無窮級數(shù)的課件

1、一、問題的提出一、問題的提出1. 1. 計算圓的面積計算圓的面積R正六邊形的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正十二邊形的面積1a21aa 正正 形的面積形的面積n23 naaa 21naaaA 21即即 n10310003100310331. 2二、級數(shù)的概念二、級數(shù)的概念1. 1. 級數(shù)的定義級數(shù)的定義: : nnnuuuuu3211(常數(shù)項常數(shù)項)無窮級數(shù)無窮級數(shù)一般項一般項部分和數(shù)列部分和數(shù)列 niinnuuuus121級數(shù)的部分和級數(shù)的部分和,11us ,212uus ,3213uuus ,21nnuuus 2. 2. 級數(shù)的收斂與發(fā)散級數(shù)的收斂與發(fā)散: : 當(dāng)當(dāng)n無限增大時無限增大

2、時, ,如果級數(shù)如果級數(shù) 1nnu的部分和的部分和數(shù)列數(shù)列ns有極限有極限s, , 即即 ssnn lim 則稱無窮級數(shù)則稱無窮級數(shù) 1nnu收斂收斂, ,這時極限這時極限s叫做級數(shù)叫做級數(shù) 1nnu的和的和. .并并寫成寫成 321uuus如如果果ns沒沒有有極極限限, ,則則稱稱無無窮窮級級數(shù)數(shù) 1nnu發(fā)發(fā)散散. .即即 常數(shù)項級數(shù)收斂常數(shù)項級數(shù)收斂( (發(fā)散發(fā)散) )nns lim存在存在( (不存在不存在) )余項余項nnssr 21nnuu 1iinu即即 ssn 誤誤差差為為nr)0lim( nnr無窮級數(shù)收斂性舉例：無窮級數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. .做法：先給定

3、一個正三角形，然后在每條邊上對做法：先給定一個正三角形，然后在每條邊上對稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形了面積有限而周長無限的圖形“Koch“Koch雪花雪花”觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形播放播放, 2 , 1)34(11 nPPnn)91(431121AAAnnnn

4、 1121211)91(43)91(43913AAAAnn , 3 , 2 n周長為周長為面積為面積為)94(31)94(31)94(31311221 nA第第 次分叉：次分叉：n于是有于是有 nnPlim)941311(lim1 AAnn.532)531(1 A結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂）例例 1 1 討論等比級數(shù)討論等比級數(shù)( (幾何級數(shù)幾何級數(shù)) ) nnnaqaqaqaaq20 )0( a的收斂性的收斂性. .解解時時如如果果1 q12 nnaqaqaqasqaqan 1,11qaqqan

5、,1時時當(dāng)當(dāng) q0lim nnqqasnn 1lim,1時時當(dāng)當(dāng) q nnqlim nnslim 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散時時如如果果1 q,1時時當(dāng)當(dāng) q,1時時當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級級數(shù)數(shù)變變?yōu)闉椴徊淮娲嬖谠趎ns lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時時當(dāng)當(dāng)收收斂斂時時當(dāng)當(dāng),1,10qqaqnn例例 2 2 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) 11232nnn的收斂性的收斂性. . 解解nnnu 1232,3441 n已知級數(shù)為等比級數(shù)，已知級數(shù)為等比級數(shù)，,34 q公比公比, 1| q.原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散例例 3 3 判別無窮級數(shù)判別無窮級數(shù) )12()12(1531311nn 的

6、收斂性的收斂性. . 解解)12)(12(1 nnun),121121(21 nn)12()12(1531311 nnsn)121121(21)5131(21)311(21 nn)1211(21limlim nsnnn),1211(21 n,21 .21, 和和為為級級數(shù)數(shù)收收斂斂例例 4 4 試試把把循循環(huán)環(huán)小小數(shù)數(shù)3171717. 2173 . 2 表表示示成成分分?jǐn)?shù)數(shù)的的形形式式. . 解解 173 . 2 7531017101710173 . 2 03100110173 . 2nn等比級數(shù)等比級數(shù)1001 q公比公比10011110173 . 23 .4951147 三、基本性質(zhì)三、基

7、本性質(zhì)性性質(zhì)質(zhì) 1 1 如如果果級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1nnku亦亦收收斂斂. .性性質(zhì)質(zhì) 2 2 設(shè)設(shè)兩兩收收斂斂級級數(shù)數(shù) 1nnus, , 1nnv, ,則則級級數(shù)數(shù) 1)(nnnvu收收斂斂, ,其其和和為為 s. .結(jié)論結(jié)論: : 級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù)級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù), ,斂散性不變斂散性不變. .結(jié)論結(jié)論: : 收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減. .例例 5 5 求求級級數(shù)數(shù) 121)1(5nnnn的的和和. . 解解 121)1(5nnnn 1)1(5nnn 121nn 111115)1(5nnnnnn nkn

