復變函數(shù)與積分變換第二版本2.1 解析函數(shù)概念ppt課件

1、1第二章 解析函數(shù) 第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)2.2 解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系解析函數(shù)和調(diào)和函數(shù)的關(guān)系2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念2.3 初等函數(shù)初等函數(shù)2第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 2.1 解析函數(shù)的概念解析函數(shù)的概念一、導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分 二、解析函數(shù)二、解析函數(shù) 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程 3第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 一、導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分1. 復變函數(shù)的導數(shù)復變函數(shù)的導數(shù)zwz 0limzzfzzfz )()(lim000那么稱那么稱 在在 處可導，處可導，)(zf0z設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 點的某鄰域內(nèi)有定義，點的某鄰域內(nèi)有定

2、義，)(zfw 0z定義定義zz 0是是0z, )()(00zfzzfw 的鄰域內(nèi)的恣意一點，的鄰域內(nèi)的恣意一點，假設(shè)假設(shè)存在有限的極限值存在有限的極限值 A，且稱且稱 A為為 在在 處的導數(shù)，處的導數(shù)，)(zf0z. )(0zf 記作記作 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點都可導，內(nèi)的每一點都可導，)(zf在在 D 內(nèi)可導，此時即得內(nèi)可導，此時即得 的導的導(函函)數(shù)數(shù))(zf. )(zf )(zf那么那么稱稱 P30定義定義 2.1 4第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 一、導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分2. 復變函數(shù)的微分復變函數(shù)的微分那么稱那么稱 在在 處可微，處可微，)(

3、zfz設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 點的某鄰域內(nèi)有定義，點的某鄰域內(nèi)有定義，)(zfw zzz z定義定義是是的鄰域內(nèi)的恣意一點，的鄰域內(nèi)的恣意一點， 假設(shè)假設(shè) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)處處可微，那么稱內(nèi)處處可微，那么稱 在在 D 內(nèi)可內(nèi)可微。微。)(zf)(zf假設(shè)存在假設(shè)存在 A，使得，使得, ) | ()()(zozAzfzzfw 記作記作zA .dzAw 為微分，為微分，特別地，有特別地，有.dzz zzfw )( (思索函數(shù)思索函數(shù) 即可即可) ) 導數(shù)反映的是導數(shù)反映的是“變化率；而微分更能表達變化率；而微分更能表達“逼近的思想。逼近的思想。.ddzAw P30 補補 5第二章 解析函數(shù) 2.1

4、 解析函數(shù)的概念 一、導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分3. 可導與可微以及延續(xù)之間的關(guān)系可導與可微以及延續(xù)之間的關(guān)系(1) 可導可導 可微可微假設(shè)可導假設(shè)可導)(lim0zfzwz 0)(lim0 zzzfwz) | ()(zozzfw 可微；可微；假設(shè)可微假設(shè)可微)(lim0zfAzwz 可導。可導。) | (zozAw zzoAzw ) | (由此可得由此可得zzfwd)(d .dd)(zwzf 即即6第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 一、導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分3. 可導與可微以及延續(xù)之間的關(guān)系可導與可微以及延續(xù)之間的關(guān)系(1) 可導可導 可微可微(2) 可導可導 延續(xù)延續(xù)假設(shè)可導假設(shè)可

5、導可微可微) | (zozAw 0lim0 wz延續(xù)。延續(xù)。 由此可見，上述結(jié)論與一元實函數(shù)是一樣的。由此可見，上述結(jié)論與一元實函數(shù)是一樣的。 對二元實函數(shù)：對二元實函數(shù)： 偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在 可微可微 偏導數(shù)延續(xù)。偏導數(shù)延續(xù)。7第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 ,2z zzzzz 220)(limzzzzz 20)(2lim)2(lim0zzz 解解zzfzzfz )()(lim0(1) 由由( n 為正整數(shù)為正整數(shù) )；,)(1 nnznz同理可得同理可得.2)()(2zzzf 得得,0)( C( C 為復常數(shù)為復常數(shù) )。8第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 解解zzzz

