高中數(shù)學(xué)必修5《等比數(shù)列的前n項和》教案

1、高中數(shù)學(xué)必修5等比數(shù)列的前n項和教案 高中數(shù)學(xué)必修5等比數(shù)列的前n項和教案【一】 教學(xué)準(zhǔn)備 教學(xué)目標(biāo) 熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提升學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。 教學(xué)重難點 熟悉與數(shù)列知識相關(guān)的背景，如增長率、存款利息等問題，提升學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實際問題的能力，強化應(yīng)用儀式。 教學(xué)過程 【方法規(guī)律】應(yīng)用數(shù)列知識界實際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是通過對實際問題的綜合分析，明確其數(shù)學(xué)模型是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，并明確其首項，公差(或公比)等基本元素，然后設(shè)計合理的計算方案，即數(shù)學(xué)建模是解答數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵。 一、基礎(chǔ)

2、訓(xùn)練 1.某種細菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個分裂為兩個)，經(jīng)過3小時，這種細菌由1個可繁殖成 ( ) A、511 B、512 C、1023 D、1024 2.若一工廠的生產(chǎn)總值的月平均增長率為p，則年平均增長率為( ) A、 B、 C、 D、 二、典范例題 例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A，每期利率為p，到第n期共有本金nA，第一期的利息是nAp，第二期的利息是(n-1)Ap，第n期(即最后一期)的利息是Ap，問到第n期期末的本金和是多少? 評析：此例來自一種常見的存款叫做零存整取。存款的方式為每月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時期到期，可以提出全部本金及利息，這是整取

3、。計算本利和就是本例所用的有窮等差數(shù)列求和的方法。用實際問題列出就是：本利和=每期存入的金額存期+12存期(存期+1)利率 例2：某人從1999到2002年間，每年6月1日都到銀行存入m元的一年定期儲蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2022年6月1日，此人到銀行不再存款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元? 例3、某地區(qū)位于沙漠邊緣，人與自然進行長期頑強的斗爭，到1999年底全地區(qū)的綠化率已達到30%，從2000年開始，每年將出現(xiàn)以下的異化：原有沙漠面積的16%將栽上樹，改造為綠洲，同時，原有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬?問經(jīng)過多少年

4、的努力才能使全縣的綠洲面積超過60%.(lg2=0.3) 例4、.流行性感冒(簡稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道傳染病.某市去年11月分曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該市新的流感病毒感染者有20人，之后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增進50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒的傳遞得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數(shù)最多?并求這一天的新患者人數(shù). 高中數(shù)學(xué)必修5等比數(shù)列的前n項和教案【二】 整體設(shè)計 教學(xué)分析 本節(jié)是數(shù)列一章的最后內(nèi)容

5、，分兩課時完成，第一課時側(cè)重于公式的推導(dǎo)及記憶，第二課時側(cè)重于公式的靈活應(yīng)用.等比數(shù)列的前n項和是教材中很重要的一部分內(nèi)容，是等比數(shù)列知識的再認(rèn)識和再運用，它對學(xué)生進一步掌握、理解等比數(shù)列以及數(shù)列的知識有著很重要的作用.等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，也是培養(yǎng)學(xué)生分析、發(fā)現(xiàn)、類比等能力的很好的一個工具.在講求和公式推導(dǎo)時，應(yīng)指出其運算的依據(jù)是等式性質(zhì)和數(shù)運算的通性(交換律、結(jié)合律、分配律).培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維的習(xí)慣和代數(shù)運算技能. 新大綱中對本知識有較高層次的要求，教學(xué)地位很重要，是教學(xué)全部學(xué)習(xí)任務(wù)中必須優(yōu)先完成的任務(wù).這項知識內(nèi)容有廣泛的實際應(yīng)用，很多問題都要轉(zhuǎn)化到等比數(shù)列的求和上來才能得到解決.

6、如增長率、濃度配比、細胞分裂、儲蓄信貸、養(yǎng)老保險、分期付款的有關(guān)計算等許多方面均用到等比數(shù)列的知識，因而考題中波及數(shù)列的應(yīng)用問題屢見不鮮.掌握等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，培養(yǎng)建模和解模能力是解決數(shù)列應(yīng)用問題的基本途徑. 等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式中共波及五個量，將兩個公式結(jié)合起來，已知其中三個量可求另兩個量，即已知a1，an，q，n，Sn五個量中的任意三個，就可以求出其余的兩個量，這其中浸透了方程的思想.其中解指數(shù)方程的難度比較大，訓(xùn)練時要控制難度和復(fù)雜程度，要大膽地摒棄“煩瑣的計算、人為技巧化的難題和過分強調(diào)細枝末節(jié)的內(nèi)容”. 數(shù)列模型運用中蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法(如方程的思想、分類討論思想

7、、算法思想等)，這些思想方法對培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、運算能力和邏輯思維能力等基本能力有著不可替代的作用.教學(xué)中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，還應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間. 三維目標(biāo) 1.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生會用方程的思想認(rèn)識等比數(shù)列前n項和公式，會用等比數(shù)列前n項和公式及有關(guān)知識解決現(xiàn)實生活中存在著的大量的數(shù)列求和的問題，將等比數(shù)列前n項和公式與等比數(shù)列通項公式結(jié)合起來解決有關(guān)的求解問題. 2.通過啟發(fā)、引導(dǎo)、分析、類比、歸納，并通過嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的解題思想和解題方法的訓(xùn)練，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng). 3.通過解決生產(chǎn)實際和社會生活中的實際問題了解社會、認(rèn)識社會，形成科學(xué)的世界觀和價值觀. 重點難點 教學(xué)重

