高等代數(shù)與幾何第二章第一節(jié)

1、第二章第二章 空間解析幾何空間解析幾何 解析幾何就是用代數(shù)的方法來研究一些幾何圖形，解決一些幾何問題。解析幾何的基本方法就是坐標法。解析幾何在代數(shù)，分析，力學，物理和一些工程技術方面有著廣泛的應用，它是學習其他課程和解決某些實際問題的基礎。 在本章，我們將討論三維歐式空間，平面和直線及其它們的相互關系，最后介紹幾種重要的曲面和二次曲面。 2.1 2.1 坐標系、三維向量坐標系、三維向量 笛卡兒坐標設 是相交于一點但是不在同一平面上的 123,L L L三條實數(shù)軸，則 構成了一個空間笛卡兒 123,L L L坐標系，其交點稱為坐標原點記為 ； 123,L L LO稱為坐標軸(分別稱為 軸， 軸，

2、 軸)； xyz12,L L所在的平面稱為 面， xOy 所在的平面稱為 所在的平面稱為 面；這些平面 23,L L13,L LxOzyOz面，統(tǒng)稱為坐標面。 yzxO1L2L3L坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :xOy面0 zyOz面0 xzOx面0 yxyzO 軸交于 ，對應于實數(shù)軸上的三個實數(shù)面， 面平行的平面，它們分別與 軸， 軸， 顯然點 按照上述方法對應于有序數(shù)組xyz) 0 , 0 ,(01xM) 0 , 0(02yM), 0 , 0(03zMO),(000zyxM設 是空間上一點，過點 分別作與 面， xOyMMyOzxOzxyz123,M MM000

3、,.xyzM000(,)xyz是一個一一對應。稱 為 的坐標，000(,)xy zM記為 或 ，其中稱 為點 的 000(,)M xyz000(,)xyzMx0 x坐標或橫坐標， 稱 為點 的 M0yy坐標或縱坐標， 稱 為點 的 坐標或豎坐標。 M0zz則點 的坐標為 ； xyz) 0 , 0 ,(01xM) 0 , 0(02yM), 0 , 0(03zMO),(000zyxM),(000zayxMa如果點 是點 平行 軸移動 個單位時， M000(,)M xyzyaM000(,)xya z平行 軸移動 個單位時， xa當點 是點 M000(,)M xyz則點 的坐標為 ； M000(,)x

4、a yz當點 是點 M000(,)M xyz平行 軸移動 個單位時，則 za點 的坐標為 . M000(,)xy za總之, 設點 123,M MM 是點 000(,)M xyz分別平行 軸， 軸， 軸移動 個單位， 則點 123,M MM的坐標分別為000(,),xa y z000(,),xya z000(,).xyzaxyza三個坐標平面把空間分成八個部分，每一部分稱為一個卦限。xyzx軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)面yOzzOx面O面xOy不同卦限內(nèi)的點的坐標符號如下：卦限 坐標( , , ), ( , , ). ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , )

5、, ( , , ), ( , , ), 如果我們選取的三條實數(shù)軸是互相垂直的，并且其單位長度相同，則稱為直角坐標系。如果直角坐標系中 軸， 軸， 軸滿足右手法則(即用右手由 軸的正向向 軸的正向握拳，拇指正好指向 軸的正向)，則稱這個直角坐標系是右手系的。在本章中我們都假設迪并且是右手系的。xyzxyzxyzx軸(橫軸)y軸(縱軸)z 軸(豎軸)O卡兒坐標系是直角坐標系，xoyzMN0z00r柱面坐標柱面坐標對于空間上的點 ，過點 作 平面的垂線，它 xOyMM的垂足 與 的距離記為 ，將 軸正向與線段 的逆時針角（ 軸在 平面上繞 逆時針旋轉與 線段 重合時所需旋轉的角度）記為 ， 為點的

6、軸坐標。這樣對于空間上點 就有一個有序數(shù)組 與它對應，稱 為點 的柱面坐標.NO0rxONxxOyOON0z0MzM000( ,)rz000( ,)rzM如果點 不在 軸，點 與它的柱面坐標000( ,)rz00(0,02 )r是一一對應的；為 ，其中 由 唯一確定，而MzM如果點 在 軸上,則點 的柱面坐標MzM00(0,)z 可以是大于等于0小于 的任意數(shù)。0M0z2xoyzMN0z00r如果設點 的柱面坐標為 ，000( ,)rzM點 的直角坐標為 ，則從M000(,)xy z圖中和三角函數(shù)公式可以看出直角坐標與柱面坐標的轉換公式：00000000cossinxryrzz；2200000

7、02222000000arcsinarccos.rxyyxxyxyzz0 x0y 的任意數(shù)；如果點 在 軸上，但不是原點, 則Mz點 的球面坐標 中 和 由xoyzMNQRP00r0球面坐標球面坐標設 是空間一點，將 與坐標原點 的距離記為 ，將 軸正向與線段 的夾角記為 ，將 軸正向與線段 在 上的投影的逆時針角記為 。這樣對于空間中點 就有一個有序數(shù)稱 為點 的球面坐標.MM組 與它對應，000( ,)r 000( ,)r 如果點 不在 軸,點000(0,02 ,0)r是一一對應的；唯一確定，而MzM 可以是大于等于0小于02 與它的球面坐標 M000( ,)r 000( ,)r 00rM

