王振發(fā)版分析力學課件第3章哈密頓正則方程

1、第三章第三章 哈密頓正則方程哈密頓正則方程3-1 哈密頓正則方程哈密頓正則方程3-2 正則方程的初積分正則方程的初積分3-3 泊松括號、泊松定理泊松括號、泊松定理3-4 相空間相空間(了解）了解）3-5 劉維定理（了解）劉維定理（了解）Lagrange 方程：方程：一組一組N N個廣義坐標表示的二階常微分方程個廣義坐標表示的二階常微分方程Hamiltonian方程方程：引入一引入一組組2N2N個廣義動量個廣義動量表示的一階常微分方程表示的一階常微分方程 處理思路：將微分方程降階以便于求解。處理思路：將微分方程降階以便于求解。兩方程組完全等價。兩方程組完全等價。特點：特點：簡單對稱簡單對稱正則變

2、換不變性正則變換不變性),(tqqLLkk ),(tpqHHkk1. 哈密頓正則方程哈密頓正則方程1.哈密頓變量哈密頓變量(正則變量正則變量) 設有一完整約束系統(tǒng)，設有一完整約束系統(tǒng)，N個自由度，受有勢力作用，其個自由度，受有勢力作用，其Lagrange 方程：方程： ), 2 , 1( 0NkqLqLdtdkk),(tqqLLkk Lagrange函數(shù)稱為以函數(shù)稱為以Lagrange變量變量 ， 表示的狀表示的狀態(tài)函數(shù)。態(tài)函數(shù)。kq kq廣義動量廣義動量 kkkqTqLp ), 2 , 1( 1NkbqapNjkjkjk), 2 , 1( 1NkbpaqNjkkkjk,kqkp稱為稱為Ham

3、iltonian變量變量或或正則變量正則變量。取廣義坐標取廣義坐標 和廣義動量和廣義動量 為獨立變量，為獨立變量，kpkqNkNjjkkjqqaT11221NkkkqbT11CT 02.哈密頓函數(shù)哈密頓函數(shù)H定義：系統(tǒng)的定義：系統(tǒng)的Hamiltonian函數(shù)函數(shù)1(, )NkkkkkHp qL q q t用用Hamiltonian變量替代變量替代Lagrange變量描述系統(tǒng)的狀態(tài)，得變量描述系統(tǒng)的狀態(tài)，得 ),(tpqHHkk3.哈密頓正則方程哈密頓正則方程對哈密頓函數(shù)進行微分得對哈密頓函數(shù)進行微分得dttHdppHdqqHdHNkkkNkkk11對哈密頓函數(shù)定義式微分得對哈密頓函數(shù)定義式微分

4、得 11dLqdpdpqdHNkkkNkkk上式中上式中dttLqdqLdqqLdLNkkkNkkk11kkqLp由由11 NNkkkkkkLdLp dqp dqdtt得得 kkqLp從而從而 11dttLdqpdpqdHNkkkNkkk比較上兩式得比較上兩式得哈密頓正則方程哈密頓正則方程： 11dttHdppHdqqHdHNkkkNkkk), 2 , 1 N(kqHppHqkkkk tLtH又又4. 正則方程說明正則方程說明Hamiltonian正則方程與正則方程與Lagrange 方程等價；方程等價；一般情況時的一般情況時的Hamiltonian正則方程正則方程 ), 2 , 1( NkQ

5、qLqLdtdkkkkkkQqLp ), 2 , 1 N(kQqHppHqkkkkkHamiltonian函數(shù)函數(shù)H的物理意義的物理意義定常約束時定常約束時H的物理意義的物理意義NkkkNkkkkkkkLqqLtqqLqptpqH11),(),(以以Hamiltonian變量表示的系統(tǒng)廣義能量，即變量表示的系統(tǒng)廣義能量，即 ),(021VTTLqqLtpqHNkkkkk VTH以以Hamiltonian變量表示的系統(tǒng)的機械能。變量表示的系統(tǒng)的機械能。以以 表示表示,kkqp0 02TTTHamiltonian函數(shù)函數(shù)H隨時間的變化隨時間的變化tHppHqqHdtdHkkNkkk)(1 ),(t