8、點：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)及靈活運用，及生產(chǎn)實際和社會生活中有關(guān)的實際問題. 教學(xué)難點：建立等比數(shù)列模型，用等比數(shù)列知識解決有關(guān)的生產(chǎn)實際及社會生活中的熱點問題. 課時安置 2課時 教學(xué)過程 第1課時 導(dǎo)入新課 思路1.(故事導(dǎo)入)國際象棋起源于古代印度，相傳有位數(shù)學(xué)家?guī)е嬘?4個方格的木盤，和32個雕刻成六種立體形狀，分別涂黑白兩色的木制小玩具，去見波斯國王并向國王介紹這種游戲的玩法.國王對這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，一天到晚興致勃勃地要那位數(shù)學(xué)家或者大臣陪他玩.高興之余，他便問那位數(shù)學(xué)家，作為對他忠心的獎賞，他需要得到什么賞賜呢?數(shù)學(xué)家開口說道：請您在棋盤上的第一個格子上放

9、1粒麥子，第二個格子上放2粒，第三個格子上放4粒，第四個格子上放8粒即每一個次序在后的格子中放的麥粒都必須是前一個格子麥粒數(shù)目的2倍，直到最后一個格子第64格放滿為止，這樣我就十分滿足了.“好吧!”國王揮揮手，慷慨地答應(yīng)了數(shù)學(xué)家的這個謙卑的請求.國王覺得，這個要求太低了，問他：“你怎么只要這么一點東西呢?”數(shù)學(xué)家笑著懇求道：“陛下還是叫管理國家糧倉的大臣算一算吧!”第二天，管理糧倉的大臣滿面愁容地向國王報告了一個數(shù)字，國王大吃一驚：“我的天!我哪來這么多的麥子?”這個玩具也隨著這個故事傳遍全世界，這就是今日的國際象棋.假定千粒麥子的質(zhì)量為40 g，那么，數(shù)學(xué)家要求的麥粒的總質(zhì)量究竟是多少呢?由

10、此傳說向?qū)W生發(fā)問：怎樣算出小麥的總質(zhì)量呢? 思路2.(問題導(dǎo)入)買24枚釘子，第一枚14分錢，第二枚12分錢，第三枚1分錢，以此類推，每一枚釘子的錢是前一枚的2倍，共要多少錢?請學(xué)生想一想，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為簡略沒有多少錢，結(jié)果一算嚇一跳，大概要4萬2千元.事實上，這是等比數(shù)列的求和問題，即S=14+12+1+2+221=?那么怎樣求等比數(shù)列的前n項和呢?在學(xué)生急于揭開謎底的強烈欲望下展開新課的探究. 推進新課 新知探究 提出問題 (1)回憶等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程，是用什么方法推導(dǎo)的? (2)對任意數(shù)列an，前n項和與通項an的關(guān)系是什么? (3)對首項為1的等比數(shù)列an，你能探究它的前n項

11、和嗎? (4)對任意等比數(shù)列an，怎樣推導(dǎo)它的前n項和公式呢?你能聯(lián)想到哪些推導(dǎo)思路? (5)對于思路1中麥粒問題，國王應(yīng)發(fā)給數(shù)學(xué)家多少麥粒?對于Sn=1+2+22+2n-1的兩邊為什么要乘以2而不是乘以3或4呢? 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面學(xué)過的等差數(shù)列前n項和問題，我們用倒序相加法推得了它的前n項和公式，而且得到了求等差數(shù)列通項公式的一個方法：an=a1，Sn-Sn-1，n=1，n2，還知道這個由數(shù)列Sn來明確an的方法適用于任何數(shù)列，且a1不一定滿足由Sn-Sn-1=an求出的通項表達式. 類比聯(lián)想以上方法，怎樣探究等比數(shù)列的前n項和呢?我們先來探究象棋格里填麥粒的問題，也就是求S=1+

12、2+263=?讓學(xué)生充分觀察這個式子的特點，發(fā)現(xiàn)每一項乘以2后都得它的后一項，點撥學(xué)生找到解決問題的關(guān)鍵是等式左右同乘以2，再相減得和.通過這個問題的解決，先讓學(xué)生有一個感覺，就是等比數(shù)列的前n項和可化為一個比較簡單的形式，關(guān)鍵的問題是如何簡化.再讓學(xué)生探究首項為1的等比數(shù)列的前n項和，即1，q，q2，qn-1的前n項和.觀察這個數(shù)列，由于各項指數(shù)不同，顯然不能倒序相加減.但可發(fā)現(xiàn)一個規(guī)律，就是次數(shù)是依次增進的，教師引導(dǎo)學(xué)生模仿等差數(shù)列寫出兩個求和式子，給學(xué)生以足夠的時間讓其觀察、思考、合作交流、自主探究. 經(jīng)過教師的點撥，學(xué)生的充分活動，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)把兩個Sn=1+q+q2+qn-1錯一個位，

