2012年高考第一輪總復(fù)習(xí)精品導(dǎo)學(xué)課件：911球

1、第九章第九章 直線、平面、簡單幾何體直線、平面、簡單幾何體第 講考點(diǎn)考點(diǎn)搜索搜索球面、球體的概念，球的截面性質(zhì)球面、球體的概念，球的截面性質(zhì)地球的經(jīng)緯度，球面距離地球的經(jīng)緯度，球面距離球的表面積和體積高考球的表面積和體積高考高考高考猜想猜想1. 考查有關(guān)球的表面積、體積和球面考查有關(guān)球的表面積、體積和球面距離等的計(jì)算距離等的計(jì)算.2. 考查球的截面問題的分析與計(jì)算考查球的截面問題的分析與計(jì)算. 1. 與定點(diǎn)的距離與定點(diǎn)的距離_的點(diǎn)的集的點(diǎn)的集合合,叫做球體叫做球體,簡稱球簡稱球,定點(diǎn)叫做球心定點(diǎn)叫做球心,定長叫做球的定長叫做球的半徑半徑,與定點(diǎn)距離與定點(diǎn)距離_的點(diǎn)的集合叫做球面的點(diǎn)的集合叫做球

2、面. 2. 用一個(gè)平面截一個(gè)球用一個(gè)平面截一個(gè)球,所得的截面是所得的截面是_,且球心與截面圓心的連線且球心與截面圓心的連線_截面截面. 3. 設(shè)球心到截面的距離為設(shè)球心到截面的距離為d,球半徑為球半徑為R,截截面圓半徑為面圓半徑為r,則三者的關(guān)系是則三者的關(guān)系是_. 等于或小于定長等于或小于定長等于定長等于定長一個(gè)圓一個(gè)圓垂直于垂直于R2=r2+d24. 球面被球面被_的平面截得的圓叫的平面截得的圓叫做大圓，被做大圓，被_的平面截得的圓叫的平面截得的圓叫做小圓做小圓.5. 經(jīng)過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的經(jīng)過球面上兩點(diǎn)的大圓在這兩點(diǎn)間的_的長度的長度,叫做這兩個(gè)點(diǎn)的球面距離叫做這兩個(gè)點(diǎn)的球面距

3、離.6. 過球面上一點(diǎn)從北極到南極的半個(gè)大過球面上一點(diǎn)從北極到南極的半個(gè)大圓圓,與子午面所成的與子午面所成的_的度數(shù)就是這個(gè)的度數(shù)就是這個(gè)點(diǎn)的經(jīng)度點(diǎn)的經(jīng)度;過球面上一點(diǎn)的球半徑與過球面上一點(diǎn)的球半徑與_所所成的角的度數(shù)就是這個(gè)點(diǎn)的緯度成的角的度數(shù)就是這個(gè)點(diǎn)的緯度. 7. 半徑為半徑為R的球的體積是的球的體積是V=_，表面，表面積是積是S= _.經(jīng)過球心經(jīng)過球心不經(jīng)過球心不經(jīng)過球心一段劣弧一段劣弧二面角二面角赤道面赤道面34 3R24R1.長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長為長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長為3、4、5，且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，這個(gè)球的表且它的八個(gè)頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，這個(gè)球的表面積是面積

4、是( )A. B. C. D. 解：解：設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，則則(2R)2=32+42+52=50，所以，所以R= .所以所以S球球=4R2=50.20 2C25 2502005 222.已知過球面上已知過球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且的距離等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=2，則，則球面面積是球面面積是( )A. B. C. D. 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)锳B=BC=CA=2，所以所以ABC的外接圓半徑為的外接圓半徑為r= .設(shè)球的半設(shè)球的半徑為徑為R，則，則 所以所以 ，所以所以 1694D2 33836492214()23RR2169R 2

5、448SR球球3.球面上有球面上有3個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距個(gè)點(diǎn)，其中任意兩點(diǎn)的球面距離都等于大圓周長的離都等于大圓周長的16，經(jīng)過這，經(jīng)過這3個(gè)點(diǎn)的小圓的個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為周長為4，那么這個(gè)球的半徑為，那么這個(gè)球的半徑為( )A. B. C. 2 D. 解法解法1：設(shè)球面上的設(shè)球面上的3個(gè)點(diǎn)分別為個(gè)點(diǎn)分別為A，B，C，球心為球心為O.過過O作作OO平面平面ABC，O是垂足，則是垂足，則O是是ABC的中心，則的中心，則OA=r=2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳OC= ，OA=OC知知OA = AC OA,所以所以O(shè)AOA2OA. 因?yàn)橐驗(yàn)镺A=R，所以，所以2R4.因此，因此，排除排除A、C、D，故選故選

