度或抑制擾動(dòng)征了系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的準(zhǔn)確度或抑制擾動(dòng)信號(hào)的能力。而穩(wěn)態(tài)誤差的大小信號(hào)的能力。而穩(wěn)態(tài)誤差的大小,是衡量系統(tǒng)是衡量系統(tǒng)性能的重要指標(biāo)。性能的重要指標(biāo)。一一.誤差和穩(wěn)態(tài)誤差誤差和穩(wěn)態(tài)誤差 1.定義定義: e(t)為系統(tǒng)誤差為系統(tǒng)誤差,Cr(t)為希望輸出為希望輸出,c(t)為實(shí)際為實(shí)際輸出。輸出。)()()(tctCter穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差: 系統(tǒng)的靜態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)系統(tǒng)的靜態(tài)誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān),還與輸還與輸入信號(hào)的大小及形

32、式有關(guān)。而系統(tǒng)的穩(wěn)定入信號(hào)的大小及形式有關(guān)。而系統(tǒng)的穩(wěn)定性的只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。性的只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)。)()(lim)(limtctCteerttss0 0t tC C( (t t) )e es ss sC Cr r( (t t) )2.穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算(1).拉氏變換的終值定理拉氏變換的終值定理 當(dāng)輸入信號(hào)為當(dāng)輸入信號(hào)為 時(shí)時(shí),可用可用終值定理計(jì)算靜態(tài)誤差終值定理計(jì)算靜態(tài)誤差,諧波諧波(正弦正弦,余弦余弦)輸輸入時(shí)不能應(yīng)用此定理。入時(shí)不能應(yīng)用此定理。(2).根據(jù)誤差定義求穩(wěn)態(tài)誤差的方法根據(jù)誤差定義求穩(wěn)態(tài)誤差的方法 a.求誤差響應(yīng)傳遞函數(shù)求誤差響應(yīng)傳遞函數(shù))()(lim)(lim

33、)(lim00sCsCssEsteersstss221,),(1),(tttt)()(sRsEb.誤差響應(yīng)的象函數(shù)誤差響應(yīng)的象函數(shù)c.誤差響應(yīng)的原函數(shù)誤差響應(yīng)的原函數(shù)d.求極值求極值 即為穩(wěn)態(tài)誤差。即為穩(wěn)態(tài)誤差。 如系統(tǒng)同時(shí)存在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)如系統(tǒng)同時(shí)存在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào),則系則系統(tǒng)誤差的求法如下：統(tǒng)誤差的求法如下：)()()()(sRsRsEsE)( te)(limtetR(s)N(s)E(s)+)(ser)(sen 為系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)為系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的誤差傳遞函數(shù), 為系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)。為系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)信號(hào)的誤差傳遞函數(shù)。 則則: 例例:已知系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下已知系

34、統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下,試求系統(tǒng)在輸入試求系統(tǒng)在輸入信號(hào)信號(hào)r(t)=t和擾動(dòng)信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)n(t)=-1(t)同時(shí)作用下同時(shí)作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess)(ser)()()()(lim)(lim00sNssRssssEeenerssss)(sen解解:理想情況偏差信號(hào)理想情況偏差信號(hào)E(S)0， 則系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的希望輸出為：則系統(tǒng)在輸入信號(hào)作用下的希望輸出為：2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)12.01s)1(2ss)()(1)(sRsHsCr)()()(sHsCsRr 對(duì)于擾動(dòng)信號(hào)對(duì)于擾動(dòng)信號(hào)N(s)而言而言,理想的情況就是擾動(dòng)理想的情況就是擾動(dòng)信號(hào)引起的輸出

35、為信號(hào)引起的輸出為0,即希望系統(tǒng)的輸出一點(diǎn)都即希望系統(tǒng)的輸出一點(diǎn)都不受擾動(dòng)的影響。不受擾動(dòng)的影響。 系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用下的實(shí)際輸系統(tǒng)在輸入信號(hào)和擾動(dòng)信號(hào)作用下的實(shí)際輸出為出為:G1(s)N(s)R(s)E(s)-C(s)H(s)G2(s)則則R(s)和和N(s)引起的系統(tǒng)誤差引起的系統(tǒng)誤差為為:)()()()(1)()()()()()(1)()()(212221211sNsHsGsGsGsCsRsHsGsGsGsGsC)(1)()()(11)()()()()()()(1)()()(1)()()(21212111sHsHsGsGssRssRsHsGsGsGsGsHscsCsEererr