13、兩邊再同乘以公比q，那么相同的指數(shù)就對齊了.這一發(fā)現(xiàn)是突破性的智慧發(fā)現(xiàn)，是石破驚天的發(fā)現(xiàn).這樣將Sn=1+q+q2+qn-1與qSn=q+q2+q3+qn兩式相減就有(1-q)Sn=1-qn，以下只需討論q的取值就可得到Sn了. 在上面的特殊簡單情形解決過程中，蘊含著一個特殊并且重要的處理問題的方法，那就是“錯位相減，消除差別”的方法.我們將這種方法簡稱為“錯位相減法”.在解決等比數(shù)列的一般情形時，我們還可以使用“錯位相減法”. 如果記Sn=a1+a2+a3+an， 那么qSn=a1q+a2q+a3q+anq， 要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-anq. 這里要提醒

14、學(xué)生注意q的取值. 如果q1，則有Sn=a1-anq1-q. 上述過程我們略加異化一下，還可以得到如下的過程： 如果記Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1， 那么qSn=a1q+a1q2+a1qn-1+a1qn， 要想得到Sn，只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-a1qn. 如果q1，則有Sn=a1(1-qn)1-q. 上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是用的“錯位相減法”. 形式上，前一個出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個基本量：a1，q，an，Sn，n中a1，q，an，Sn四個;后者出現(xiàn)的是a1，q，Sn，n四個，這將為我們今后運用公式求等比數(shù)列的前n項的和提供了選

15、擇的余地. 值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q1”的前提下得到的.言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q1時，我們才能用上述公式. 對于等比數(shù)列的一般情形，如果q=1會是什么樣呢?學(xué)生很快會看出，若q=1，則原數(shù)列是常數(shù)列，它的前n項和等于它的任一項的n倍，即Sn=na1.由此我們得到等比數(shù)列an的前n項和的公式： Sn=na1，q=1，a1(1-qn)1-q，q1或Sn=na1，q=1，a1-anq1-q，q1. 教師進一步啟發(fā)學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列的特征和我們所學(xué)知識，還能探究其他的方法嗎?經(jīng)過學(xué)生合作探究，聯(lián)想初中比率的性質(zhì)等，我們會有以下推導(dǎo)方法： 思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有a2a1

16、=a3a2=a4a3=anan-1=q， 再由合比定理，則得a2+a3+a4+ana1+a2+a3+an-1=q， 即Sn-a1Sn-an=q， 進而就有(1-q)Sn=a1-anq. 當(dāng)q=1時，Sn=na1，當(dāng)q1時，Sn=a1-anq1-q. 思路二：由Sn=a1+a2+a3+an，得 Sn=a1+a1q+a2q+an-1q=a1+q(a1+a2+an-1)=a1+q(Sn-an)， 進而得(1-q)Sn=a1-anq. (以下從略) 在思路二中，我們巧妙地利用了Sn-Sn-1=an這個關(guān)系式，教師再次向?qū)W生強調(diào)這是一個特別重要的關(guān)系式，應(yīng)引起足夠的重視，幾乎在歷年的高考中都有它的影子.

17、但要注意這里n2，也就是n的取值應(yīng)使這個關(guān)系式有意義，若寫Sn-1-Sn-2=an-1，則這里n3，以此類推. 教師引導(dǎo)學(xué)生對比等差數(shù)列的前n項和公式，并結(jié)合等比數(shù)列的通項公式，從方程角度認(rèn)識這個公式，以便正確靈活地運用它.(1)在等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式中共有a1，an，n，q，Sn五個量，只要知道其中任意三個量，都可以通過建立方程(組)等手段求出其余兩個量;(2)在應(yīng)用公式求和時，應(yīng)注意到公式的使用條件q1，當(dāng)q=1時，應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn=na1.在解含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和問題時，常應(yīng)分類討論q=1與q1兩種情況. 討論結(jié)果：(1)倒序相加法; (2)an=Sn-Sn-1(n

18、2); (3)利用錯位相減法; (4)利用an=Sn-Sn-1(n2); (5)乘以2的目的是為了錯位相減，共有麥粒264-1(顆)，每千粒麥子按40 g計算，共約7 000億噸. 應(yīng)用示例 例1求下列等比數(shù)列的前8項的和： (1)12，14，18，; (2)a1=27，a9=1243，q<0. 活動：本例目的是讓學(xué)生熟悉公式，第(1)小題是對等比數(shù)列的前n項和公式的直接應(yīng)用;第(2)小題已知a1=27，n=8，還缺少一個已知條件，由題意顯然可以通過解方程求得公比q.題目中要求q<0，一方面是為了簡化計算，另一方面是想提醒學(xué)生q既可為正數(shù)，又可為負數(shù).本題中由條件可得q8=a9a1

19、=1243×27，再由q<0可得q=-13.將所得的值代入公式就可以了.本例可由學(xué)生自己探究解答. 解：(1)因為a1=12，q=12，所以當(dāng)n=8時，S8=121-(12)81-12=255256. (2)由a1=27，a9=1243，可得q8=a9a1=1243×27， 又由q<0，可得q=-13， 于是當(dāng)n=8時，S8=27(1-1243×27)1-(-13)=1 64081. 點評：通過本例要讓學(xué)生熟悉方程思想，再次讓學(xué)生確定，等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式中共五個量：a1，an，q，n，Sn，五個量中已知任意三個就可以求出其余的兩個，其中a

20、1，q為最基本的兩個量.同時提醒學(xué)生注意，由于等比數(shù)列波及到指數(shù)問題，有時解題計算會很煩瑣，要注意計算化簡中的技巧，靈活運用性質(zhì). 例2(教材本節(jié)例2) 活動：本例是等比數(shù)列求和公式的直接運用，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合方程思想，按算法的思路來解答.本例可由學(xué)生自己完成. 點評：通過本例讓學(xué)生確定，等比數(shù)列的通項公式和求和公式共波及5個量：a1，q，an，n，Sn，已知其中3個量就可以求出另外的2個量. 變式訓(xùn)練 設(shè)an是公比為正數(shù)的等比數(shù)列，若a1=1，a5=16，則數(shù)列an前7項的和為() A.63 B.64 C.127 D.128 答案：C 解析：a5=a1q4，16=q4. 又q>0，q=2.

