2021年北師大版選修2-125夾角的計(jì)算練習(xí)卷答案和解析

1、【最新】北師大版選修 2-12.5夾角的計(jì)算練習(xí)卷學(xué)校:姓名:班級(jí):齊.口考號(hào)： 一.單項(xiàng)選擇題1. 2021*合肥二模正方體 ABCD - AiBiCiDi中，線段BA, BC上不包括端點(diǎn)各有一點(diǎn)P，Q，且B&二BQ以下說法中，不正確的選項(xiàng)是A. A, C, P, Q四點(diǎn)共而B. 直線PQ與平而BCCb所成的角為左值7T7TC. vZPACv32D. 設(shè)二而角P - AC - B的大小為0,那么tanO的最小值為逅 2. 2021?靜安區(qū)一模在棱長(zhǎng)為 1的正方體ABCD-扎BCD中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC上運(yùn)動(dòng)，異面直線 BP與B: C所成的角為，那么的取值范例是正方體ABCD

2、- A: B: C: Di中對(duì)角線C'T <e< t "<棱DD,的中點(diǎn).那么異而直線EF與BD,所成角的余弦值是3.正四棱柱 ABCD - AbCJX中,AAF2AB,那么CD與平面BDG所成角的正弦值等于B-T D-i4.如圖在直三棱柱 ABC - AxBiCi中，棱AB, BC, B&兩兩垂直且長(zhǎng)度相等，點(diǎn) P在線段5.B: D與平而矩BG所成的角大小為6.在正方體ABCD - AxBxGDx中，點(diǎn)M為棱AA,的中點(diǎn),那么直線BC,與平面MCD所成角的正弦值是A.國(guó)B.姮C國(guó)D.邁151010107.在長(zhǎng)方體ABCD-AbCD中，AB二2, B

3、C二AAfI,那么DC與平而hBC,所成角的正弦值為A. 2 B.返 C. 2V2 D.348.在正方體ABCD - AtBxCiDt中，M、N分別為棱AA,和 BB,的中點(diǎn)，貝lj sinvci,麗 的值為D. -|A. B. -|V5 C.9.在空“經(jīng)過點(diǎn)Px。，y。，zo，法向量為巴二A, B, C的平面的方程即間中，平而上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x, y, z滿足的關(guān)系是：A x? Xo +B y - yo +C z - z°".如果給出平面a的方程是卄，平面°的方程是討亍利那么由這兩平而所成的二而角的正弦值是A.近B?亜C?姮D. 1339310. 理正方體 AB

4、CD-AC.D!的棱長(zhǎng)為1,那么BC與DB|的距離為A. V6 B.空 C羋 D. 2 真3611. 假設(shè)：二x, 2, 0 , b= 3, 2-x,x2 >且G與亍的夾角為鈍角？那么x的取值范圍是A. x< -4 B. -4vx<0 C. 0vx<4 D. x>412. 假設(shè)向2 , E - 2, 1, 1 , a，7夾角的余弦值為丄 那么X等于6A. 1 B? -1 C?± 1?D 2 13.在三棱柱ABC - A.BjQ中，底而為棱長(zhǎng)為1的正三角形，側(cè)棱AAi丄底而ABC,點(diǎn)D在棱BBi上，且BD=1,假設(shè)AD與平而AA|C】C所成的角為*那么si

5、na的值是A.晝B.返C國(guó)D.垃2 214. ABCD是正方形，PA丄平面AC,且PA二AB,那么二而角B - PC - D的度數(shù)為A. 60 B. 90 C.120 D.135E是AD的中點(diǎn)，那么異面直線GE與BC所成的角的余弦15.在正方體 ABCD - AACJ : 中,值是A.回 B.如 C. 1 D空51016.如圖，長(zhǎng)方體 ABCD - AxBiCiDi中，AB=3, BC=BB : =2,那么異而直線AG和BC所成的角是A. 30 B. 45 C.60 D：9017.平而】的一個(gè)法向量二1,-1,0，那么y軸與平而u所成的角的大小為A. B. C. D.6418 .假設(shè)平而a的法

6、向量為口二3, 2, 1，平而B的法向量為応二-2, 0, 1，那么平面？與B夾角銳角的余弦是A.邁B.姮C?-邁D.遊1410141019.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使平而 ABD丄平面CBD, E是CD中點(diǎn)，貝U ZAED的大小為A. 45 B. 30 C.60 D.9020.在三棱 HEP-ABC 中，PA=PB=PC=5t AB=3, AC=4, BC=5,貝 ij PA 與平而 ABC所成的角為A. 30B. 45C. 60D. 90參考答案1. D【解析】試題分析：利用平面的根本性質(zhì)判斷 A的正誤：直線與平而所成角判斷 B是正誤：通過特例 判斷C的正誤; 通過二面角的大小求