6、z 11lim0)(1lim0zzzz .12z zzfzzfz )()(lim0(2) 由由.11)(2)(zzzf 得得9第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 一、導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分4. 求導法那么求導法那么;)()( )()(zgzfzgzf ; )()()()( )()(zgzfzgzfzgzf ,)()()()()()()(2zgzgzfzgzfzgzf . )0)( zg(1) 四那么運算法那四那么運算法那么么P32 10第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 一、導數(shù)與微分一、導數(shù)與微分4. 求導法那么求導法那么(1) 四那么運算法那么四那么運算法那么. )()()(

7、zgzgfzgf .)(1)(1)()(wfzfwwz (2) 復合函數(shù)的求導法那么復合函數(shù)的求導法那么(3) 反函數(shù)的求導法那么反函數(shù)的求導法那么其中，其中， 與與 是兩個互為反函數(shù)的單值是兩個互為反函數(shù)的單值)(wz )(zfw .0)( zf函數(shù)，且函數(shù)，且11第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 二、解析函數(shù)二、解析函數(shù)那么稱那么稱 在在 點解析；點解析；)(zf0z(1) 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在在 點以及點以及 點的鄰域內(nèi)處處可導，點的鄰域內(nèi)處處可導，)(zf0z0z定義定義(2) 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)的每一點解析，內(nèi)的每一點解析，)(zf那么稱那么稱)(zf或者

8、稱或者稱 是是 D 內(nèi)的解析函數(shù)。內(nèi)的解析函數(shù)。在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zf奇點奇點那么稱那么稱 為為 的奇點。的奇點。假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在在 點不解析，點不解析，)(zf0z0z)(zf(2) 區(qū)域可導區(qū)域可導 區(qū)域解析。區(qū)域解析。關(guān)系關(guān)系 (1) 點可導點可導 點解析；點解析； P31定義定義 2.2 ( (解析函數(shù)的由來解析函數(shù)的由來) )12第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 二、解析函數(shù)二、解析函數(shù)性質(zhì)性質(zhì) (1) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的兩個函數(shù)內(nèi)解析的兩個函數(shù) 與與 的和、的和、差、積、商差、積、商(除去分母為零的點除去分母為零的點)在在 D 內(nèi)解析。內(nèi)解析

9、。)(zf)(zg(2) 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在在 z 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 D 內(nèi)解析，內(nèi)解析，)(zg 那么復合函數(shù)那么復合函數(shù) 在在 D 內(nèi)解析。內(nèi)解析。 )( gfw 函數(shù)函數(shù) 在在 平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域 G 內(nèi)解析，內(nèi)解析， )( fw 且對且對 D 內(nèi)的每一點內(nèi)的每一點 z，函數(shù)，函數(shù) 的值都屬于的值都屬于 G，)(zgP32 13第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 由函數(shù)由函數(shù) 的解析性以及的解析性以及nz又方程又方程 的根是的根是014)(2 zzQ,21 z)(zf 2)()()()()(zQzQzPzQzP .)14()3(814222 zzzz,3)( zzP

10、,14)(2 zzQ設(shè)設(shè)解解當當 時，時，0)( zQ)()()(zQzPzf 解析，解析，因此在全平面除去點因此在全平面除去點 的區(qū)域內(nèi)，的區(qū)域內(nèi)， 解析。解析。)(zf21 z求導法那么可知：求導法那么可知：14第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 極限不存在極限不存在( (見見1.5 )1.5 )討論函數(shù)討論函數(shù) 的解析性。的解析性。2|)(zzfw 例例zwz 0lim當當 時，時，0 z即即,0lim0 zwz;0)0( f當當 時，時，0 zzwz 0lim不存在。不存在。因此，因此， 僅在僅在 點可導，處處不解析。點可導，處處不解析。0 z2|)(zzfw zzzzzzzz