6、B. 解法解法2：設(shè)球面上的設(shè)球面上的3個(gè)點(diǎn)分別為個(gè)點(diǎn)分別為A，B，C，球心為球心為O. 在正三角形在正三角形ABC中，中，ABC的外接圓半徑的外接圓半徑r=2.應(yīng)用正弦定理，得應(yīng)用正弦定理，得AB=2rsin60= . 因?yàn)橐驗(yàn)锳OB= ，所以側(cè)面，所以側(cè)面AOB是是正三角形，得球半徑正三角形，得球半徑R=OA=AB= .2 332 3解法解法3：設(shè)球面上的設(shè)球面上的3個(gè)點(diǎn)分別為個(gè)點(diǎn)分別為A，B，C，球心為球心為O. 因?yàn)檎切我驗(yàn)檎切蜛BC的外接圓半徑的外接圓半徑r=2，故高，故高AD= r=3，D是是BC的中點(diǎn)的中點(diǎn).在在OBC中，中，BO=CO=R，BOC= ，所以所以BC=BO

7、=R，BD= BC= R.在在RtABD中，中，AB=BC=R，所以由所以由AB2=BD2+AD2，得得 ，解得，解得R= .332121222194RR2 31. 球面上有三點(diǎn)球面上有三點(diǎn)A、B、C，其中任意兩，其中任意兩點(diǎn)間的球面距離都等于大圓周長的點(diǎn)間的球面距離都等于大圓周長的 ，經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的小圓經(jīng)過這三個(gè)點(diǎn)的小圓的周長為的周長為4，求這個(gè)球的表面積求這個(gè)球的表面積.解：解：設(shè)設(shè)O為球心，球半徑為球心，球半徑為為R，經(jīng)過經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的小圓半徑為三點(diǎn)的小圓半徑為r.61題型題型1 球的表面積的計(jì)算球的表面積的計(jì)算由已知，由已知，2r=4，所以，所以r=2.又因?yàn)橛忠驗(yàn)锳、B、C中任

8、意兩點(diǎn)的球面距中任意兩點(diǎn)的球面距離離都是大圓周長的都是大圓周長的 ，即，即 ，所以所以AOB=AOC=BOC= .又又OA=OB=OC=R，所以，所以AB=BC=AC=R.在在ABC中，由正弦定理，中，由正弦定理，得得AB=2rsin60= ，所以所以R= ，所以，所以S球球=4R2=48.3162 33R2 3點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：求球的表面積的關(guān)鍵是求球求球的表面積的關(guān)鍵是求球的半徑的半徑.求半徑時(shí)，一般是根據(jù)截面圓的求半徑時(shí)，一般是根據(jù)截面圓的圓心與球的圓心的連線段、截面圓的弦圓心與球的圓心的連線段、截面圓的弦長、球的半徑三者之間的關(guān)系，通過解長、球的半徑三者之間的關(guān)系，通過解三角形來求得三角形來

9、求得. 如圖，如圖，A、B、C是表面積為是表面積為48的球面上三點(diǎn)，的球面上三點(diǎn)，AB=2，BC=4，ABC =60，O為為球心球心.求直線求直線OA與截面與截面ABC所成的角的大小所成的角的大小.解：解：連結(jié)連結(jié)AC，設(shè)，設(shè)O在在截面截面ABC上的射影是上的射影是O，則則O為截面三角為截面三角形形ABC外接圓的圓心，外接圓的圓心，連結(jié)連結(jié)AO，則，則OAO為直線為直線OA與截面與截面ABC所成的角所成的角.設(shè)球的半徑為設(shè)球的半徑為R，小圓的半，小圓的半徑為徑為r.因?yàn)榍虻谋砻娣e為因?yàn)榍虻谋砻娣e為48，所以，所以R= .在在ABC中，由余弦定理，得中，由余弦定理，得AC2 = AB2 + BC

10、2-2ABBCcosABC=4+16-16cos60=12由正弦定理，得由正弦定理，得 ，即即 ，所以，所以r=2.所以所以 .故所求角的大小為故所求角的大小為arccos .2 32sinACrABC02 32sin60r23cos32 3O ArOAOOAR332. 設(shè)設(shè)A、B、C為球面上三點(diǎn)，為球面上三點(diǎn)，AC=BC =6，AB=4，球心，球心O到平面到平面ABC的距離等于球半徑的的距離等于球半徑的一半，求這個(gè)球的體積一半，求這個(gè)球的體積.解：解：過球心過球心O作作OO1平面平面ABC，則點(diǎn)，則點(diǎn)O1為過為過點(diǎn)點(diǎn)A、B、C的截面圓的圓的截面圓的圓心，即心，即O1是是ABC的外心的外心.連

