2019-2020學(xué)年福建省廈門一中高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁共 2222 頁2019-2020 學(xué)年福建省廈門一中高二上學(xué)期10 月月考數(shù)學(xué)試一、單選題i i.已知命題“P q”為假，一q為假，則下列說法正確的是（）A.P真，q真B.P假，q真C.P真，q假D.P假，q假【答案】B B【解析】先由“P q”為假，得到p,q至少有一個為假；再由q為假，得到q為真，進 而可得出結(jié)果 【詳解】因為命題“Pq”為假，所以P,q至少有一個為假；又q為假，所以q為真，因此P為假. .故選 B B【點睛】本題主要考查由復(fù)合命題的真假判斷原命題的真假，熟記復(fù)合命題真假的判定條件即可，屬于?？碱}型 22 2拋物線y = -8x的焦點坐標(biāo)是（）【答案】C C【解

2、析】先將拋物線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，進而可得出焦點坐標(biāo)【詳解】221因為y = -8x2可化為xy,81所以2p，且焦點在y軸負(fù)半軸,8（1）因此焦點坐標(biāo)為10,-I 32丿故選 C C【點睛】A. 0,-2B. 21、（1C.C.,D.D. -一,0132丿1 32丿a2b2第 2 2 頁共 2222 頁本題主要考查由拋物線的方程求焦點問題，熟記拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可，屬于基礎(chǔ)題型第3 3頁共 2222 頁3 3 .曲線方程,x2+（y 4）2、.x2+（y4）2=10的化簡結(jié)果為（【答案】D D【解析】根據(jù)題意得到給出的曲線方程的幾何意義，是動點x,y到兩定點的距離之和等于定值，符合橢圓定義，然

3、后計算出相應(yīng)的a,b,c得到結(jié)果. .【詳解】曲線方程.x2+ y 4 - ,/x2+ y4 $ =10，所以其幾何意義是動點x,y到點0,-4和點0,4的距離之和等于10，符合橢圓的定義 點0,-4和點0,4是橢圓的兩個焦點 2 2因此可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程 每務(wù)=1 a b 0，其中2a = 10,所以a= 5a bc=4，所以ba2-c2=32 2所以曲線方程的化簡結(jié)果為 壬=1.=1.259故選 D D 項 【點睛】本題考查曲線方程的幾何意義，橢圓的定義，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，屬于簡單題4 4 .命題p : x y = 3，命題q: x = 1或y = 2，則命題P是命題q的（ ）A A 充分不必

4、要條件B B.必要不充分條件C C 充要條件D D既不充分也不必要條件【答案】A A【解析】【詳解】/命題p : x y = 3，命題q : x = 1或y = 2,15q：x = 1且y=2,p：x+y=3,q=P,反之不成立，例如x= -,y=-.22所以非 p p 是非 q q 的必要不充分條件，因此命題P是命題q的充分不必要條件.故選 A A.25252 2y x B.B.=1=12592 2y x D.D.x xA.A.21616a2b2第 2 2 頁共 2222 頁2 25 5 已知雙曲線W -1的左、右焦點分別為F1、F2，直線I過F1，與雙曲線的左第5 5頁共 2222 頁支交

5、于AB兩點，若AB =5，且雙曲線的實軸長為8，則iABF2的周長是()A.A. 1616B.B.18C.C.21D.D.26【答案】D D【解析】根據(jù)雙曲線的定義得到AF2- AFj=2a,BF2 BF,|=2a,再由題中條件，即可求出結(jié)果. .【詳解】因為直線I過R，與雙曲線的左支交于A,B兩點，AB = 5，且雙曲線的實軸長為8，由雙曲線的定義可得，AF2| AF,=2a=8，BF2| |BF28，所以AABF2的周長AF?|+|BF2+|AB| =|AF+|BF,+16+|AB|=2| AB+16 = 26. .故選 D D【點睛】本題主要考查雙曲線中焦點三角形的周長問題，熟記雙曲線的