11、)( )(lim0解解,|)(2zzzzfw )(22yx 由由有有. )(lim0zzzzzz 15第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 討論函數(shù)討論函數(shù) 的解析性。的解析性。yixzfw2)( 例例yixyixyyixxyx )2()(2)(lim00解解zwz 0lim,2lim00yixyixyx 當當 時，時，0,0 yx,2lim0 zwz當當 時，時，0,0 xy,1lim0 zwz因此，因此， 處處不可導，處處不解析。處處不可導，處處不解析。yixzfw2)( 對函數(shù)對函數(shù) 如何判別其解析性？如何判別其解析性？問題問題, ),(),()(yxviyxuzf 16第二章 解析

12、函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1. 點可導的充要條件點可導的充要條件且滿足柯西且滿足柯西-黎曼黎曼(Cauchy-Riemann )方程：方程： 和和 在點在點 處可微，處可微，),(yxu),(yxv),(yx( (簡稱簡稱 方方程程) )RC ,yvxu .xvyu 函數(shù)函數(shù) 在點在點 處可導處可導),(),()(yxviyxuzfw 定理定理yixz 的充要條件是：的充要條件是：)(22yxoyBxAu 實二元函數(shù)實二元函數(shù) 可微的含義：可微的含義：),(yxu附附) | (zo . )(22yxoyyuxxu P33定理定理 2.1 17第二章 解析函

13、數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1. 點可導的充要條件點可導的充要條件證明證明 必要性必要性 “ viuzfw )(假設(shè)假設(shè)在在 處可導，處可導，yixz , ) | ()( )(zoyixibaviu 且且,yvxua .xvyub 和和 在點在點 處可微，處可微，),(yxu),(yxv),(yx故故,)(biazf 記記, ) | ()(zozxfw 那么必可微，即那么必可微，即由由,viuw yixz 有有, ) | (zoybxau , ) | (zoyaxbv 18第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 z 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1. 點

14、可導的充要條件點可導的充要條件證明證明 充分性充分性 “ )(zf即即在在 處可微處可微(可導可導)，yixz , ) | ()()(zoyixviuviuwxx 假設(shè)假設(shè)和和 在點在點 處可微，處可微，),(yxu),(yxv),(yx那那么么得得, ) | (zoyuxuuyx , ) | (zoxvyvvxy ,xyyxvuvu 又由又由和和 滿足滿足 方程：方程：uvRC , ) | (zoyuxuuyx , ) | (zoxvyvvxy xu xv .)(xxviuzf 且且( (跳過跳過?)?)19第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 .)(xvixuzf 求導公式求導公式三、

15、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程1. 點可導的充要條件點可導的充要條件)(zf假設(shè)假設(shè)在在 處可導，處可導，yixz 那么那么yuixu yuiyv .xviyv P34 ( (關(guān)于關(guān)于C -RC -R條件條件) )20第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 三、柯西三、柯西-黎曼方程黎曼方程2. 區(qū)域解析的充要條件區(qū)域解析的充要條件和和 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)可微，內(nèi)可微， 且且),(yxu),(yxv函數(shù)函數(shù) 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析的內(nèi)解析的),(),()(yxviyxuzfw 定理定理充要條件是：充要條件是：滿足滿足 C - R 方程。方程。推論推論在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)存在且延續(xù)，并滿足

16、內(nèi)存在且延續(xù)，并滿足 C - R 方程，方程，),(),()(yxviyxuzfw 在區(qū)域在區(qū)域 D 內(nèi)解析。內(nèi)解析。和和 的四個偏導數(shù)的四個偏導數(shù)假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)),(yxu),(yxvyxyxvvuu ,那么函數(shù)那么函數(shù) P34定理定理 2.2 P34推論推論 21第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 可知不滿足可知不滿足 C - R 方程，方程，解解 由由zw ,yix 有有,yvxu ,1 yv,0 xv,1 xu,0 yu所以所以 在復平面內(nèi)處處不可導，在復平面內(nèi)處處不可導， 處處不解析。處處不解析。zw 討論函數(shù)討論函數(shù) 的可導性與解析性。的可導性與解析性。例例zw 22第二章