21、S7=a1(1-q7)1-q=127. 例3(教材本節(jié)例3) 活動：本例仍屬等比數(shù)列求和公式的直接應(yīng)用.雖然原數(shù)列不是等比數(shù)列，不能用公式求和，但可這樣轉(zhuǎn)化：9=10-1,99=100-1,999=1 000-1，這樣就容易解決了. 點評：讓學(xué)生體會本例中的轉(zhuǎn)化思想. 變式訓(xùn)練 求和：2+22+222+ . 解：原式=29(10-1)+29(102-1)+29(10n-1) =29(10+102+10n-n) =2910(1-10n)1-10-n =2081(10n-1)-29n. 例4求數(shù)列1,3a,5a2,7a3，(2n-1)an-1的前n項的和. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列特點，其形式是

22、anbn型數(shù)列，且an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列.根據(jù)本節(jié)等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法，可采用錯位相減法進行求和.教學(xué)時可讓學(xué)生自己獨力探究，教師適時地點撥，要注意學(xué)生規(guī)范書寫. 解：當(dāng)a=1時，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7，(2n-1)， 則Sn=n1+(2n-1)2=n2. 當(dāng)a1時，有 Sn=1+3a+5a2+7a3+(2n-1)an-1， aSn=a+3a2+5a3+7a4+(2n-1)an， -，得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+2an-1-(2n-1)an， (1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+an-1) =1-(2n-1)an+2a(1-an-1)1-a =

23、1-(2n-1)an+2(a-an)1-a. 又1-a0， Sn=1-(2n-1)an1-a-2(a-an)(1-a)2. 點評：通過本例，讓學(xué)生反省解題時要善于識別題目類型，善于分類討論.在應(yīng)用錯位相減時，寫出的“Sn”與“qSn”的表達式應(yīng)非常注意將兩式“同項對齊”，以便于下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表達式. 變式訓(xùn)練 等差數(shù)列an中，a2=8，S6=66. (1)求數(shù)列an的通項公式; (2)設(shè)數(shù)列Cn的通項為Cn=2n，求數(shù)列anCn的前n項和An. 解：(1)由已知，得a1+d=8，(a1+a6)62=66，解得a1=6，d=2. an=2n+4. (2)由題意，知anCn=(2

24、n+4)2n， An=621+822+1023+(2n+4)2n. 在上式中兩邊同乘以2，得 2An=622+823+1024+(2n+4)2n+1. -，得-An=621+222+223+22n-(2n+4)2n+1=4-(2n+2)2n+1， An=(n+1)2n+2-4. 例5已知數(shù)列an中，a1，a2，a3，an，構(gòu)成一個新數(shù)列：a1，(a2-a1)，(an-an-1)，此數(shù)列是首項為1，公比為13的等比數(shù)列. (1)求數(shù)列an的通項; (2)求數(shù)列an的前n項和Sn. 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察新數(shù)列的各項，不難發(fā)現(xiàn)這樣一個事實：新數(shù)列的前n項和恰為an，這樣即可將問題轉(zhuǎn)化為首項為1，公

25、比為13的等比數(shù)列的前n項和，數(shù)列an的通項公式求出后，計算其前n項和Sn就容易多了 . 解：(1)an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1) =1+13+(13)2+(13)n-1=321-(13)n. (2)Sn=a1+a2+a3+an =32(1-13)+321-(13)2+321-(13)n =32n-13+(13)2+(13)n =32n-341-(13)n =34(2n-1)+14(13)n-1. 點評：本例思路新穎，方法獨特，解完本例后教師引導(dǎo)學(xué)生反省本例解法，注意平時學(xué)習(xí)中培養(yǎng)思路的靈活性. 知能訓(xùn)練 1.設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S6S3=12，則

26、S9S3等于() A.12 B.23 C.34 D.13 2.在等比數(shù)列an中， (1)已知a2=18，a4=8，求a1與q; (2)已知a5-a1=15，a4-a2=6，求a3. 答案： 1.C解析：S6S3=12， 由a1(1-q6)1-q+a1(1-q3)1-q=12，得q3=-12. S9S3=1-q91-q3=34. 2.解：(1)由已知得a1q=18，a1q3=8. 解這個方程組，得a1=27，q=23或a1=-27，q=-23. (2)根據(jù)題意，有a1q4-a1=15，a1q3-a1q=6. 方程兩邊分別相除，得a1q4-a1a1q3-a1q=156. 整理，得2q2-5q+2=

27、0. 解這個方程，得q=2或q=12. 當(dāng)q=2時，a1=1;當(dāng)q=12時，a1=-16. 所以a3=4或a3=-4. 課堂小結(jié) 1.由學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容：等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)，非常是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了錯位相減法;在運用等比數(shù)列求和時，注意q的取值范疇是很重要的一點，需要放在第一位來思考. 2.等比數(shù)列求和公式有兩種形式，在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)題目所給的條件靈活選用，注意從方程的角度來觀察公式，并結(jié)合等比數(shù)列的通項公式共5個量，知三可求二，并注意解題中的化簡技巧. 作業(yè) 課本習(xí)題23 B組2、3. 設(shè)計感想 “探索是教學(xué)的生命線”，本教案設(shè)計體現(xiàn)以學(xué)生為本的思想.為了讓學(xué)生較好掌握本課內(nèi)容