6、定義即可，屬于常考題型【考點】 橢圓與雙曲線的幾何性質(zhì).7.如圖，過拋物線 y2=2px(p 0)焦點 F 的直線I交拋物線于點 A,B，交其準(zhǔn)線于點C,若BC =2 BF ,AF |=3|,則此拋物線的方程為-1，則雙曲線2yb2=1=1 的漸近線方程1A.A.y xB.B.y - -2x2C.C.y = 4x1D.D.y x4【答案】A A【解析】 【詳解】橢圓的離心率e=Ca22. 2即 _ 二口_2 2a a所以雙曲線b2二1的漸近線為y =丄故選 A A 2第6 6頁共 2222 頁2亠2小2329A Ay = 3xB B.y =9xC C.yxD D.yx22【答案】A A【解析】

7、 設(shè) AgyjBgyAgyjBgyz），作 AMAM、BNBN 垂直準(zhǔn)線于點 M M、N N,則 |BN|=|BF|BN|=|BF|,又 |BC|=2|BF|BC|=2|BF|,得 |BC|=2|BN|BC|=2|BN|,/ / NCB=30NCB=30有 |AC|=2|AM|=6|AC|=2|AM|=6,設(shè) |BF|=x|BF|=x,貝 U U 2x+x+3=6?x=12x+x+3=6?x=1 ,k2x2pk22p x * k2p2= 02即有x1x2=衛(wèi)，故：4故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：y2=3x本題選擇 A A 選項. .2 28 8雙曲線C:-占=1 a,b 0的右焦點為F,P為雙曲線C上

8、的一點，且位于a b第一象限，直線PO,PF分別交于曲線C于M,N兩點，若POF為正三角形，則直線MN的斜率等于()久一運-2B.B., 3-2C C 一22D.D.2一 3 3【答案】D D【解析】記雙曲線左焦點為F1，根據(jù)題中條件，結(jié)合雙曲線定義，得到再設(shè)P(x, y),N(x, y)，得到M(-x,-y0)，由點差法求出而Xi衛(wèi)=3, x2衛(wèi)=1, ,由直線 ABAB: :2 2y=k X-衛(wèi)，代入拋物PSy y。y - y。_ b2xx0 x - x。a2第7 7頁共 2222 頁得到b22kNMkNP=二二與-1 =3 2-、3，進而可求出結(jié)果. .a a【詳解】本題主要考查雙曲線中

9、的直線斜率的問題，熟記雙曲線的定義與簡單性質(zhì)即可, 考題型 記雙曲線左焦點為Fi，因為POF為正三角形,所以O(shè)P J FF12，即.FiPF =90,PFFi=60,則有PF =c，PF 3c.由雙曲線定義可得：.、3c_c =2a，設(shè)P（Xo，y）,N（x,y），則M（-Xo，-y）,所以2X2a2 2乞y i2 _ h? _12*b2，兩式作差可得篤yo1a亍12Xo2a2y_ b2b即X Xo.2id 即k kNM NPaX_Xo2與-仁3 2.3，a屬于常又kNP=矗，則第8 8頁共 2222 頁、多選題第9 9頁共 2222 頁9 9 已知ABC為等腰直角三角形，其頂點為A, B,C

10、，若圓錐曲線E以代B焦點，并經(jīng)過頂點C，該圓錐曲線E的離心率可以是（）J J2 2A.A. 2-12-1B.-B.-C.C.、2D.D.、2 12【答案】ABDABD【解析】根據(jù)題中條件，分別討論圓錐曲線是橢圓，與圓錐曲線是雙曲線兩種情況，結(jié)合橢圓與雙曲線的特征，即可得出結(jié)果 【詳解】 因為ABC為等腰直角三角形，其頂點為 代B,C，圓錐曲線E以A, B焦點，并經(jīng)過頂點C，當(dāng)c，時，離心率e4CA+CB丁2+1（iiii ）若該圓錐曲線是雙曲線，根據(jù)雙曲線的特征可得，則只有故答案為 ABDABD【點睛】21010已知點F是拋物線y =2px p 0的焦點，AB,CD是經(jīng)過點F的弦且AB _CD