7、解判斷 D的正誤.解：正方體ABCD - AACJ !中，線段BA, BG上不包括端點(diǎn)各有一點(diǎn) P, Q且B: P二B： Q,如圖： 當(dāng)PQ連線與AC平行時(shí)，A, C, P, Q四點(diǎn)共而，?*.A不正確：直線PQ與平而BCCb所成的角為定值，顯然不正確，P在平而BCC： B：的射影是B： , Q如果是泄點(diǎn)， 直線PQ與平而BCCb所成的角為變值，. B不正確：對(duì)于C,當(dāng) P在AJB,的中點(diǎn)時(shí)，不妨設(shè)作法的棱長(zhǎng)為5+5 -23' “ j C 2-7575的最小值時(shí)EF最大，此時(shí)P在B:2, cosZPAOZPAC是鈍角，？二ZPACv不正確：32對(duì)于 D,作 PE 丄 AB 于 E,過

8、E 作 EF 丄 AC 于 F, 0 二 ZPFE,貝 ij tan 0tan 0?D正確d應(yīng)選：D?D1C1點(diǎn)評(píng)：此題考査正方體中的直線與平而的位置關(guān)系，二而角的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力.2. B【解析】試題分析：以AB、AD、AA,為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，可得B、D: 、E、F各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到甌和五的長(zhǎng)度和數(shù)量積，利用空間向量的夾角公式求出它們所成角的余弦，即可得到異面直線 EF與B6所成角的余弦值解：以AB、AD、AA:為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，那么 B (1,0, 0), D : (0,1,1), E (1,-1,0), F (0, b A)

9、2BD :二(-1,1，1)? EF= ( - 1.丄，1 2 2可得八7出，WT誓(-1)x ( - 1) +ixi+ixi : 2D?122設(shè)異而直線EF與BD:所成角為0 ,那么cos 0 =應(yīng)選B的長(zhǎng)度和夾角等知點(diǎn)評(píng)：此題在正方體中求兩條異而直線所成角的余弦值，著重考查了利用空間坐標(biāo)系求向量 識(shí)，屬于根底題.3? A【解析】試題分析：設(shè)AB二1，那么AAL2，分別以D A ；、D C ； 、D 5的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的),解：設(shè)AB=1,那么ADFC，廣° 分別以2 DC 二0 L 二DA、，VDC ?在空間坐標(biāo)系正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)rF x, y, z為平面BD

10、G的一個(gè)法向量，CD與平而BDG貝y sin 0設(shè)nF (x, y, z)為平而BDC,的一個(gè)法向量，貝In p DB =0n? DC 二 0x+yA0 y一 2z=02, 1)»設(shè)CD與D平C _2I n |應(yīng)選A.點(diǎn)評(píng)：此題考査直線與平面所成的角，考査空間向量的運(yùn)算及應(yīng)用，準(zhǔn)確理解線而角與直線方向向量、平而法向量夾角關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵.4. C【解析】 試題分析：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長(zhǎng)為1,設(shè)P( - a> 1-a, 1) (0<aA|),那么匪C解：建立如下圖的空間育飾邯標(biāo)系.設(shè)棱長(zhǎng)為1,那么 B (0, 0, 0)f C (0. b 0)> Bi &l

11、t;0. 0 1)a,1), BC二(0, 1，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論設(shè) P ( - a, 1 - a, 1) (OVaWl),那么麗(-a, 1 - a, 1),(0, b - 1)cos0 二,雲(yún)蘭“二 / P 4 X iBPllBiCI2/一 2&+2 X 近22vo<e<A2/.< e < 32?()的取值范圍是,衛(wèi)).L 32應(yīng)選C?點(diǎn)評(píng)：此題考查線線角，考査利用向量知識(shí)解決空間角問題，屬于中檔題5. D【解析】試題分析：以DA為x軸，以DC為y軸，以D 口為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求岀對(duì)角線BJ)與平而A: BC:所成的角大小

12、.解：如圖，以DA為x軸，以DC為y軸，以DD,為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD - AbCD的棱長(zhǎng)為1,那么 D (0, 0, 0), B :(1,1,1), Ai (1,0,1),B (b b 0), G (0, 1, 1),?° ?麗孑(1，i，1)，甌二(°°-1，1)，Bq=( -1，i)，設(shè)平而A： BC的法向量為上(x, y, z),那么二 O n? BCi=0，'_ y+z=0?, :.TF (b b 1),一 x+z=0設(shè)對(duì)角線B： D與平面ABG所成的角為9 ,貝 ij sin 0 =cos<DB n>? (二

