中考數(shù)學(xué)壓軸題專項(xiàng)匯編專題一線三等角模型

1、專題17一線三等角模型破解策略在直線AB上有一點(diǎn)P,以AB,P為頂點(diǎn)的/1,/2,/3相等，Z1,Z2的一條邊在直線AB上，另一條邊在AB同側(cè)，Z3兩邊所在的直線分別交/1,/2非公共邊所在的直線于點(diǎn)C,D.1.當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上，且/3兩邊在AB同側(cè)時(shí).(1)如圖，若/1為直角，則有ACPoBPD.(2)如圖，若/1為銳角，則有ACHBPD.證明：./DPB=180°-Z3-ZCPA/C=180°-Z1-ZCPA而/1=/3.ZC=/DPB/1=/2,.AC團(tuán)BPD(3)如圖，若/1為鈍角，則有ACmBPD.2.當(dāng)點(diǎn)P在AB或BA的延長(zhǎng)線上，且/3兩邊在AB同側(cè)時(shí).如圖，

2、則有ACPABPD.證明：./DPB=180°-Z3-ZCPA/C=180°-Z1-ZCPA而/1=/3.ZC=/DPB./1=/2=/PBDACHBPD3.當(dāng)點(diǎn)P在AB或BA的延長(zhǎng)線上，且/3兩邊在AB異側(cè)時(shí).如圖，則有ACPABPD.C證明：/c=Z1-ZCPB/BPD=Z3-ZCPB而/1=Z3.ZC=/BPD./1=Z2,PAC=/DBPACPBP3.例題講解例1:已知：/EDF勺頂點(diǎn)D在ABC勺邊AB所在直線上(不與點(diǎn)A,B重合).DE交AC所在直線于點(diǎn)MDF交BC所在直線于點(diǎn)N.記ADM勺面積為S,BND勺面積為(1)如圖1,當(dāng)ABB等邊三角形，/EDF=/A時(shí)

3、，若AB=6,AD-4,求SG的值；(2)當(dāng)ABC是等腰三角形時(shí)，設(shè)/B=/A=/EDF=a.如圖2,當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD-a,BD-b,求SS2的表達(dá)式(結(jié)果用a,b和a的三角函數(shù)表不).如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線,上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)AD-a,BD-b,直接寫出SS的表達(dá)式.EACF圖1圖2圖3解：(1)如圖4,分別過點(diǎn)MN作AB的垂線，垂足分別為G,H.則S&=1MGAD-NHBD-工ADAMsinABD224BNsinB.由題意可知/A=/B=60o,所以sinA=sinB=由“一線三等角模型”可知AM。BDNAMBDADBN,從而AMBN=ADB48,/.S&=

4、12.(2)如圖5,分別過點(diǎn)MN作AB的垂線，垂足分別為GH.CAFB則SS2=-MGAD-NHBD=-ADAMsinABDBNsinB.224由“一線三等角模型”可得AM。BDN所以幽”從而amBN=ADBD=ab,BDBN1所以SS2=-a2b2sin2a；4如圖6,分別過點(diǎn)MN作AB的垂線，垂足分別為GH.則S19=-MGAD-NHBD=-ADAMsinABDBNsinB.224由“一線三等角模型”可得AM。BDN所以AMAD從而amBN=ADBD=ab,BDBN1所以S1S2=-a2b2sin2a;4例2：如圖，在等腰三角形ABC43,/BAC120,AB=AC=2,點(diǎn)D是BC邊上的一

5、個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與BC重合)，在AC上取一點(diǎn)E,使/ADE=30°.(1)設(shè)BD=x,AEE=y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；(2)當(dāng)AD豆等腰三角形時(shí)，求AE的長(zhǎng).解（1）ABC1等腰三角形，且/BAC=120°,./ABD=/ACB=30, .ZABD=/ADE=30,./ADC=O/ADEF/EDC=ZABD-/DAB .ZEDG=/DAB .ABDhDCE .AB=AC=2,/BAC=120,過A作AFLBC于F, ./AFB=90°,.AB=2,/ABF=30,1AF=AB=1,2BF=#3,.BC=2BF=23,貝UDC=2事x,EC=2

6、-y.ABDhDCEABDC一,BDCE.223x.-,x2y化簡(jiǎn)彳導(dǎo):yx273x20x2曲.2(2)當(dāng)AD=DE時(shí)，如圖2,AB四DCE貝UAB=CD即2=2.3x,x=2732,代入y-x2v3x22解得：y=42點(diǎn),即AE=42J§,當(dāng)AE=ED時(shí)，如圖，/EAD=/EDA=30°,/AED=120°,所以/DEC=60,/EDC=90則ED=1EG即y=1(2-y)22-2rr2解得y=-,即AE=-；33當(dāng)AD=AE時(shí)，有/AED-/EDA=30,/EAD=120°此時(shí)點(diǎn)D和點(diǎn)B重合，與題目不符，此廣情況不存在.2所以當(dāng)是ADE?腰三角形時(shí)，

7、AE=42J3或AE=-3進(jìn)階訓(xùn)練1.如圖，在ABC,AB=AC點(diǎn)E在BC邊上移動(dòng)（不與點(diǎn)B,C重臺(tái)）.滿足/DE鼻/B,且點(diǎn)DF.分別在邊ABAC上.當(dāng)點(diǎn)E移動(dòng)到BC的中點(diǎn)時(shí)，求證：FE平分/DF11.略【提示】由題意可得/B=/DEF=ZC.由“一線三等角模型”可得BD摩CEF可得且旦=匹.而BE=CE-CFEF所以CE=匹，從而DEWECF所以/DEF=/EFC即FE平分/DCCFEF2.如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D,E分別在ABBC邊上，AD=2BE=6.將DE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到EF.取EF的中點(diǎn)G,連結(jié)AG延長(zhǎng)CF交AG于點(diǎn)H.若2AH=5HG求BD的長(zhǎng).2.BD=9.【提示】如圖，過點(diǎn)F作FI/AC交BC于點(diǎn)I.則/FIE=/ACB=/ABD.易證DB2AEIF,則IF=BE,IE=BD所以BOBE=AD即IC=BE=IF,則/ACH=ZBCH=30,延長(zhǎng)CH變AB于點(diǎn)J