28、，本節(jié)課主要采用觀察法、歸納法等教學(xué)方法，同時采用設(shè)計變式題的教學(xué)手段進行教學(xué).通過具體問題的引入，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)源于生活. 本教案設(shè)計加強數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練.因為數(shù)列內(nèi)容幾乎浸透了中學(xué)數(shù)學(xué)所有的數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)列模型運用中更是蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法對培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理 解能力、運算能力和邏輯思維能力等有著不可替代的作用.教學(xué)中應(yīng)充分讓學(xué)生體會這些思想方法的運用. “問題是數(shù)學(xué)的心臟”，本教案設(shè)計注重了情境教學(xué).通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生 探究的興趣和欲望， 樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，增強學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，體驗在學(xué)習(xí)中獲得的成功. (設(shè)計者：張

29、曉君) 第2課時 導(dǎo)入新課 思路1.(情境導(dǎo)入)一個人為了積累養(yǎng)老金，他每個月及時到銀行存100元，銀行的年利率為4%，假設(shè)可以任意分段按復(fù)利計算，試問此人在5年后共積累了多少養(yǎng)老金?如果存款和復(fù)利按日計算，則他又有多少養(yǎng)老金?如果復(fù)利和存款連續(xù)計算呢?銀行復(fù)利計息的計算方法正是我們今天要探究的內(nèi)容，由此展開新課. 思路2.(習(xí)題導(dǎo)入)在等比數(shù)列an中，已知a1+a2+a3=8，a4+a5+a6=-4，則數(shù)列前15項的和S15為() A.112 B.312 C.5 D.15 本題如果運用方程的思想，求數(shù)列an的首項a1和公比q以后再求S15，是一種常規(guī)思路，但運算量較大.可將原數(shù)列按一定規(guī)律重

30、新組合成一個新的等比數(shù)列，S15又剛好是新數(shù)列前5項的和，新數(shù)列的首項和公比又容易求得，使得小題巧解.具體解法如下： 解析：設(shè)b1=a1+a2+a3=8;b2=a4+a5+a6=-4;b5=a13+a 14+a15， 則b1，b2，b3，b4，b5構(gòu)成一個等比數(shù)列，其首項為8，公比為-12. 故S15=S5=b1+b2+b3+b4+b5=112.選A. 由此展開本課的進一步探究. 答案：A 推進新課 新知探究 提出問題 (1)回憶等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程，是用什么方法推導(dǎo)的?需要注意什么問題? (2)比較等差、等比數(shù)列的前n項和公式，從推導(dǎo)方法到應(yīng)用有什么不同?怎樣從方程的角度理解等比數(shù)

31、列的求和公式? (3)利用等比數(shù)列求和的關(guān)鍵是什么? (4)你能對等差、等比數(shù)列求和問題作一歸納總結(jié)嗎? (5)應(yīng)用等比數(shù)列可解決哪些類型的實際問題? 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的等比數(shù)列的求和公式，通過“錯位相減”的思路方法很巧妙地將等式Sn=a1+a1q+a1qn-1的兩邊同乘以該數(shù)列的公比q，使得等式右邊各項都向右錯了一位;然后通過求Sn-qSn把相同項消去，達到簡化的目的，最后解出Sn.這種求和方法具有普通性，教師再次引導(dǎo)學(xué)生回顧這種求和方法的精髓，注意的問題是必須注意q是否等于1，如果不明確，就應(yīng)分q=1與q1兩種情況或更多的情況進行討論. 等比數(shù)列求和的關(guān)鍵與等差數(shù)列求和一樣

32、，在于數(shù)列通項公式的表達形式，由通項公式的形式特點明確相應(yīng)的求和方法.為了達到求和時的簡化運算，應(yīng)充分利用等比數(shù)列的前n項和的性質(zhì).(1)若某數(shù)列的前n項和公式為Sn=an-1(a0,1)，則an成等比數(shù)列.(2)若數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，則Sn，S2n-Sn，S3n-S2n也成等比數(shù)列;若項數(shù)為2n(nN*)，則S偶S奇=q. 應(yīng)用等比數(shù)列可解決的實際問題有：產(chǎn)量增減、價格升降、細胞繁殖、貸款利率、增長率等方面的問題.解決方法是建立數(shù)列模型，應(yīng)用數(shù)列知識解決問題，要讓學(xué)生明了數(shù)列的實際應(yīng)用一直是全國各地市高考的熱點、重點，考題的形式多種多樣，難度為中、高檔. 等比數(shù)列求和問題作為數(shù)列的

33、重要內(nèi)容之一，蘊含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教學(xué)時可與等差數(shù)列對比，歸納、總結(jié). (1)求和問題可以利用等差、等比數(shù)列的前n項和公式解決，在具體問題中，既要善于從數(shù)列的通項入手觀察數(shù)列的特點與變化規(guī)律，又要注意項數(shù). (2)非等差(比)的特殊數(shù)列求和題通常的解題思路是： 設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一思考方法常常通過通項分解或錯位相減來完成. 不能轉(zhuǎn)化為等差(比)的特殊數(shù)列，常常通過裂項相消法、錯位相減法和倒序相加法求和.一般地，如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列就用公式法;如果數(shù)列項的次數(shù)及系數(shù)有規(guī)律，一般可用錯位相減法;如果每項可寫成兩項之差一般可用拆項法;如果能求出通項，可用拆項分組法.