13、應(yīng)選 D?點(diǎn)評(píng)：此題考査直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的焙養(yǎng)，注意向量法的合理運(yùn)用6. C【解析】 試題分析：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為 1.以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD,分別為x軸、y軸.z軸建 立空間直角坐標(biāo)系，求出平面 MCJX的一個(gè)法向量為病，然后求岀法向量為：與瓦夾角 的余弦值即為直線 BG 與平而MCD所成角的正弦值.解：設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為1,以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA、DC、DD分別為x軸、y軸、z軸建立 空間直角坐標(biāo)系那么 M (1,0, A), Dx (0, 0, 1), C :(0, b 1), B (1,1,0),1,1, 號(hào),斫0'1 ), 1

14、 .那么JW廣(S虧人NC廣設(shè)平而MGD，的一個(gè)法向量為rP (x, y, z)?取 X 二 1,那么 Z 二 2 即 PF (1,0, 2)設(shè)直線BG與平而MCD所成角為0,那么 sin 0=|cos a-1+2I|EC I 二頃點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用空間向量求直線與平面的夾角，以及向量的夾角公式，同時(shí)考查了訃算能力，屬于中檔題7. A【解析】試題分析：可以考慮用向雖:解決此題，所以分別以 DA, DC, DD三直線為x軸，y軸，z軸 建立空間直角坐 標(biāo)系，根據(jù)線面角的概念知 DG與平M A3C :所成角的正弦值等于了石與平 面A BG勺法向量夾角的余弦值 的絕對(duì)值，所以根據(jù)的邊的長(zhǎng)度求岀D

15、C ; , AC', 的坐標(biāo),設(shè)平而人BC,的法向呈:為；二X, y, z,根據(jù)向量n與石石，麗垂直即可求出呂，根據(jù)向量夾角余弦公式即可求出向疑亍二夾角的余弦值的絕對(duì)值.解：如圖，分別以DA, DC, DD三條邊所在宜線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系：根據(jù)題意知，DG與平面扎BC：所成角的正弦值等于向呈:百百和平而A BG勺法向量夾角余弦值的絕對(duì)值：根據(jù)的邊的長(zhǎng)度，可求以下幾點(diǎn)坐標(biāo):D：(0, 0,1), G(0, 2,1),扎(1,0,1), B (1,2, 0);-1)；?DCi二(0, 2, 0)，AjCp (-1, 2, 0)，AB 二(0, 2,口 A1 C1 -0設(shè)平

16、而扎BC,的法向雖為二x, y, z,那么-x+2y=02y 一 z=0、取尸匚rF(2,n >1=1I n*AjB=0:積的坐標(biāo)公式，兩向量夾角的余弦公式.8. B【解析】試題分析 : 建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出兩個(gè)向量的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求岀兩個(gè)向量的夾角余弦，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系求出兩個(gè)向量的夾角正弦 .解：設(shè)正方體棱長(zhǎng)為 2,以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA為X軸，DC為y軸，DDjyz軸建立空間直角 坐標(biāo)系，那么 C (0, 2, 0), M (2, 0, 1), Dx (0, 0, 2), N (2, 2, 1) 可知示 (2, -2, 1), 叩

17、匸(2, 2, - 1),?面? 麗二 2X2 2X21X1 二一 1，| 巧 | 二 3,| 麗 | 二 3/ 一 、 面 ?麗 -1cosU CM 9 D i N?二二"一？1| CM I |DM|9由平方關(guān)系得sinV CH，D N>】9應(yīng)選:B點(diǎn)評(píng)：此題考査向量的坐標(biāo)的求法、利用向量的數(shù)量積公式求向量的夾角余弦、三角函數(shù)的平方關(guān)系 .9. A解析】試題分析：由立義得岀兩直線的法向量，數(shù)量積公式求岀法向量的夾角余弦，利用同角三角函數(shù)的關(guān)系求出其正弦即可選出正確答案解：由題意，平而a, 0的法向量分別是匚(1, -1, 1) , n= (1, -2, -1)，所以sin 8

18、二普，應(yīng)選A點(diǎn)評(píng)：此題考査用空間向量求平而間的夾角，解題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)平面的法向量且掌握了 平面的夾角或是其補(bǔ)角，此類題規(guī)律固泄，屬于易題.法向星的夾角即兩10. C【解析】試題分析：連接BDi, BDGDB】=0取CD的中點(diǎn)E,連接DE, EBi,那么0E BCi,可得BC"平而DBiE,從而BCi與DBi的距離為BCi與平面DBiE的距離，即Ci到平面DBiE的距離，利用等體積可求.解：連接 BD, BD,nDB1=O，取 CD】的中點(diǎn) E連接 DE, EBu 貝：IOE BCi,VBC.0 平面 DBiE, OEu 平面 DB,EABCi/7 平而 DBiEABCi與DBi的