6、pqHHkk代入正則方程得代入正則方程得Hamiltonian函數(shù)函數(shù)H對時間對時間t的偏導數(shù)等于的偏導數(shù)等于H對對t的全導數(shù)。的全導數(shù)。tHtHqHpHpHqHdtdHkkNkkk)(12.正則方程的初積分正則方程的初積分0tHdtdHCH ),(CpqHkk廣義能量積分廣義能量積分1. H不顯含時間不顯含時間t C 02VTTH廣義保守系統(tǒng)廣義保守系統(tǒng)2. H不顯含時間不顯含時間t，且約束為定常的，則系統(tǒng)為保守系統(tǒng)，且約束為定常的，則系統(tǒng)為保守系統(tǒng)C VTH機械能量積分機械能量積分3. H不顯含某個廣義坐標不顯含某個廣義坐標 的情況的情況4. H不顯含某個廣義動量不顯含某個廣義動量 的情況

7、的情況jq0jjqHp 正則方程的循環(huán)積分正則方程的循環(huán)積分jjCp jp0jjpHq jjCq3. Poisson 括號括號. Poisson定理定理從已求出的初積分中找出新的初積分從已求出的初積分中找出新的初積分Poisson方法方法1. Poisson括號括號對（對（326）求導得）求導得0)(1tfppfqqfdtdfkkNkkk0)(1tfqHpfpHqfkkNkkk )(),(1kkNkkkqHpfpHqfHf引入引入Poisson括號括號（ f, H），），定義定義則則0),(Hftf上式為上式為 f 成為正則方程的初積分的條件。成為正則方程的初積分的條件。正則方程的初積分正則方

8、程的初積分f 必然滿足上式；必然滿足上式；滿足上式的函數(shù)滿足上式的函數(shù) f 必定是正則方程的初積分。必定是正則方程的初積分。zyxpppzyxkjiPrL0FrM2. Poisson括號的性質括號的性質Poisson括號的一般定義括號的一般定義 ), 2 , 1( ),( ), 2 , 1( ),(NktpqNktpqkkkk )(),(1kkNkkkqppq),( ),(),( ),(),( 0),( ),(),(CCC為常數(shù)為常數(shù)),( ),(),(2121),( ),(),(ttt ),(Hppkk),(Hqqkk ),( ),(),(WWW 再設再設WW（qk, pk , t) 則則

9、0 ),( , ),( ,),( ,WWW3. Poisson恒等式恒等式4. Poisson定理定理如果函數(shù)如果函數(shù) 和函數(shù)和函數(shù) 是正則方程的是正則方程的兩個初積分，則函數(shù)（兩個初積分，則函數(shù)（,) 也是正則方程的初積分。也是正則方程的初積分。（qk, pk , t) （qk, pk , t) Poisson定理說明，由正則方程的兩個已知初積分可找出第定理說明，由正則方程的兩個已知初積分可找出第三個初積分；第一第三或第二第三組合又可找出第四個初積三個初積分；第一第三或第二第三組合又可找出第四個初積分分可不斷求出初積分，這種方法稱為可不斷求出初積分，這種方法稱為Poisson方法。方法。注意

10、：注意：1. 可能發(fā)生新的初積分為零或與原來初積分不獨立可能發(fā)生新的初積分為零或與原來初積分不獨立, , ,3322GtFtEt2. 在物理學的其他領域有廣泛應用在物理學的其他領域有廣泛應用4.相空間相空間 2N個變量個變量 (qk , pk ) 構成的構成的2N維空間稱為維空間稱為Hamiltonian相空相空間間，簡稱，簡稱相空間相空間。 某瞬時力學系統(tǒng)的位置和動量（某瞬時力學系統(tǒng)的位置和動量（qk, pk )對應相空間的一對應相空間的一點；相空間的一點與系統(tǒng)的某運動狀態(tài)對應點；相空間的一點與系統(tǒng)的某運動狀態(tài)對應相點相點. 相跡相跡：相點在相空間描畫出的一條曲線，對應著系統(tǒng)運：相點在相空間描畫出的一條曲線，對應著系