36、 在本題中在本題中,首先要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性首先要判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,如果系統(tǒng)如果系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定,不可能存在穩(wěn)態(tài)誤差。特征方程為不可能存在穩(wěn)態(tài)誤差。特征方程為:)()()()()()()()()()(1)()()()()()()()(1)()(0)(2121221222sNssRssEsEsEsHsGsGsGssNssNsHsGsGsGsCsEenerenen02) 1(212 . 011)()()(121ssssHsGsG即即:所以系統(tǒng)穩(wěn)定。所以系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)推導(dǎo)出的公式根據(jù)推導(dǎo)出的公式:0321238 . 02 . 1042 . 12 . 0aaaasss，即2)1(212 .011)1(2

37、)(212)1(212 .0111)(ssssssssssener 系統(tǒng)的誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān)系統(tǒng)的誤差與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)有關(guān),還與外作用還與外作用(輸入信號(hào)輸入信號(hào),擾動(dòng)擾動(dòng))的大小及形式有關(guān)。的大小及形式有關(guān)。85)()()()(lim)(lim1)()( 1)(1)()(002sNssRssssEessNttnssRttrenerssss二二.輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析輸入信號(hào)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析 只有輸入信號(hào)作用時(shí)只有輸入信號(hào)作用時(shí),系統(tǒng)的誤差為系統(tǒng)的誤差為: 假設(shè)系統(tǒng)為單位反饋假設(shè)系統(tǒng)為單位反饋,則則 )()(1)()()(11)(21sRsHsHsGsGsE)()()(11)(

38、21sRsGsGsE1)(,0)()()()(0021sGssGsksGsGsGv時(shí)當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù) 當(dāng)當(dāng)=0,1,2=0,1,2分別稱為分別稱為0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng),型系統(tǒng)型系統(tǒng),型系統(tǒng)型系統(tǒng)( (一般一般不大于不大于2)2) 則則 ) 12() 1() 12() 1()(2222212122210sTsTsTssssG)()(11lim)(lim)()(11)(0000sRsGsksssEesRsGsksEssss將將kp,kv,ka定義定義為穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。為穩(wěn)態(tài)誤差系數(shù)。階躍輸入下用階躍輸入下用kp 表示表示 為位置誤差系數(shù)。為位置誤差系數(shù)。速度輸入下用速度輸入下用kv表示表示

39、為速度誤差系數(shù)。為速度誤差系數(shù)。加速度輸入下加速度輸入下用用ka表示表示 為加速度誤差系數(shù)。為加速度誤差系數(shù)。 ,lim)(lim000sksGskkssp,lim)(lim10010sksGskkss,lim)(lim20020sksGskkssa系統(tǒng)系統(tǒng) 靜態(tài)誤差靜態(tài)誤差系數(shù)系數(shù)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差型別型別0型型型型型型)( 1)(0tRtrtVtr0)(2)(20tAtr kR10kV0kA0000000kkkpkvkaksse前提前提:單位反饋單位反饋H(s)=1 提高系統(tǒng)的型別提高系統(tǒng)的型別,增大系統(tǒng)的開環(huán)增益增大系統(tǒng)的開環(huán)增益,都會(huì)都會(huì)提高系統(tǒng)的精度提高系統(tǒng)的精度,但這樣又會(huì)降低穩(wěn)定性

40、但這樣又會(huì)降低穩(wěn)定性,必須必須綜合考慮。綜合考慮。 例例:某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為某控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖為 試分別求出試分別求出H(s)=1和和H(s)=0.5時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。誤差。12102ss)(sH)(sC-)( 15)(ttr解解:當(dāng)當(dāng)H(s)=1時(shí)時(shí),系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差則系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差當(dāng)當(dāng)H(s)=0.5時(shí)時(shí),0,10,1210)(2ksssG115101510kRess3555 . 015 . 0121011lim)()(lim200sssssRssesersss 若上列在若上列在H(s)=1時(shí)時(shí),系統(tǒng)的允許誤差為系統(tǒng)的允許誤差為0.2,問開