19、距離為BCi與平面DBiE的距離，即Ci至呼面DBiE的距離?*-SADCiE=i X 亦?設(shè)Cl到平面DB1E的距離為d,那么由Vci.dbie二Vd.bicie,可得春01弊掙呢XI點(diǎn)評(píng)：此題考査線線距離，解題的關(guān)鍵是將BCi與DBi的距離為BCi與平而DBiE的距離即ci到平面DB|E的距離，從而利用等體積求解11. A【解析】試題分析：根據(jù)的夾角為鈍角，那么a-b<0,再根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系建立不等關(guān)系，解出x即 可.解：？；與亍的夾角為鈍角A a*b<0,且方與b不共線，即 3x+2 (2-x) VO 且(x, 2, 0)樸(3, 2 - x> 十)解得x< - 4應(yīng)

20、選A點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了用空間向量求直線間的夾角、距離，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和 推理論證能力，屬于根底題.12. A【解析】 試題分析：根據(jù)向量7 (b X, 2), E( - 2, 1, 1),求得：兀，和a . b代入cos解:cos< a*_7戈-即可求得X的值.hllbl解得入二1.應(yīng)選A.點(diǎn)評(píng)：考査空間向量的數(shù)量積和模的運(yùn)算，和利用數(shù)量積求向疑的夾角，屬根底題平而AAiCiC 13 d【解析】試題分析：建立空間直角坐標(biāo)系，求出平而AAiCiC的一個(gè)法向量是二，和兀，汁算cosvn.血即可求解sina?解：如圖，建立坐標(biāo)系，易求點(diǎn)D (退，1),點(diǎn)評(píng)：此題考查用空間向量求直

21、線與平而的夾角，考查計(jì)算能力，是根底題14. C【解析】試題分析:通過建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角求得二而角.解：由題意可得,AP, AB, AD兩兩垂直，所以可建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系那么 A (0, 0, 0), B (0, 1,0), C (1, b 0), D (1,0, 0), P (0, 0, 1).?*DC=(0, 1, 0)，BC= (1, 0, 0)，PC= (1,1, -1)-、n ADC=設(shè)平面PCD的法向量為& (x, y, 2)，那么丁呼°得旳-0滬令 x=l,那么 z=l, y 二 0. ?;二(1, Q5 1)?同理可

22、得平而PBC的法向雖:滬(0,1,1).?*? <n j hi二 6 0從圖中可以看到：二而角 B - PC-D的大小應(yīng)為一個(gè)鈍角? ?二面角 B-PC-D 的度數(shù)二 180 °-60 二 120 .法.必須熟練掌握點(diǎn)評(píng)：此題考査了通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平而的法向量的夾角求得二而角的方15. C【解析】試題分析：分別以DA、DC、DD,為x軸、y軸和z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體 的棱長(zhǎng)為2,可得C,、E、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得岀麗、衣的坐標(biāo)，利用空間向戢的夾角公式算出麗、瓦的夾角余弦之值，即可得到異而直線 C： E與BC所成的角的余弦值.解：分別以DA、D

23、C、DD為x軸、y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,得C： (0, 2, 2), E (1,0, 0), B (2, 2, 0), C (0, 2, 0)(1,-2,-2), BC= ( -2, 0, 0)因此，得到不引嚴(yán)+ 一 2即一 2BC =2,且 cAE-BC=IX ( - 2) + ( - 2) X0+ ( - 2) X0=-2t *C1 E r BC -1/,COS<C1E,心|麗卜應(yīng)巧?異而直線CxE與BC所成的角是銳角或直角 ?面直線GE與BC所成的角的余眩值是2利用向量求異而直點(diǎn)評(píng):此題在正方體中，求兩條異而直線所成角的余弦之值，著重考査了空間直角坐標(biāo)

24、系中 線所成角的知識(shí)點(diǎn)，屬于根底題16. D【解析】 試題分析：先根拯條件得到側(cè)而 BCCb是正方形，進(jìn)而得到對(duì)角線垂直，再結(jié)合 AB丄BQ得到&C丄平面ABC:，進(jìn)而得到結(jié)論.解：因?yàn)殚L(zhǎng)方體 ABCD-AbCJX 中，AB 二 3, BC=BBi=2,所以側(cè)而BCCb是正方形：所以:BC,丄BC又AB丄BC且 ABABCFB；ABxC 丄平面 ABC？A丄 BC即異而直線AG和B: C所成的角是90° .應(yīng)選:D點(diǎn)評(píng)：此題主要考察異而直線及其所成的角.此題把其轉(zhuǎn)化為證明線而垂直來求.在證明線 線垂直時(shí)，一般是先證線線垂直，得到線而垂直，進(jìn)而得到線線垂直.17? B【解析】試題分析：設(shè)y軸與平面a所成的角的大小為，由在 y軸上的單位向量和平而 a的一 個(gè)法向量，利用向量法能求出結(jié)果.解：設(shè)y軸與平而a所成的角的大小為0, ?在 y軸上的單位向量二 0, 1,0，平面a的一個(gè)法向量二 1