8、kkg11115令令),111(5 n, 5)111(lim5lim ngnnn,211是等比級數(shù)是等比級數(shù) nn，首項是首項是公比公比21, 121 qnnnnh lim211. 61521)1(51 nnnn故故, 121121 性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級級數(shù)數(shù) 1nnu收收斂斂, ,則則 1knnu也也收收斂斂)1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. .證明證明 nkkkuuu21nkkknuuu 21,kknss knknnnnss limlimlim 則則.kss 類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不類似地可以證明在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性影響級數(shù)的斂散性.性性質(zhì)質(zhì) 4 4

9、收收斂斂級級數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所成成的的級級數(shù)數(shù)仍仍然然收收斂斂于于原原來來的的和和. .證明證明 )()(54321uuuuu,21s .limlimssnnmm 則則,52s ,93s ,nms 注意注意收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂收斂級數(shù)去括弧后所成的級數(shù)不一定收斂. )11()11(例例如如 1111推論推論 如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散如果加括弧后所成的級數(shù)發(fā)散, ,則原來級則原來級數(shù)也發(fā)散數(shù)也發(fā)散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散四、收斂的必要條件四、收斂的必要條件級級數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim nnu證明證明 1nnus,1 nnnssu則則1limlimlim nnnnnnss

10、uss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項項無無限限增增大大時時當(dāng)當(dāng),nun級數(shù)收斂的必要條件級數(shù)收斂的必要條件: :注意注意1.1.如果級數(shù)的一般項不趨于零如果級數(shù)的一般項不趨于零, ,則級數(shù)發(fā)散則級數(shù)發(fā)散; ; 1)1(4332211nnn例例如如 發(fā)散發(fā)散2.2.必要條件不充分必要條件不充分. .?, 0lim但級數(shù)是否收斂但級數(shù)是否收斂有有 nnu n131211例例如如調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)討論討論nnnssnn2121112 ,212 nn.,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級級數(shù)數(shù)收收斂斂)lim(2nnnss 于于是是ss , 0 .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散)(210 n便便有有.這這

11、是是不不可可能能的的 )21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8項4項2項2項 項m221每每項項均均大大于于21)1(1 mm項大于項大于即前即前.級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散由性質(zhì)由性質(zhì)4 4推論推論, ,調(diào)和級數(shù)發(fā)散調(diào)和級數(shù)發(fā)散. .五、小結(jié)五、小結(jié)1 1. .由由定定義義, ,若若ssn, ,則則級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;2 2. .當(dāng)當(dāng)0lim nnu, ,則則級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ;3 3. .按按基基本本性性質(zhì)質(zhì). .常數(shù)項級數(shù)的基本概念常數(shù)項級數(shù)的基本概念基本審斂法基本審斂法思考題思考題 設(shè)設(shè) 1nnb與與 1nnc都都收收斂斂，且且nnncab

12、 ), 2 , 1( n，能能否否推推出出 1nna收收斂斂？思考題解答思考題解答能能由柯西審斂原理即知由柯西審斂原理即知一一、 填填空空題題: :1 1、 若若nnan242)12(31 , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；2 2、 若若nnnna! , ,則則 51nna= =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；3 3、 若若級級數(shù)數(shù)為為 642422xxxx則則 na_ _ _ _ _ _ _ _；4 4、 若若級級數(shù)數(shù)為為 97535432aaaa則則 na_ _ _ _ _ _ _ _

13、 _；5 5、 若若級級數(shù)數(shù)為為 615413211 則則當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _時時 na_ _ _ _ _ _；當(dāng)當(dāng) n_ _ _ _ _ _ _時時 na_ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 等等比比級級數(shù)數(shù) 0nnaq, ,當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _ _時時收收斂斂；當(dāng)當(dāng)_ _ _ _ _時時發(fā)發(fā)散散 . .練習(xí)題練習(xí)題三、由定義判別級數(shù)三、由定義判別級數(shù) )12)(12(1751531311nn的收斂性的收斂性. .四、判別下列級數(shù)的收斂性四、判別下列級數(shù)的收斂性: :1 1、 n31916131；2 2、 )3121()3121()3121()3121(3322nn；3

14、3、 nn101212014110121 . .五、利用柯西收斂原理判別級數(shù)五、利用柯西收斂原理判別級數(shù) 61514131211的斂散性的斂散性 . .練習(xí)題答案練習(xí)題答案一、一、1 1、1086429753186427531642531422121 ； 2 2、543215! 54! 43! 32! 21! 1 ； 3 3、)2(6422nxn ； 4 4、12)1(11 nann； 5 5、kkkk21,2 , 12 . 12 ； 6 6、1, 1 qq. .三、收斂三、收斂. . 四、四、1 1、發(fā)散；、發(fā)散； 2 2、收斂；、收斂； 3 3、發(fā)散、發(fā)散、 nkknks12)10121(

15、 . .五、發(fā)散五、發(fā)散. . 取取np2 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為為周周長長為為依次類推依次類推;43, 311 AP面積為面積為周長為周長為設(shè)三角形設(shè)三角形觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程第一次分叉：第一次分叉：;913,3411212AAAPP 面面積積為