41、環(huán)增益問開環(huán)增益k應(yīng)等于多少應(yīng)等于多少? 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),上例的上例的穩(wěn)態(tài)誤差又是多少穩(wěn)態(tài)誤差又是多少? 因?yàn)橐驗(yàn)?型系統(tǒng)在速度輸入和加速度輸入下的型系統(tǒng)在速度輸入和加速度輸入下的穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大穩(wěn)態(tài)誤差為無窮大,根據(jù)疊加原理根據(jù)疊加原理,ess=2412 .051,100sssseRkkRe則1)(,21)( 1)(2sHttttr三三.擾動(dòng)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析擾動(dòng)作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的分析 理想情況下理想情況下,系統(tǒng)對(duì)于任意形式的擾動(dòng)作用系統(tǒng)對(duì)于任意形式的擾動(dòng)作用,其其穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)當(dāng)為穩(wěn)態(tài)誤差應(yīng)當(dāng)為0,但實(shí)際上這是不可能的。但實(shí)際上這是不可能的。 如果輸入信號(hào)如果輸入信號(hào)R(s)=0,僅有擾動(dòng)

42、僅有擾動(dòng)N(s)作用時(shí)作用時(shí),系系統(tǒng)誤差為統(tǒng)誤差為:)()()()(1)(lim)()()()(1)()(2120212sNsHsGsGsGsesNsHsGsGsGsEsss 擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差,實(shí)質(zhì)上就是擾動(dòng)引實(shí)質(zhì)上就是擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)輸出的負(fù)值起的穩(wěn)態(tài)輸出的負(fù)值,它與開環(huán)傳遞函數(shù)它與開環(huán)傳遞函數(shù) G(s)=G1(s)G2(s)H(s)及擾動(dòng)信號(hào)及擾動(dòng)信號(hào)N(s)有關(guān)有關(guān),還與擾動(dòng)作用點(diǎn)的位置有關(guān)。還與擾動(dòng)作用點(diǎn)的位置有關(guān)。r(t)=0-C(t)12Tsk)( 1)(0tMtn0ksk1(a)r(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn0ksk1(b)000210

43、210021020)1(1)1(lim:)(0)1(11lim:)(kMsMTsskkkTsskksebsMTsskkkTskseassssss中中 作用點(diǎn)不同作用點(diǎn)不同,穩(wěn)態(tài)誤差也不同。穩(wěn)態(tài)誤差也不同。 在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通路中增加一個(gè)在擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的前向通路中增加一個(gè)積分環(huán)節(jié)用積分環(huán)節(jié)用 （比例積分調(diào)節(jié)器）（比例積分調(diào)節(jié)器）代替代替)11(00sTk0kr(t)=0-C(t)12Tsk)(1)(0tMtn)11 (00sTksk1(b) 提高擾動(dòng)作用點(diǎn)前的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)和增益提高擾動(dòng)作用點(diǎn)前的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)和增益,可可以減小或消除擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差以減小或消除擾動(dòng)引起的穩(wěn)態(tài)誤差,但同樣會(huì)

44、但同樣會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 綜上所述綜上所述,為了減小輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，為了減小輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以提高開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)和增可以提高開環(huán)傳遞函數(shù)的積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)和增益。益。0)1()11(1)1(lim02100210sMTsskksTkTsskksesss則 為了減小擾動(dòng)作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以為了減小擾動(dòng)作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差，可以提高擾動(dòng)作用點(diǎn)之前傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的提高擾動(dòng)作用點(diǎn)之前傳遞函數(shù)中積分環(huán)節(jié)的個(gè)數(shù)和增益。而這樣都會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，個(gè)數(shù)和增益。而這樣都會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，而提高開環(huán)增益還會(huì)使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能變差，而提高開環(huán)增益還會(huì)使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能變差，有些控制系統(tǒng)既要求有較高的穩(wěn)態(tài)精度，又有些控制系統(tǒng)既要求有較高的穩(wěn)態(tài)精度，又要求有良好的動(dòng)態(tài)性能，利用上述方法難以要求有良好的動(dòng)態(tài)性能，利用上述方法難以兼顧。為此我們用下