11、,AB的斜率為k，且k 0,C, A兩點在x軸上方. .則下列結(jié)論中一定成立的是（）兀2c所以若該圓錐曲線是橢圓，當(dāng)時，離心率ABCA CBABJIC二一,4此時，離心率e2cAB2aCA -CB本題主要考查雙曲線或橢圓的離心率,熟記橢圓與雙曲線的簡單性質(zhì)即可， 屬于?？碱}第1010頁共 2222 頁【答案】ACAC【解析】先由AB的斜率為k,AB _ CD,得到kC -，設(shè)A(xyj,Bg,張,k再由拋物線的焦點弦公式求出AB，CD，最后根據(jù)題意，逐項判斷，即可得出結(jié)果【詳解】 因為AB的斜率為k，AB _ CD，所以kCD二-丄，k設(shè)AZ)，BS，AB的方程為宀卜氣丿A.A.1 1-+-A

12、B CD12pB.B.若AF42 BF| =p，則k3uuu uuu uuir ujurC.C.OA OB二OC ODD.D.四邊形ABCD面積最小值為16 p2AB的方程為y = k，聯(lián)立直線與第1111頁共 2222 頁由；y=k卜刖可得,)2= 2 pxk2x2212 2p(k2+2)x+k2p2=0，4第1212頁共 2222 頁因為AB_CD，所以四邊形ABCD面積故選 ACAC【點睛】本題主要考查直線與拋物線位置關(guān)系，熟記拋物線的簡單性質(zhì), 置關(guān)系即可，解決此類題型，通常需要聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合韋達定理，弦長公 式等求解，屬于?？碱}型三、填空題1111 雙曲線3x2y2=9的

13、焦距為_x1x2二P(k22)k212x1x2p4所以AB二Xi2 2p(k +2)2p(k +1)x2p2 p2，kk同理可得CD12心1)穿2p(1 k2)則有1AB+CD1亍，所以 A A 正uuu uuuOA O = x1x2y1y22k2 x1詩x2詩I x2122p12qp kx1x-x1x2-pp21k2p222 2P (k 2)一3p2與k4UULT uuir無關(guān)，同理OC ODuuir uuir32丄uuu uuu uuu uuirp，故OA OB =OC OD，C正確;4AF，BF|=4p23，由xip2X2p1=%X22(%X2)-12p2P2(k22)2k2解得 k k

14、 = =、3，故 B B 錯;SABCDJ|AB2CD1 2p(k21)當(dāng)且僅當(dāng)k22p(1 k2)=2p2(k21)2kk2= 2p2k272_8p2 k 即k =1時，等號成立；故 D D 錯;以及直線與拋物線的位第1313頁共 2222 頁【答案】4、.3【解析】將雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，所以a?= 3,b?=9, ,根據(jù)c2=a2+b2可得. .【詳解】2 2由3x2_y2= 9得:-=1,39所以a2=3,b2=9, ,所以c2=a2b2=3 9 =12, ,所以c =2、3, ,所以焦距2c =4、.3. .【點睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì) ，屬基礎(chǔ)題. .2 21212 拋物線

15、y2=8x的焦點到雙曲線 乞-比=1的漸近線的距離為 _2 2【答案】、.2【解析】分析：由題意求得拋物線的焦點為（2,02,0）,再求得雙曲線的漸近線為x_y=O,根據(jù)點到直線的距離公式可得所求.詳解：由拋物線y2=8x可得其焦點為（2,02,0）,2 2又雙曲線xy1的漸近線方程為x一y = 0,2 2所求距離為d二2點睛：本題考查拋物線的焦點坐標(biāo)、雙曲線漸近線方程的求法和點到直線的距離，主要考查學(xué)生的運算能力，屬容易題.1313 命題“X。 R,2xo-3axo 9：0”為假命題，則實數(shù)a的取值范圍是 _. .【答案】-2、.2丄a乞2、2【解析】 試題分析：由題意可得命題：_x，R,