11、結(jié)連結(jié)CO1，延長交，延長交AB于于M點(diǎn)點(diǎn).題型題型2 球的體積的計(jì)算球的體積的計(jì)算因?yàn)橐驗(yàn)锳C=BC，所以，所以M是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，且且CMAB.設(shè)設(shè)O1M=x.因?yàn)橐驗(yàn)镺1A=O1C，而而 ，O1C=CM-O1M=所以所以 ，解得，解得x= .所以所以O(shè)1A= 設(shè)球設(shè)球O的半徑為的半徑為R.由已知由已知OO1=R2，OA=R.在在RtAO1O中，因?yàn)橹?，因?yàn)锳O2=OO21+AO21，所以所以 解得解得R= .222114O AAMO Mx22221624 2BC - BM-O Mxx244 2x- x7 2429 244x2229 2()()24RR 3 62所以所以 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：

12、球的體積是關(guān)于半徑的函球的體積是關(guān)于半徑的函數(shù)，故求體積必須先求半徑數(shù)，故求體積必須先求半徑.涉及到涉及到截面問題時(shí)，一般是化球?yàn)閳A，再截面問題時(shí)，一般是化球?yàn)閳A，再解直角三角形可求得半徑解直角三角形可求得半徑.3427 63VR球球 球面上有三點(diǎn)球面上有三點(diǎn)A、B、C，A和和B及及A和和C之間的球面距離是大圓周長的之間的球面距離是大圓周長的 ，B和和C之間的球面距離是大圓周長的之間的球面距離是大圓周長的 ，且球心到截，且球心到截面面ABC的距離是的距離是 ，求球的體積，求球的體積.解：解：設(shè)球心為設(shè)球心為O，由已知，由已知，易得易得AOB = AOC= ，BOC= .過過O作作ODBC于于D

13、，連結(jié)，連結(jié)AD，再過再過O作作OE AD于于E，則則OE平面平面ABC于于E，所以，所以O(shè)E= .141621723217因?yàn)橐驗(yàn)镺AOB，OAOC，所以所以O(shè)A平面平面BOC，所以，所以O(shè)AOD.設(shè)設(shè)OA=R,則則AB=AC=2R,BC=R，AD= R, OD= R.在在RtAOD中，由中，由ADOE=OAOD,得得OA=R=1.所以所以 .723234433VR球球3. 在地球北緯在地球北緯30圈上有圈上有A、B兩點(diǎn)，兩點(diǎn)，點(diǎn)點(diǎn)A在西經(jīng)在西經(jīng)10，點(diǎn)，點(diǎn)B在東經(jīng)在東經(jīng)110，設(shè)地，設(shè)地球半徑為球半徑為R，求，求A、B兩點(diǎn)的球面距離兩點(diǎn)的球面距離.解：解：如圖，設(shè)如圖，設(shè)O為球心，為球心，

14、C為北緯為北緯30圈所在小圓的圓心圈所在小圓的圓心.由已知，由已知，ACB=120，AOC=BOC=60，OA=OB=R，OC平面平面ABC，所以所以AC=BC=Rsin60= .題型題型3 球面距離的分析與計(jì)算球面距離的分析與計(jì)算32R在在ACB中，中，所以所以AB= R.在在AOB中，中，所以所以AOB=arccos( ).故故A、B兩點(diǎn)的球面距離是兩點(diǎn)的球面距離是Rarccos( ).322221cos28AOBO - ABAOBAOBO 222029-2cos1204ABACBCACBCR1818點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：一般地，求球面上兩點(diǎn)一般地，求球面上兩點(diǎn)A、B間間的球面距離的具體步驟是：的球

15、面距離的具體步驟是：計(jì)算線段計(jì)算線段AB(公共弦公共弦)的長；的長；計(jì)算計(jì)算A、B到球心到球心O的張角；的張角；計(jì)算球的大圓上計(jì)算球的大圓上A、B間的劣弧長間的劣弧長. 正三棱錐正三棱錐P-ABC內(nèi)接于半徑為內(nèi)接于半徑為R的球，其底面三頂點(diǎn)在同一個(gè)大圓上的球，其底面三頂點(diǎn)在同一個(gè)大圓上.某質(zhì)點(diǎn)某質(zhì)點(diǎn)從點(diǎn)從點(diǎn)P出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過出發(fā)沿球面運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)后三點(diǎn)后返回返回P點(diǎn)，求所經(jīng)路程的最小值點(diǎn)，求所經(jīng)路程的最小值. 解解：設(shè)球心為：設(shè)球心為O，據(jù)題意，據(jù)題意，O為正三角形為正三角形ABC的中心，的中心，且且PO平面平面ABC，所以，所以POA=POC= ，AOB=BOC= .因?yàn)榍蛎?/p>