34、 (3)數(shù)列求和的關(guān)鍵在于數(shù)列通項公式的表達形式，根據(jù)通項公 式的形式特點，觀察采用哪種方法是這類題的解題訣竅. (4)通項公式中含有(-1)n的一類數(shù)列，在求Sn時要注意需分項數(shù)n的奇偶性討論. 討論結(jié)果：(1)(2)(3)(5)略. (4)數(shù)列求和的常用方法有：公式法、倒序相加法、錯位相減法和裂項相消法，這也是高考常考的幾種求和方法. 例1某商場今年銷售計算機5 000臺，如果平均每年的銷售量比上一年的銷售量增進10%，那么從今年起，大概幾年可使總銷售量達到30 000臺?(結(jié)果保留到個位) 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中抽象出等比數(shù)列模型，并確定這是一個已知Sn

35、=30 000求n的問題.本例的解答應(yīng)先根據(jù)等比數(shù)列的前n項和公式列方程，再用對數(shù)的知識解方程. 解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增進的百分率相同，所以，從今年起，每年銷售量組成一個等比數(shù)列an， 其中a1=5 000，q=1+10%=1.1，Sn=30 000. 于是得到5 000(1-1.1n)1-1.1=30 000， 整理，得1.1n=1.6， 兩邊取對數(shù)，得nlg1.1=lg1.6， 用計算器算得n=lg1.6lg1.10.20.0415(年). 答：大概5年可以使總銷售量達到30 000臺. 點評：本例是一道關(guān)于等比數(shù)列模型的應(yīng)用題，需要從實際問題中抽象出等比數(shù)列模型.從實際背景

36、的角度講，本例的設(shè)計一方面是想讓學(xué)生了解計算機日益普及，其銷量越來越大;另一方面，對于一個商場來講，為實現(xiàn)一定的商品銷售目標(biāo)而制訂計劃也是一件自然的事情. 變式訓(xùn)練 某市2022年共有1萬輛燃油型公交車.有關(guān)部門計劃于2022年投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增進50%，試問： (1)該市在2022年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車? (2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的13? 解：(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列an， 其中a1=128，q=1.5， 則在2022年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7=a1q6=128×1.5

37、6=1 458(輛). (2)記Sn=a1+a2+an，依據(jù)題意，得Sn10 000+Sn>13. 于是Sn=128(1-1.5n)1-1.5>5 000(輛)， 即1.5n>65732，則有n-lg65732lg1.57.5， 因此n8. 所以，到2022年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量的13. 例2(教材本節(jié)例4) 活動：這是本單元教材安置的最后一道例題.教師引導(dǎo)學(xué)生寫出每個月的產(chǎn)值，建立等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)量分析理解任一月份的計算表達式和求總和的計算方法. 例3某教師購買安居工程集資房72 m2，單價為1 000元m2，一次性國家財政補貼28 800

38、元，學(xué)校補貼14 400元，余款由個人負擔(dān).房地產(chǎn)開發(fā)公司對教師實行分期付款，每期為1年，等額付款.簽訂購房合同后，1年付款1次，再過1年又付款1次等等，共付10次，10年后還清.如果按年利率7.5%，每年復(fù)利1次計算，那么每年應(yīng)付多少元?(計算結(jié)果精確到百元.下列數(shù)據(jù)供參考：1.07521.921,1.075102.065,1.075112.221) 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生理清問題中的基本數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列的模型，然后按等比數(shù)列的知識就很容易解決了.本例由教師與學(xué)生共同探究完成. 解：設(shè)每年應(yīng)付款x元，那么到最后1次付款時付款金額的本利和為x(1+1.075+1.0752+1.0753+1.

39、0759)元; 購房余款10年后的本利和為1 000×72-(28 800+14 400)1.07510=28 800×1.07510元，根據(jù)10年后還清，得 x(1+1.075+1.0752+1.0759)=28 800×1.07510， x=28 800×1.07510×1.075-11.07510-14 200(元)， 即每年應(yīng)付4 200元. 點評：解決本例的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型.分期付款以及新生利息之和，應(yīng)等于購房個人分擔(dān)部分10年后的本息和. 變式訓(xùn)練 假如一個人得到了一條消息，他偷偷地告訴了兩個朋友，半小時后這兩個朋友又各自偷偷

40、地告訴了自己的兩個朋友.如果每個得到消息的人在半小時內(nèi)把這一消息告訴兩個朋友，計算一下，24小時后有多少人知道了這條消息? 解：按題意，半小時有1+2人，一小時有1+2+22人，設(shè)24小時后有x人知道，則x=1+2+22+23+248， 2x=2+22+23+24+249， 兩式相減得x=249-1. 利用對數(shù)計算可知x5.61×1014. 也就是說從第一個人知道消息開始，只過了一天時間，就有五百六十一萬億人知道了這條消息. 例4某地現(xiàn)有居民住房的總面積為a m2，其中需要拆除的舊住房面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定在每年拆除一定數(shù)量舊住房的情況下，仍以10%的住房增長率建新住房. (