17、 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 , )()(3223yyxiyxx ,3223yyxvyxxu 有有,322yxyv ,2 yxxv ,322yxxu ,2 yxyu ,0 yx由由 C - R 方程，方程， 所以所以 僅在僅在 點可導，點可導， 處處不解析。處處不解析。zw 2z)0,0(解解 由由zw 2zzz2| 討論函數(shù)討論函數(shù) 的可導性與解析性。的可導性與解析性。例例2zzw 23第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 ,2yyv ,0 xv,2xxu ,0 yu討論函數(shù)討論函數(shù) 的可導性與解析性。的可導性與解析性。例例22)(yixzf ,yx 由由 C - R 方程，方程，

18、 解解 由由,22yvxu 有有處處不解析。處處不解析。所以所以 僅在直線僅在直線 上可導，上可導， yx 22)(yixzf xyyx 24第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 討論函數(shù)討論函數(shù) 的可導性與解析性。的可導性與解析性。例例)sin(cos)(eyiyzfx 解解 由由有有,sin,coseeyvyuxx ,coseyuxx ,sineyuxy ,coseyvxy ,sineyvxx 四個偏導數(shù)延續(xù)，四個偏導數(shù)延續(xù)， 且滿足且滿足 C - R 方程，方程，故故 在全平面上處處可導，在全平面上處處可導，)sin(cos)(eyiyzfx 處處解析，且處處解析，且. )sin(c

19、os)(eyiyviuzfxxx 注注)sin(cos)(eyiyzfx 函數(shù)函數(shù)yixee 記為記為,ez本例結(jié)果闡明：本例結(jié)果闡明：.)(eezz P35 例例2.4 部分部分 25第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 ,2yAxux ,2ByxAuy ,2yxDvy ,2yDxCvx 解解 由由有有,2222yxyDxCvByxyAxu 由由 C - R 方程可得方程可得,22yxDyAx , )2(2yDxCByxA 求解得求解得 .2,1,1,2 DCBA26第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 即得即得cyxf ),( (常數(shù)常數(shù)) )。(1) 由由 解析，解析，證證viu

20、zf )(,yxvu ,xyvu ,)(yxvu ,)(xyvu 由由 解析，解析，viuzf )(,0 yxyxvvuuvu,為常數(shù)，為常數(shù)，27第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 證證0),( yxf( (常數(shù)常數(shù)) )；(2) 由由 解析，解析，viuzf )(,yxvu ,xyvu ,0 vu由由 在在 D 內(nèi)為常數(shù)，內(nèi)為常數(shù)，| )(|zfavu 22( (常數(shù)常數(shù)) )，兩邊分別對兩邊分別對 x , y 求偏導得：求偏導得： 假設(shè)假設(shè),0 uvvu 假設(shè)假設(shè),0 uvvu方程組方程組(A)只需零解，只需零解，即得即得cyxf ),( (常數(shù)常數(shù)) )。,0 yxyxvvuuv

21、u,為常數(shù)，為常數(shù)，,0 xxvvuu,0 yyvvuu ,0 yxuvuu,0 yxuuuv(A) 28第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 解解 令令, )(0)()()(21vvizgzfzh 記為記為,viu 由由 和和 解析，得解析，得 也解析，也解析，)(zf)(zg)(zh由由 C - R 方程有方程有,yxvu ,xyvu ,0)(21 yvv,0)(21 xvv即得即得cyxvyxv ),(),(21( (常數(shù)常數(shù)) )。意義意義 解析函數(shù)的實部一旦給定，那么虛部只能相差一個常數(shù)。解析函數(shù)的實部一旦給定，那么虛部只能相差一個常數(shù)。( (虛部虛部) )( (實部實部) )例