16、上任意兩點(diǎn)的球面距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)因?yàn)榍蛎嫔先我鈨牲c(diǎn)的球面距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的最短路程，其中的最短路程，其中P與與A、P與與C的球面距離的球面距離是是 ，A與與B、B與與C的球面距離是的球面距離是 ，所以所求路程的最小值是所以所求路程的最小值是2323R22R2722233RRR. 1. 正三棱錐正三棱錐P-ABC的外接球半徑為的外接球半徑為R，兩側(cè)棱的夾角為兩側(cè)棱的夾角為，求這個(gè)正三棱錐的側(cè)棱，求這個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長長. 解：解：如圖，過點(diǎn)如圖，過點(diǎn)P作作PD平面平面ABC，垂足為，垂足為D，則，則D為為ABC的中心的中心.延長延長PD交球面于交球面于E，則，則PE為球的直為球的直徑徑.連結(jié)連結(jié)

17、AD、AE，則，則PAAE，ADPE.設(shè)設(shè)PAD=，則則AED=.設(shè)正三棱錐設(shè)正三棱錐P-ABC的側(cè)棱長為的側(cè)棱長為a，由已知，由已知， 從而從而 又又AD=PAcos=acos，所以，所以所以所以在在RtPAE中，中，PA=PEsin= .故這個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長為故這個(gè)正三棱錐的側(cè)棱長為 .2 sin2aABa232 3sin3232aADABa2 3cossin32a 2224sin1 cos1sin32a-2421sin32aR-2421sin32aR-2. 如圖，如圖，AC是四面體是四面體ABCD的外接的外接球直徑，球直徑，BC是經(jīng)過是經(jīng)過B、C、D三點(diǎn)的截三點(diǎn)的截面圓直徑，球心面圓直

18、徑，球心O到截面到截面BCD的距離等的距離等于球半徑的于球半徑的 . (1)若若CBD=60，求異面直線求異面直線AC和和BD的夾角的夾角; (2)若若BD DC= 2，求二面角求二面角B-AC-D的大小的大小.123解：解：(1)過點(diǎn)過點(diǎn)C作作CEDB交球面于交球面于E，連，連結(jié)結(jié)AE，則，則ACE為所求的角為所求的角.因?yàn)橐驗(yàn)镃BD=60，所以所以BCE=60. 取取BC的中點(diǎn)的中點(diǎn)O，則則O為截面圓圓心為截面圓圓心.設(shè)球設(shè)球O的半徑為的半徑為R，由已知，由已知OO= .在在RtCOO中中所以所以BC= R.因?yàn)橐驗(yàn)锽ECE，所以所以CE=BCcos60= .2R2232COCO -OOR

19、.332R因?yàn)橐驗(yàn)锳C是球的直徑，所以是球的直徑，所以AEEC.在在RtAEC中，中， .故異面直線故異面直線AC和和BD的夾角為的夾角為arccos . (2)過點(diǎn)過點(diǎn)D作作DFBC，垂足為，垂足為F. 因?yàn)橐驗(yàn)镺ODF，所以所以DF平面平面ABC.過點(diǎn)過點(diǎn)F作作FHAC，垂足為，垂足為H，連結(jié)，連結(jié)DH. 依據(jù)三垂線定理，有依據(jù)三垂線定理，有DHAC.所以所以DHF為二面角為二面角B-AC-D的平面角的平面角.3cos4CEACEAC34因?yàn)橐驗(yàn)锽D DC= 2，BC= R，BD2+DC2=BC2，所以，所以則則DC= R，所以，所以BD= DC= R.因?yàn)橐驗(yàn)镈FBC=BDCD,所以所以因?yàn)橐驗(yàn)锳DCD，DHAC，所以所以DHAC=ADCD.332223()( 3 )2DCDCR127323731 267773RRD FRR而而所以所以在在RtDFH中中,sinDHF= ，所以所以DHF=60.故二面角故二面角B-AC-D的大小為的大小為60.2222124477ADAC -CDR -RR412437727RRDHRR32DFDH3. 一個(gè)球與底面邊長為一個(gè)球與底面邊長為a的正四棱錐的底面的正四棱錐的底面和側(cè)面都相切和側(cè)面都相切.若平行于棱錐若平行于棱錐 底面且與球相切的平面截棱錐，底面且與球相切的平面截棱錐，