16、,2x23ax亠9二0為真命題所以也=（3a24漢2父9蘭0, ,解得-242a|MF2若MF1=|旺=2c = 4,則MFi= J（ X。+2 ）=Jx+4x+4+59X0=3 + 3X0= 4,3解得Xo，代入橢圓方程可得215，所以M若MF2|=時2=2c=4,則MF1x2-4xo45x2=3-?Xo =4，顯然不滿足題93意，舍去故答案為【點睛】本題主要考查橢圓中滿足條件的點的坐標(biāo)，熟記橢圓的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型X22221616.已知P為橢圓y =1上一個動點，直線I過圓x - y-6i=2的圓心與圓相io交于A, B兩點，貝UPApB的最大值為 _ .【答案】482【解析】先

17、由題意得到圓X2 y-6 =2的圓心為C o,6，再由題意，結(jié)合向量運uur mu2urnUJU2算得到JUA UUJ _PA PB-PA-PBPC2-2，再求出橢圓上的動點與圓心4距離的最大值，即可求出結(jié)果 【詳解】2記圓x2+(y6) =2的圓心為C(0,6 )，2因為直線I過圓X2 y-62的圓心與圓相交于A, B兩點,所以uur uju2uuJJJ2JJJ JJJPA PB - PA - PB PA PB二-4UUJ21 UJU22=PC - AB -PC -2,42設(shè)Pxo,yo，因為P為橢圓和上一個動點，則宀1，八1,第1616頁共 2222 頁第1717頁共 2222 頁所以PC

18、2=x2+(y。6$ = 9y：12y+46,22當(dāng)yo =- 3時，PCmax=50,32因此PA PB的最大值為PCmax-2 = 48. .故答案為48【點睛】本題主要考查向量數(shù)量積的運算，熟記平面向量數(shù)量積的運算法則，以及橢圓的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型. .四、解答題11717 .已知橢圓的中心在原點，其中一個焦點為斤11,0，離心率為e，過點Fi的2直線I交橢圓于代B兩點，(1)(1) 求橢圓 E E 的方程：(2)(2) 若直線AB的傾斜角為135度，求AB聯(lián)立橢圓方程3x24y2-10,得到7x28x-8 =0,易知C,設(shè)A為， ,B X2,y2,【答案】(1 1)2 2x y

19、1432424(2)(2)石【解析】(1 1) 根據(jù)題中條件,得到c = 1，再由離心率求出a = 2，進而得到b的值，從而可求出橢圓方程;(2(2)由題中條l的方程為y - -x 1，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理，以及弦長公式，即可求出結(jié)果【詳(1(1)由條件知,1c=1，又由離心率e知a=2,2= =33，橢圓的方程為2 2xy1. .(2(2)由條件知,直線l的方程為y = -x 1,第1818頁共 2222 頁88則由韋達定理，,住7故AB = Jk2+1Nx2= J2+ x2f _4燉2= V2 J64十32=24f 4977【點睛】本題主要考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及求橢圓的弦

20、長，熟記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及弦長公式即可，屬于?？碱}型 21818 .已知命題p:k2- k-6乞0，命題q:方程x2二4 - k表示焦點在x軸上的1 -k雙曲線 (1) 命題q為真命題，求實數(shù)k的取值范圍；(2) 若命題“P q”為真，命題“P q”為假，求實數(shù)k的取值范圍. .【答案】(1 1)k 1,4(2 2)2,11U 3,44k0【解析】(1 1)由題意得到，求解，即可得出結(jié)果；(4-k門-k )0(2 2)先由題意，得到p,q一真一假，分別討論P真q假，P假q真，兩種情況，即可求出結(jié)果 【詳解】(2)若命題“P q ”為真，P q”為假，則P,q一真一假,2 2)若P假q真，則k

21、：一2,或k 3,解：(1 1 )若q為真命題，則方程2x4_k 4_k 1-k_1中，4k 04 -k 1-k : 0，解得1,4；1 1)若P真q假，則一2乞k空3 k乞1,或k一4第1919頁共 2222 頁11 c k 4k 3,4綜上，1-2,1 U 3,4【點睛】第2020頁共 2222 頁本題主要考查由命題的真假求參數(shù)的問題，會根據(jù)或且非的真假判斷原命題真假即可， 屬于?？碱}型 2244佃.已知雙曲線C:篤-yy=1a,b.O與-1有相同的漸近線，且經(jīng)過點a2bxf42M .2x2 ,(1) 求雙曲線C的方程，并寫出其離心率與漸近線方程；(2)已知直線x一y m =0與雙曲線C交