22、例 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)解析，證明：解析，證明：1)(viuzf ,),(),(21cyxvyxv 2)(viuzg 和和均在某區(qū)域均在某區(qū)域 D 內(nèi)內(nèi)其中其中 c 為常數(shù)。為常數(shù)。 下節(jié)還將看到對于解析函數(shù)的實部下節(jié)還將看到對于解析函數(shù)的實部(或虛部或虛部)本身也有要求。本身也有要求。29第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 輕松一下30第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 附：附：知識廣角知識廣角 解析函數(shù)的由來解析函數(shù)的由來 解析函數(shù)的稱號是康道爾西解析函數(shù)的稱號是康道爾西(Condorcet)首先運用的。他的首先運用的。他的研討報告沒有公開出版，但有很多人知道他的任務(wù)。研討報告沒有公開

23、出版，但有很多人知道他的任務(wù)。 在康道爾西運用該稱號在康道爾西運用該稱號 20 年之后，拉格朗日年之后，拉格朗日(Lagrange)也也運用了解析這個術(shù)語，他在運用了解析這個術(shù)語，他在中將能展開成中將能展開成級數(shù)的函數(shù)說成是解析函數(shù)。級數(shù)的函數(shù)說成是解析函數(shù)。 如今所運用的解析函數(shù)的概念，那么根本上是在魏爾斯特如今所運用的解析函數(shù)的概念，那么根本上是在魏爾斯特拉拉斯斯(Weierstrass)的著作中構(gòu)成的。的著作中構(gòu)成的。( (前往前往) )31第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 1755年，歐拉年，歐拉(Euler)也提到了上述關(guān)系式。也提到了上述關(guān)系式。附：附：知識廣角知識廣角 關(guān)

24、于關(guān)于 C - R 條件條件,yvxu .xvyu 1746年，達朗貝爾年，達朗貝爾(DAlemert)在研討流膂力學時首先提到在研討流膂力學時首先提到了如下的關(guān)系式：了如下的關(guān)系式：假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 是解析函數(shù)，那么上述關(guān)系式成是解析函數(shù)，那么上述關(guān)系式成立。立。ivuzf )( 1777年，歐拉的兩篇研討報告年，歐拉的兩篇研討報告(1793年與年與1794年才發(fā)表年才發(fā)表)中中 ,證明了條件的必要性，即證明了條件的必要性，即32第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 附：附：知識廣角知識廣角 關(guān)于關(guān)于 C - R 條件條件 1851年，上述關(guān)系式在黎曼的第一篇重要論文年，上述關(guān)系式在黎曼

25、的第一篇重要論文(博士論文博士論文) “復變函數(shù)論的根底中再次出現(xiàn)。黎曼把它當作了解析復變函數(shù)論的根底中再次出現(xiàn)。黎曼把它當作了解析函數(shù)定義的根底，并且在它上面建立了相應(yīng)的實際。函數(shù)定義的根底，并且在它上面建立了相應(yīng)的實際。 上述關(guān)系式在柯西的著作中也多次出現(xiàn)?？挛髟诤荛L時期上述關(guān)系式在柯西的著作中也多次出現(xiàn)。柯西在很長時期內(nèi)沒能處理所研討的函數(shù)該當滿足什么樣的條件才干成為內(nèi)沒能處理所研討的函數(shù)該當滿足什么樣的條件才干成為解析函數(shù)，直到晚年他才區(qū)分出解析函數(shù)類。解析函數(shù)，直到晚年他才區(qū)分出解析函數(shù)類。 后來人們就以柯西和曼黎的名字來命名上述關(guān)系式，不過后來人們就以柯西和曼黎的名字來命名上述關(guān)系式，不過也有些著作把該上述關(guān)系式稱為歐拉達朗貝爾條件。也有些著作把該上述關(guān)系式稱為歐拉達朗貝爾條件。33第二章 解析函數(shù) 2.1 解析函數(shù)的概念 附：附：人物引見人物引見 柯西柯西 數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家之一。數(shù)學史上最多產(chǎn)的數(shù)學家之一。 復變函數(shù)論的奠基人之一。復變函數(shù)論的奠基人之一。 數(shù)理彈性實際的奠基人之一數(shù)理彈性實際的奠基人之一 。法國