同濟(jì)大學(xué)線性代數(shù)試卷題庫(kù)(6)

1、20092010學(xué)年第二學(xué)期課名：線性代數(shù)考試考查：考查(注意：本試卷共七大題，三大張，滿分 100分考試時(shí)間為100分鐘.要求寫岀解題過(guò)程，否則不予計(jì)分)一、填空與選擇題(24分)1、 設(shè)A是n階方陣，A*是其伴隨陣，則AA* B.22n 1n2n(A). IA(B). IA(C). A(D). IA*n-12 n -12n-1這種題先化簡(jiǎn)，IAA =AI IAAI=AI IA =A2、 設(shè)A是n階方陣，則_C是對(duì)稱矩陣.(A). A AT( B). CACT，C是任意n階方陣(C). AAT(D). AATB，B是任意n階對(duì)稱陣?yán)脤?duì)稱陣的定義和性質(zhì)，A.選項(xiàng)(A-AT)T AT -A，B

2、選項(xiàng)(CACT)T=CATCTC 選項(xiàng)，AAT T=AA T，D 選項(xiàng)(AATB )t=BTAAT3、設(shè)A是mDn陣，A的秩R(A) r ,則線性方程組AX 0有非零解(A).m n(B). r m(C).r m(D). A的列向量組線性相關(guān)有非零解，說(shuō)明該方程組的解不唯一(我記得這道題貌似是書(shū)上的一句原話)。如果你記不得這句話了，可以舉反例。再者，可以利用定義，假如A的秩是滿秩，那必然只有零解，因?yàn)槊總€(gè)列向量都線性無(wú)關(guān)所以A不可能滿秩，那么 A必然會(huì)存在列向量或者行向量線性相關(guān)。所以 D正確4、 設(shè)A是n階正交陣，則以下結(jié)論中正確的是_B.(A). A 1( B). AT與A為可交換矩陣(C

3、). IAl1( D ). A為對(duì)稱陣T-1A是正交陣，由正交陣的性質(zhì)可得A 也是正交陣，那么假設(shè)A P P ，AAT=P PX ( PI)T Pt), ATA= ( PT (PI)T) P P1 ,因?yàn)檎魂嚨霓D(zhuǎn)置就是它的Ps:逆，所以兩個(gè)等式滿足相等。所以B答案正確(正交陣，實(shí)對(duì)稱陣的性質(zhì)都很重要。正交陣不一定對(duì)稱)7415、已知A471的三個(gè)特征值為I23, 312 ,則 X44X4.由特征值的性質(zhì)有，主對(duì)角線之和=特征值之和（1+2+3）,所以解得X 46、若A為4階方陣，其秩R（A） 2 ,A是其伴隨陣，則R（A） 0n, R(A) n公式：Amn, R(A*)1, R(A) n-1

4、0，R(A)為其他1XX2Ln 1 X1aa2Ln 1a17、設(shè)有方程1a2a；Ln 1a2MMMM1an 12an 1Ln 1an 1則方程的全部解為a1, a2,an10 ,這里ai（i 1丄，n 1）是互不相等的實(shí)常數(shù),雖然形式類似范德蒙特行列式，但是我們?nèi)匀豢梢杂梅兜旅商匦辛惺絹?lái)做，因?yàn)锳 AT所以含X的項(xiàng)為x-an-1 x-an-2 x-a.3 。 x-a1 =0，所以方程的全部解為118、已知向量組 I1 ,20 ,353a1 ,a2, an 121 線性相關(guān)，則實(shí)數(shù)k _0k 8一看到向量組構(gòu)成的矩陣是方陣，而且還線性想逛，什么都不說(shuō)了，直接求行列式，令它等于0吧OOOO解得k=

5、0ab0L000abL00、（10分）計(jì)算n階行列式：Dn00aL00MMMMM000Labb00L0a這種題呢，按個(gè)人興趣展開(kāi)，我是按最后一行展開(kāi)的， 展開(kāi)后就成了兩個(gè)三角型（前面別忘 了乘上對(duì)應(yīng)的系數(shù)），其他的我就不說(shuō)了。 OO附上自己做的結(jié)果 an （ 1） 1bn、（15分）設(shè)A,B是n階方陣，A B AB ,（1）證明：AE可逆,00 ,求 A.2（1） 一看到這種題。 沒(méi)有B,那我就把B弄到一起，第一反應(yīng)，又要化簡(jiǎn)了-。那就化吧。既然你要的東西里（A-E） B A ,尼瑪，怎么沒(méi)劃出來(lái) 0 0 ,別慌，右邊不還有個(gè)A嗎，把A在移到左邊,配成(A-E) B-A E E(A-E)(B-