22、于不同的兩點A, B,且線段AB的中點在圓x2y2=10上，求實數(shù)m的取值. .2【答案】(1 1)雙曲線的方程為x1,離心率e = 3,其漸近線方程為y = _ . 2x 22 2 _ _【解析】(1 1)先由題意設(shè)雙曲線 C C 的方程為-、= ,根據(jù) M M .2.2.2.2，求出241 1=2=2，即可得雙曲線方程；進而可求出離心率與漸近線方程；(2 2)聯(lián)立直線AB與雙曲線C的方程，設(shè)A X1, y1,B X2,y2，由中點坐標(biāo)公式，韋達定理，以及題中條件，即可求出結(jié)果. .【詳解】2 2(1(1) T T 雙曲線 C C 與雙曲線=1=1 有相同的漸近線,422 2設(shè)雙曲線的方程為

23、乞一，24代入M M兀小，得,二,2故雙曲線的方程為X2-壬= =1.1.2由方程得 a a =1=1,c =，故離心率er3其漸近線方程為y二2x. .(2)聯(lián)立直線AB與雙曲線C的方程,2宀-2 = 0y二x m第2121頁共 2222 頁經(jīng)整理得x22mxm22 = 0，設(shè)A Xi,yi,B X2, y2，貝U AB的中點坐標(biāo)為由韋達定理，x2= 2m,y y2= % m i亠i x2m = %屜2m = 4m,.AB的中點坐標(biāo)為m,2m, 又Q m,2m在圓x2y2=10上,m24m2=10，. m -二、.2【點睛】 本題主要考查求雙曲線的方程、離心率與漸近線方程，以及直線與雙曲線位

24、置關(guān)系，熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型 2020 如圖，設(shè)點F 1,0，直線l:x - -1，點P在直線l上移動，R是線段PF與y軸的交點，RQ _ FP,PQ _ l. .(1)求動點Q的軌跡C的方程;(2)直線m過點F,與軌跡C交于A,B兩點，過點A,O的直線與直線l : x = -1交于點D，求證：BD/x軸. .2【答案】(1 1) y y =4=4x x (2 2)詳見解析 【解析】(1 1)先設(shè)Q x,y，由題中條件得到R 0,$，根據(jù)PF RQ，得到I 2丿uuu ujurPF RQ =0，進而可得出結(jié)果；4得到直線OA的方程為y x y。= 0，進

25、而求出y。(2(2)先由題意設(shè)f2A皿4,y。第2222頁共 2222 頁D -1,蘭；再由點F坐標(biāo)，得到直線AF的方程為y=；(x-1 )，聯(lián)立拋物線、y丿y_4方程，結(jié)合韋達定理，求出B點縱坐標(biāo)，進而可證明結(jié)論成立【詳解】(1 1)由題中條件，設(shè)Q x,y，QQP _ I，且丨：x- -1，P -1,y又QPF與y軸交于R，故R 0,丄，I 2丿故軌跡C的方程為y2(2(2)設(shè)點A為直線m與軌跡C的交點，由(1 1)設(shè)Ao,yo，l4丿則直線OA的方程為y二蘭x y。=0，yo一4一故B點縱坐標(biāo)為-，與D點縱坐標(biāo)相同，yo4又Qo,BD Px軸. .yo【點睛】本題主要考查軌跡方程的求法，

26、以及直線與拋線位置關(guān)系，熟記求軌跡方程的一般步驟,uurQ PF _ RQ,. PFRQ=2X0，2故直線OA與丨：x= -1的交點D為-1,yo丿又：F1,0，-的方程為2X_X_ ，44yo2yo-4x-1，聯(lián)立拋物線y?=4x，得:y。2yo-44yo2y。一4-yo，由韋達定理，A,B兩點縱坐標(biāo)乘積為-4，第2323頁共 2222 頁以及直線與拋物線的位置關(guān)系即可，屬于?？碱}型2 2y x2121 如圖，曲線C由上半橢圓G :22= 1(a . b 0, y _ 0)和部分拋物線a b2第2424頁共 2222 頁C2：y = -x T (y _ 0)連接而成，Ci,C2的公共點為A,