41、1)如果10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年應(yīng)拆除的舊住房總面積x是多少?(可取1.1102.6) (2)過10年還未拆除的舊住房總面積占當(dāng)時住房總面積的百分比是多少?(保留到小數(shù)點后第1位) 解：(1)根據(jù)題意，可知 1年后住房總面積為1.1a-x; 2年后住房總面積為1.1(1.1a-x)-x=1.12a-1.1x-x; 3年后住房總面積為1.1(1.12a-1.1x-x)-x=1.13a-1.12x-1.1x-x; ; 10年后住房總面積為1.110a-1.19x-1.18x-1.1x-x =1.110a-1.110-11.1-1x=2.6a-16x. 由題意，得2.6a-

42、16x=2a.解得x=380a(m2). (2)所求百分比為a2-380a×102a=1166.3%. 答：每年應(yīng)拆除的舊住房總面積為380a m2，過10年還未拆除的舊房總面積占當(dāng)時住房總面積的百分比是6.3%. 知能訓(xùn)練 1.已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項的和，求證：S7，S14-S7，S21-S14成等比數(shù)列.設(shè)kN*，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列嗎? 2.家用電器一件，現(xiàn)價2 000元，實行分期付款，每期付款數(shù)相同，每月為一期，購買一個月付款一次，共付12次，購買后一年還清，月利率為0.8%，按復(fù)利計算，那么每期應(yīng)付款多少?(1.00812=1.1)

43、答案： 1.證明：S14-S7=(a1+a2+a14)-(a1+a2+a7) =a8+a9+a14 =a1q7+a2q7+a7q7 =S7q7. 同理，S21-S14=q14S7， S7(S21-S14)=(S14-S7)2. 可用同樣的方法證明Sk，S2k-Sk，S3k-S2k成等比數(shù)列. 2.解：設(shè)每期付款x元，則 第1期付款后還欠款2 000(1+0.008)-x=2 0001.008-x， 第2期付款后還欠款2 000(1+0.008)-x1.008-x=2 0001.0082-1.008x-x， ， 第12期付款后欠款應(yīng)為0， 所以有2 0001.00812-(1.00811+1.0

44、0810+1)x=0， x=2 0001.008121.00812-11.008-1175.46(元)， 即每期付款175.46元. 課堂小結(jié) 1.由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)所探究的內(nèi)容與方法：教育儲蓄中的計算問題，用計算機程序計算數(shù)列的求和問題等.其中等比數(shù)列應(yīng)用問題的解決是個重點，其特點是綜合性強、立意新、角度寬、難度大，因而在解題中務(wù)必注重基礎(chǔ)、凸現(xiàn)能力，靈活掌握. 2.學(xué)完本節(jié)后，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，多方查找資料，進一步拓展數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用問題，培養(yǎng)主動探究問題、解決問題的能力，提升我們的創(chuàng)新意識和團結(jié)協(xié)作的精神. 作業(yè) 1.課本習(xí)題23 A組8、9、10;習(xí)題23 B組，4選做. 2.利

45、用網(wǎng)絡(luò)資源，探究分期付款問題. 設(shè)計感想 本教案注重知識過程的教學(xué)，要求學(xué)生通過自主地觀察、討論、歸納、反省來參與學(xué)習(xí)，學(xué)會發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在活動中進一步晉升自己的能力. 本教案設(shè)計體現(xiàn)了本章教材設(shè)置理念.本章各節(jié)內(nèi)容均由“實例分析”或“問題提出”創(chuàng)設(shè)問題情境，這些具有代表性和趣味性的問題將內(nèi)容自然引入，再通過對問題的分析和解決，由特殊過渡至一般. 等比數(shù)列及其求和問題作為數(shù)列一章的最后一個內(nèi)容，蘊含著極大的寶藏，是一個進行研究性學(xué)習(xí)的好題材.有人說“學(xué)情決定教法”，但反過來“教法也能造就學(xué)情”.在教學(xué)中注意激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)作熱情，培養(yǎng)學(xué)生的主動精神，以充分發(fā)揮本節(jié)內(nèi)容的教育功能. 備課資

46、料 一、關(guān)于銀行利率問題的探究 問題： (1)依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一次可支取本息共多少元? (2)依教育儲蓄的方式，每月存a元，連續(xù)存3年，到期(3年)或6年時一 次可支取本息共多少元? (3)依教育儲蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)時一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少元? (4)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計1萬元，每月應(yīng)存入多少元? (5)欲在3年后一次支取教育儲蓄本息合計a萬元，每月應(yīng)存入多少元? (6)依教育儲蓄方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是到了4年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多

47、少元? (7)依教育儲蓄方式，原打算每月存a元，連續(xù)存6年，可是到了b年時，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元? (8)不用教育儲蓄方式，而用其他的儲蓄方式，以每月可存100元，6年后使用為例，探討以現(xiàn)行的利率標(biāo)準(zhǔn)可能的最大收益，將得到的結(jié)果與教育儲蓄比較. 探究活動： 這是一個關(guān)系到我國每一個家庭的社會生活中的實際問題，其中大部分的計算都是用數(shù)列的知識.在解決這個問題前，我們先熟悉一下這方面的有關(guān)政策及銀行的業(yè)務(wù)知識. 銀行關(guān)于教育儲蓄的管理辦法(節(jié)選) 管理辦法 第七條教育儲蓄為零存整取定期儲蓄存款.存期分為一年、三年和六年.最低起存金額為50元，本金合計最高限額為2萬元.開