6、E) =E,這就說(shuō)明了 A E可逆了，而且連它的逆你都給出來(lái)了。（2）現(xiàn)在你要求 A,那就把A都弄在一起， A（ E-B） B ,現(xiàn)在先停停，求一 下（E-B），問(wèn)我為什么？因?yàn)槟阋?A的話必然要求（E-B）的逆啊，如果這玩意不可逆， 你還做什么。具體步驟就是求出它的行列式，看看是不是為0就行了，本題（E-B）行列式不為0現(xiàn)在，兩邊又乘我算的是-1-1/30（E-B）的逆，然后你就可以用你最喜歡的初等變換求了-1/2-4/3000-2四、（15分）線性方程組XiX2 kX3XiXikX2 X3X2 2x3k2,問(wèn)參數(shù)k為何值時(shí)此方程組（1）無(wú)解，（2）有唯一解， 一看到這種題，老熟人了， 個(gè)

7、根據(jù)克萊姆法則的性質(zhì)有）（3）有無(wú)窮多個(gè)解，并在無(wú)窮多個(gè)解的時(shí)候求出其通解直接對(duì)它的系數(shù)行列式求值，（如果你想多寫點(diǎn)字的話，可以寫1-1=0 ,解得k=4,k=-1。接下來(lái)的就是把這兩個(gè)值帶到增廣矩陣化簡(jiǎn)，一般都是其中一個(gè)k得到的是無(wú)解的,另一個(gè)得到的是無(wú)窮解的，當(dāng)k不等于4, -1時(shí)有唯一解。-1五、（12分）設(shè)AC3 ,其行列式值 A 1 ,其伴隨陣 A*有特征值，a1a,b, C)1為對(duì)應(yīng)的特征向量,1這道題化簡(jiǎn)起來(lái)感覺(jué)沒(méi)之前那么利索了，因?yàn)锳*有特征值，所以A* =，在利用伴隨矩陣的共識(shí)，有 AA1 =,然后等式兩邊同乘 A,得到A=A1根據(jù)上述等式，列出方程組（令-=t ）-1t -

8、a 1 ct 1t -5-b3 ,可得 b -1,最后，利用行列式為-1 ,可解得a c -3,1, b-t c-1- aa C六、(14分)已知二次型f(1,2,3)2 24x2 3x3 4X1X2 4X1X3 8X2X3,(1)求二次型f的矩陣A ;(2)求正交陣P ,使其在經(jīng)過(guò)正交變換Py后，二次型f可化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出標(biāo)準(zhǔn)形這種題固定思路，求特征值，求正交陣(1)0首先，化成標(biāo)準(zhǔn)型矩陣2-2-24 ,-3(2)求出它的特征值為-6，6,特征值為6時(shí)，特征向量為25,特征值為-6時(shí)，特征向量為,2 -1特征值為1時(shí)，特征向量為0.1因?yàn)樗麄儗?duì)應(yīng)的特征值不同,所以天然正交。單位化有1廠12

9、2 2"50.11所以正交陣P為p1，p2,p3七、(10分)已知向量組t線性無(wú)關(guān)，向量組1, 2, L , t,線性相關(guān)，試證以表示成1, 2,L , t的線性組合，且表示方法唯一(1)這道題不難，一般線性相關(guān)，無(wú)關(guān)類的證明題，用定義來(lái)推導(dǎo)就行了，本題只需要注 意既證明能線性表示，在證明唯一性就好了。證明線性表示： 因?yàn)橄蛄拷M1, 2,L , t,線性相關(guān)所以存在一組不全為0 的 k ，使得k11k22 Lkttkm0 ， 因?yàn)?, 2,L , t線性無(wú)關(guān)，可得km不等于為0,如果km為0 ,那1, 2丄,t,也會(huì)線 性無(wú)關(guān)（自己用反證法證明） 。所以l1 1 l2 2 L lt t（ I）證明唯一性： （反證法）加入還存在一組不全為 0 的 q 使得 q1 1 q2 2 L qt t （ II ） 現(xiàn)在,我們把（ I ）和（ II ）帶到第一問(wèn)的 k 式去 k1 kml1 1 k2 kml 2 2 L kt kmlt t 0得到2,k1 kmq1 1 k2 kmq2 2 L