27、 B，其中Ci的離心率為(H)(H)過點B的直線I與Ci,C2分別交于P,Q(均異于點 代B),若AP丄AQ,求直【答案】(I)(I)a=2,b=：1；( ( n n二門.22【解析】試C2: y =_x 1(-0)公共點為A, B，得b= 1，設(shè)C2的半焦距為c，由e = E 及a 2a2_ c2= b2=1，解得a = 2;2(2(2)由(1 1)知，上半橢圓 G G 的方程為吐x2=1(y_0), B(1,0)B(1,0)，易知，直線 I I 與x4軸不重合也不垂直，故可設(shè)其方程為y = k(x -1)(k =0),并代入Ci的方程中，整理得:2 2 2 2(k 4)x -2k x k

28、-4 =0,k2由韋達定理得xpx廠嚴(yán)，又k 2 48 kB(1,0)，得，從而求得嚴(yán)，2繼而得點P的坐標(biāo)為(一428kk2+4k2+4)，同理，由廠逬一1)(0)得點Q的坐標(biāo)為)y=x2+i(y0)(-k -1,-k2-2k)，最后由APAQ =0, ,解得k =-8，經(jīng)檢驗k二-8符合題意，故33第2525頁共 2222 頁直線I的方程為y=-8(x-1). .3試題解析：(1 1)在Ci方程中，令y=0，得A(-b,O), B(b,O)在C2方程中，令y=0，得A( -1,0), B(1,0)所以b =1設(shè)C2的半焦距為c，由e =C 3及a2- c2= b2= 1，解得a= 2a 2所

29、以a=2，b=12(2 2)由(1 1)知，上半橢圓C1的方程為工X2=1(0)，B(1,0)B(1,0)4易知，直線I與x軸不重合也不垂直，設(shè)其方程為y = k(x-1)(k 0)代入 G G 的方程中，整理得:2 2 2 2(k24)x2-2k2x k2-4= =0 0()()設(shè)點P的坐標(biāo)(xP, yP)8:k =0,k -4(k2) = 0，解得k-3-經(jīng)檢驗，k符合題意，3故直線I的方程為y - -(x -1)3由韋達定理得xPxB2k2k24又 B(1,0)B(1,0)，得xPk2-4k24，從而求得yp-8kk24所以點P的坐標(biāo)為k2_48k(k24,k24)y = k(x 1)(

30、k式0)一2同理，由2得點Q的坐標(biāo)為(-k-1,-k2-2k)y = x +1(y蘭0)2k.AP2(k, 4)，AQ=k(1,k2)k 47 AP _ AQAP AQ= =0 0，即-2k2k24k -4(k2) =0第2626頁共 2222 頁【考點】橢圓和拋物線的幾何性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題22222.如圖（1 1）,平面直角坐標(biāo)系中，|_1C的方程為（x 1） + y2=4,LD的方程為（2 2）如圖（2 2），過A點作L P的兩條切線h,l2，若圓心在直線x二mm= 3上的epoLP與LIC外切，與LD內(nèi)切. .（i）當(dāng)m - -3時，求證：eP%勺半徑為定值;（ii）在（i）

31、的P,eQ均與LI C外切，與L D內(nèi)切，且L P的圓心為“3，求證：若e P,e Q的反演圓” eP,e Q%相切，則e P,e Q也相切。2 2【答案】(1 1) =1=1 33（2 2）（i）詳見解析（ii）詳見解析2也同時與1門2相切，則稱ePL P的一個 反演圓”第2727頁共 2222 頁【解析】(1 1)設(shè)LP的半徑為r，根據(jù)題意得到PD|=4 r,PC|=2 + r，根據(jù)橢圓定義，即可判斷出p點軌跡，從而求出軌跡方程；(2 2)(i)設(shè)P(Xo,y。)，得到L P的半徑為r = PC 2=1型，設(shè)3AP：y=(x3 )，由題意得到m,(m_3)y0，過A點的L P的切線方程為X。-3iX。3 y = k x -3,由點到直