48、戶時儲戶應(yīng)與金融機構(gòu)約定每月固定存入的金額，分月存入，中途如有漏存，應(yīng)在次月補齊，未補存者按零存整取定期儲蓄存款的有關(guān)規(guī)定辦理. 第八條教育儲蓄實行利率優(yōu)惠.一年期、三年期教育儲蓄按開戶日同期同檔次整存整取定期儲蓄存款利率計息;六年期按開戶日五年期整存整取定期儲蓄存款利率計息. 第十一條教育儲蓄逾期支取，其超過原定存期的部分，按支取日活期儲蓄存款利率計付利息，并按有關(guān)規(guī)定征收儲蓄存款利息所得稅. 第十二條教育儲蓄提前支取時必須全額支取，提前支取時，儲戶能提供“證明”的，按實際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期儲蓄存款利率計付利息，并免征儲蓄存款利息所得稅;儲戶未能提供“證明”的，按實際存期和支

49、取日活期儲蓄存款利率計付利息，并按有關(guān)規(guī)定征收儲蓄存款利息所得稅. 銀行整存整取定期儲蓄存款利率計算公式是： 若每月固定存a元，連續(xù)存n個月，則計算利息的公式為a(1+n)n2×月利率.若設(shè)月利率為q，則這個公式實際上是數(shù)列aq,2aq,3aq，naq，的前n項和. 用數(shù)學(xué)語言來說，這是個首項為aq，公差為aq的等差數(shù)列.從這個公式中我們知道，銀行整存整取定期儲蓄存款利率計算不是按復(fù)利(利生息利滾利)計算的. 我們把這樣的計算利息的方法叫做按單利(利不生息利不滾利)計算. 這是我們在計算時必須弄明白的，否則，我們計算的結(jié)果就會與銀行計算的實際結(jié)果不一致. 我們還需要了解銀行的 三年期

50、、五年期的整存整取的存款利率，以及三年期零存整取的存款利率和利息稅率： 三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%; 五年整存整取存款年利率為2.79%，月利率為0.232 5%; 三年期零存整取存款年利率為1.89%，月利率為0.157 5%; 利息稅率為20%. 有了以上預(yù)備知識，我們來探究前面提出的八個問題： (1)因為三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%，故依教育儲蓄的方式，每月存入50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共 (50+50×36)×362×0.21%+1 800=1 869.93(元). 因為五年整存整取存款

51、年利率為2.79%，月利率為0.232 5%，故依教育儲蓄的方式，若每月存入50元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共 (50+50×72)×722×0.232 5%+3 600=3 905.50(元). (2)每月存入a元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共 (a+a×36)×362×0.21%+36a(元). 若每月存入a元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共 (a+a×72)×722×0.232 5%+72a(元). (3)因為三年期零存整取存款年利率為1.89%，月利率為0.157 5%，故每月存50元

52、，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共 (50+50×36)×362×0.157 5%×80%+1 800=1 841.96(元). 比教育儲蓄的方式少收益27.97(元). (4)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲蓄的計算公式得 (x+x×36)×362×0.21%+36x=10 000. 解得x267.39(元)，即每月應(yīng)存入267.39(元). (5)設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲蓄的計算公式得 (x+x×36)×362×0.21%+36x=10 000a. 解得x=10 000a37.398 6=267

53、.39a，即每月應(yīng)存入267.39a(元). (6)根據(jù)銀行出臺的教育儲蓄管理辦 法，需要提前支取的，在提供證明的情況下，按實際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期儲蓄存款利率計付利息，并免征儲蓄存款利息所得稅.故該學(xué)生支取時，應(yīng)遵照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進行計算.由計算公式得 (100+100×48)×482×0.21%+4 800=5 046.96(元). (7)與第(6)小題類似，應(yīng)根據(jù)實際存期進行同檔次計算. 一到兩年的按一年期整存整取計息.一年期整存整取存款年利率為1.98%，月利率為0.165%，故當(dāng)b=1或2時，由計算

54、公式得 (a+a×12b)×12b2×0.165%+12ab(元). 當(dāng)b=3或4或5時，應(yīng)遵照三年期整存整取存款年利率為2.52%，月利率為0.21%進行計算.根據(jù)計算公式得 (a+a×12b)×12b2×0.21%+12ab(元). (8)此題可以選擇多種儲蓄方式，學(xué)生可能提供多個結(jié)果，只要他們計算方式符合規(guī)定的儲蓄方式即可.教師可以組織學(xué)生討論，然后選擇一個最佳答案. 在上述探究問題的過程中，學(xué)到了許多課本上沒有的東西，增長了一些銀行存款的知識.可以鼓勵學(xué)生用這些知識去規(guī)劃一下自己將來經(jīng)受教育的存款計劃，并與家長商量，看能不能付諸現(xiàn)實;也可以為身邊的親朋好友當(dāng)個小參謀，把學(xué)到的知識講解給他們聽一聽. 從生產(chǎn)實際和社會生活中，我們還能尋找到更多的探究題材，只要我們做個有心人，我們學(xué)到的知識就能與生產(chǎn)實際與社會生活緊密地結(jié)合起來. 以下實例供參考 銀行按規(guī)定在一定時間結(jié)算利息一次，結(jié)息后即將利息并入本金，這種計算方法叫做復(fù)利，現(xiàn)在某企業(yè)進行技術(shù)改造，有兩種方案：甲方案一次性貸款10萬元，第 一年可獲利1萬元，之后每年比前一年增進30%的利潤;乙方案每年貸款1萬元，第一年可獲利1萬元，之后每年卻比