微分例題講解

1、二、微分運算法則二、微分運算法則三、微分在近似計算中的應(yīng)用三、微分在近似計算中的應(yīng)用四、微分在估計誤差中的應(yīng)用四、微分在估計誤差中的應(yīng)用第五節(jié)一、微分的概念一、微分的概念 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的微分 第二章 一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關(guān)于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當(dāng) x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊

2、長由其機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 的微分微分,定義定義: 若函數(shù))(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x處可導(dǎo)，在點0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)

3、(0)( xoxA)(xfy 在點 的可導(dǎo),0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導(dǎo),0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點 的可導(dǎo),0 x)0)(0時 xf則機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 說明說明:0)(0

4、xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當(dāng)故當(dāng)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 微分的幾何意義xxfy)(d0 xx0 xyo)(xfy 0 xyydxtan當(dāng) 很小時,xyyd時，當(dāng)xy 則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導(dǎo)數(shù)也叫作微商切線縱坐標(biāo)的增量自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例如例如,3xy yd02. 0d2xx23xxd02. 0d2xx24. 0,arctanxy ydxx

5、d112基本初等函數(shù)的微分公式 (見 P115表)又如又如,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二、 微分運算法則微分運算法則設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變5. 復(fù)合函數(shù)的微分則復(fù)合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1., )1(ln2xey求 .dy解解:211dxey)1(d2xe211xe)(d2xxxee

6、xxd21122xeexxxd12222xe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè),0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyxsin)sin(例例3. 在下列括號中填入適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 注意: 數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性.)(22 44)(22)(4si

7、n22)sin(k2224數(shù)學(xué)中的反問題往往出現(xiàn)多值性 , 例如注意 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、三、 微分在近似計算中的應(yīng)用微分在近似計算中的應(yīng)用)()(0 xoxxfy當(dāng)x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特別當(dāng)xx,00很小時,xffxf)0()0()(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln

8、()5(x證明證明: 令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當(dāng) xxx1)1 (機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 180dx29sin的近似值 .解解: 設(shè),sin)(xxf取300 x,629x則1802918029sin6sin6cos2123)0175. 0(485. 0)180(例例4. 求29sin機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4848. 029sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例5. 計算xx1)1 (機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例6. 有一批半徑為1cm 的球

9、, 為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為334RV鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg9 . 8:(3銅的密度估計一下, 每只球需要鍍上一層銅 , 厚度定為 0.01cm , 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、四、 微分在估計誤差中的應(yīng)用微分在估計誤差中的應(yīng)用某量的精確值為 A , 其近似值為 a ,aA稱為a 的絕對誤差絕對誤差aaA稱為a 的相對誤差相對誤差若AaAA稱為測量 A 的絕對誤差限絕對誤差限aA稱

10、為測量 A 的相對誤差限相對誤差限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 誤差傳遞公式誤差傳遞公式 :已知測量誤差限為,x按公式)(xfy 計算 y 值時的誤差yydxxf)(xxf)(故 y 的絕對誤差限約為xyxf)(相對誤差限約為xyxfxfy)()(若直接測量某量得 x ,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例7. 設(shè)測得圓鋼截面的直徑 mm,0 .60D測量D 的 絕對誤差限,mm05. 0D欲利用公式24DA圓鋼截面積 ,解解: 計算 A 的絕對誤差限約為DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相對誤差限約為242DDADADD20 .6005. 02%17. 0試估計

11、面積的誤差 . 計算機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (mm)內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分概念 微分的定義及幾何意義 可導(dǎo)可微2. 微分運算法則微分形式不變性 :uufufd)()(d( u 是自變量或中間變量 )3. 微分的應(yīng)用近似計算估計誤差機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)函數(shù))(xfy 的圖形如下, 試在圖中標(biāo)出的點0 x處的yy ,d及,dyy 并說明其正負(fù) .yd0 xx00 xxyoy00yyd機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21xxsindtand. 3x3secxxd2sin) (d. 4Cx2cos21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5. 設(shè))(xyy 由方程063sin33yxyx確定,.d0 xy解解: 方程兩邊求微分, 得xx d32當(dāng)0 x時,0y由上式得xyxd21d0求yy d32xxd3cos30d6y6. 設(shè) ,0a且,nab 則nnba1nanba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)作業(yè)P122 1 ; 3 (4) , (7) , (8) , (9) , (10) ; 4 ; 5; 8(1) ; 9(2) ; 12習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1