8、如果點 是原點，則點M 的球面坐標 中 而 M000( ,)r 00r 00, 為滿足 的任意數(shù)。 0002 ,0MMO0rzOM0 xOMxOy0000( ,)r xoyzMN0 x00r0如果設點 的球面坐標為 ，M點 的直角坐標為 ，則從M000(,)xyz圖中和三角函數(shù)公式可以看出直角坐標與球面坐標的轉換公式：000( ,)r 00000000000sincossinsincosxryrzr；22200000002222000000222000arcsinarccos.arccosrxyzyxxyxyzxyz0y0z, , ,a b c定義2.1.2 一個既有大小, 又有方向的量稱為向

9、量。向量向量最簡單的量是在取定單位以后可以完全用一個實數(shù)來表示，例如距離，時間，體積，溫度等等，這種只有大小的量稱為數(shù)量。另外還有一些比較復雜的量，它們不僅有大小而且還有方向，例如力，速度，力矩等等。(也稱為矢量). 表示法: 有向線段 M1 M2 ,或,或a,b,c,向量的長度 :向量的大小,21MM記作,a或或|a|(也稱向量的模). 是一個非負實數(shù)。1M2M向量的起點向量的終點零向量: 一個長度（模）為 0 的向量稱為零向量,記為0.注意：零向量的方向不定。負向量：與向量a的長度相同方向相反的向量稱為a的負向量，記為a。單位向量: 一個長度（模）為 1 的向量。自由向量：與起點無關的向量

10、.用有向線段表示向量的時候，起點可任取. 即長度相等，方向相同的向量相等。如圖M1M1PP1 1MPM P 點 與a 的終點 重合，連接兩向量a,b, 得一折線向量的加法向量的加法定義2.1.3 設a ,b ,平行移動b，使b的始1 1M P 22M P2M ，從折線的起點 到終點 的向量s 1 122()M P MP1M2P稱為a,b的和，記為s=a+b. （三角形法則）也可用平行四邊形來定義向量的加法。2P1M12()P Ms=a+bbas=a+bba（三角形法則）（平行四邊形法則）1P 是一個數(shù) ,規(guī)定 :時，0,0時,00時）時（或者 a總之:，同向與aa 與 a 的乘積是一個新向量,

11、 記作.a;aa，反向與aa;aa.0aaa向量與數(shù)的乘法注：模也為零，方向不定。我們將向量放到一個直角坐標系里。設 為空間直角坐標系。Oxyz向量的坐標表示xyzO由此可得到一個向量a 。xOyzN對于任意向量a ，將它的起點放到坐標原點 OP 上，則它的終點坐標 由a唯一確定，給定三個數(shù) ，則在直角坐標系有一個唯一的 (,)xyzP a a a,xyza aaO點 與它對應，OP (,)xyzP a aa這樣在有序三元數(shù)組 與向量a之間建立了一(,)xyza aa個一一對應，因此，一個向量a可以由有序三元數(shù)組(,)xyza aa表示，稱 為向量a的坐(,)xyza aa標，記為a 。(,)

12、xyza a a(,)xyzP a aaaxayaza反之，其中 稱為a的方向余弦。Oyzx2設 分別是a與x軸正向，123, y軸正向，z軸正向的夾角，0,1,2,3.ii命題2.1.4 設a ，b 。則有(,)xyza aa(,)xyzb b b222xyzaaa；,xxyyzzab ab ab；,xyzaaa；12222222cos,cos,yxxyzxyzaaaaaaaa3222cos,zxyzaaaa123cos,cos,cos(1) |a|(4)(3) a(2) a+b（證明略）1a3稱為a的方向角。其中向量的運算性質(zhì)：性質(zhì)2.1.1 設a，b，c是任意向量，k，l是任意實數(shù)，則

13、(1) a+b=b+a.(2) (a+b)+c=a+(b+c).(3) 零向量0=(0,0,0)，而且0+a=a.(4) 如果a ，則a (,)xyza aa(,),xyzaaa 而且a +（a ）=0.(5) 1a =a .(6) l(ka) =(lk)a .(7) (l+k)a =la +ka.(8) k(a+b) =ka+kb.xOyzMN如果設i=(1,0,0),j=(0,1,0),k=(0,0,1), 它們分別表示為與x軸，y軸，z軸正向一致的單位向量, a 可以表示為a=axi+ayj+azk (,)xyza aa例2.1.5 把ABC的BC邊五等分， 設分點分別為D1,D2,D3

14、,D4, 再把它們分別與A連接，設AB=c，BC=a，試求DiA，i=1,2,3,4.解 由于 ,5iiiiBDBC BDD ABA 所以 c a =.5iiiD AABBD aijkxayaza則向量例2.1.6 設M(x1,y1,z1), P(x2,y2,z2)是三維空間上的兩個點，求向量MP的坐標。OyzxMP解 （如圖） 212121(,).MPOPOMxx yy zz 例2.1.7 點P把有向線段P1P2分成定比已知P1(x1,y1,z1), P2(x2,y2,z2)和 ，(1) ：12PPPP ， 求P的坐標。 解 設P(x,y,z),由 推出 111222(,)(,)xx yy zzxx yy zz，121212()()()xxxx