材料力學第8章 應力狀態(tài)

1、2022-4-261材料力學材料力學2022-4-262材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-263FFNFA應力計算公式：應力計算公式：強度條件：強度條件： maxFA其中，許用應力：其中，許用應力： un實驗測得材料相應的極限應力實驗測得材料相應的極限應力安全因數（安全系數）安全因數（安全系數）材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-264應力計算公式：應力計算公式：強度條件：強度條件：其中，許用應力：其中，許用應力： bn單向拉伸實驗單向拉伸實驗測得材料的極限應力測得材料的極限應力安全因數（安全系數）安全因數（安全系數）MMMzMyI

2、 max2zhMI材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-265TTTpTI應力計算公式：應力計算公式：強度條件：強度條件： maxPTRI其中，許用切應力：其中，許用切應力： un剪切實驗剪切實驗測得材料的極限應力測得材料的極限應力安全因數（安全系數）安全因數（安全系數）材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-266可見，對于材料的拉伸、壓縮、彎曲和扭轉問題可見，對于材料的拉伸、壓縮、彎曲和扭轉問題其共同特點是其共同特點是：一是材料的危險截面危險點只承受正應力一是材料的危險截面危險點只承受正應力或切應力或切應力二是需要實驗直接確定失效時的極

3、限應力，并依此建立強度準則二是需要實驗直接確定失效時的極限應力，并依此建立強度準則但是，對于工程上的復雜結構但是，對于工程上的復雜結構危險點同時受正應力危險點同時受正應力和切應力作用和切應力作用，很難用實驗確定極限應力，很難用實驗確定極限應力如何分析材料危險受力情況以及極限荷載？如何分析材料危險受力情況以及極限荷載？應力狀態(tài)應力狀態(tài)材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2671. 應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念2. 平面應力狀態(tài)應力分析平面應力狀態(tài)應力分析3. 應力圓應力圓4. 主應力與主平面主應力與主平面5. 空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念6. 應力應

4、變關系應力應變關系7. 空間應力狀態(tài)下的應變能密度空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-268應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-269應力狀態(tài)的概念應力狀態(tài)的概念過一點、在不同方向面過一點、在不同方向面上應力的集合，稱之為這一點的上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)應力狀態(tài)（State of the Stresses of a Given Point）。應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分

5、析2022-4-2610應力的點的概念應力的點的概念 同一截面上不同點的應力各不相同同一截面上不同點的應力各不相同橫截面橫截面上切應力分布上切應力分布橫截面橫截面上正應力上正應力分布分布Mz應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2611應力的面的概念應力的面的概念同一點處不同同一點處不同方向面上的應力各不相同方向面上的應力各不相同受力之前受力之前, ,桿件表面同一點處取一正方形桿件表面同一點處取一正方形受拉后，正方形變成了受拉后，正方形變成了矩形，直角沒有改變。矩形，直角沒有改變。應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料

6、力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析受拉后，正方形變受拉后，正方形變成菱形。成菱形。2022-4-2612低碳鋼拉伸實驗低碳鋼拉伸實驗鑄鐵拉伸實驗鑄鐵拉伸實驗韌性材料拉伸時為什么會出現滑移線？韌性材料拉伸時為什么會出現滑移線？應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2613應力的面的概念應力的面的概念過同一點不同方向面上的應力各不相同過同一點不同方向面上的應力各不相同x斜截面上存在正應力和切應力橫截面上只有正應力應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2614應力狀態(tài)的

7、基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2615為什么脆性材料扭轉時沿為什么脆性材料扭轉時沿4545螺旋面斷開？螺旋面斷開？低碳鋼扭轉實驗低碳鋼扭轉實驗鑄鐵扭轉實驗鑄鐵扭轉實驗應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2616同同一點不同方向面上的應力也是各不一點不同方向面上的應力也是各不相同，相同，此此即即應力的面的概念。應力的面的概念。指明 哪一點？哪個方向面？應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2617不僅橫截面

8、上存在應力，斜截面上也存在應力。不僅橫截面上存在應力，斜截面上也存在應力。不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜不僅要研究橫截面上的應力，而且也要研究斜截面上的應力截面上的應力應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2618微元及其各面上微元及其各面上一點應一點應力狀態(tài)力狀態(tài)的的描述描述應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2619三向（空間）三向（空間）應力狀態(tài)應力狀態(tài)( Three-Dimensional State of Stresses )yxz x y z

9、xy yx yz zy zx xz應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2620平面（二向）應力狀態(tài)平面（二向）應力狀態(tài)yxz x y z xy yx yz zy zx xz應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析yyzzzyyzyyzzzyyz2022-4-2621xyxxy( One Dimensional State of Stresses )( Shearing State of Stresses )應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析

10、應力狀態(tài)分析( Plane State of Stresses )2022-4-2622三向應力狀態(tài)三向應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)平面應力狀態(tài)應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2623F例：畫出圖示例：畫出圖示矩形截面梁在紅線截出橫截面矩形截面梁在紅線截出橫截面內不同點的應內不同點的應力狀態(tài)力狀態(tài)QMyz1123455432應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析A2022-4-2624T例例2：畫出圖示螺旋槳軸桿表面一點的應力狀態(tài)：畫出圖示螺旋槳軸桿表面一點的應力狀態(tài)1. 1. 螺旋

11、槳帶動軸桿向前，產生拉力螺旋槳帶動軸桿向前，產生拉力FF2. 2. 軸桿帶動螺旋槳旋轉，有扭轉作用軸桿帶動螺旋槳旋轉，有扭轉作用T應力狀態(tài)的基本概念應力狀態(tài)的基本概念材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2625材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2626xxyyyx平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析的目的：平面應力狀態(tài)分析的目的：分析過一點任意角度方向面上的應力分布分析過一點任意角度方向面上的應力分布分析方法：分析方法：將所求方向的斜截面與微元所形成三角形微元取將所求方

12、向的斜截面與微元所形成三角形微元取出，通過平衡方程求解出，通過平衡方程求解yx xyyx2022-4-2627平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2628平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2629yxxy切應力切應力： 引入正負號之后引入正負號之后xyyx 平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2630方向角方向角由 x 軸指向逆時針方向為正；反之為負。yxxy平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學

13、第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析dA2022-4-2631y yx 0 xF 0yF 平衡對象平衡對象x xy平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2632 0 xFxyy yxdAx dA(d sin)sinyA(d cos)sinxyA0(d cos)cosxA(d sin)cosyxA平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2633 0yFxyy yxdAx 課堂思考：根據課堂思考：根據 y y 方向的方向的平衡條件寫出平衡條件寫出 的表達式的表達式平面應力狀態(tài)分析平面

14、應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2634xyxxyyxxydA根據根據 和和 方向上的平衡條件：方向上的平衡條件：xy0 xF0yF由三角倍角公式，可得到任意方向面上由三角倍角公式，可得到任意方向面上的正應力的正應力和切應力：和切應力：cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-263550701003070例題例題1：圖示微元，表面正應力圖示微元，表面正應力與切應力已知與切應力已知。求法向與。求法向與x軸正向成軸正向成30的斜面上所受正

15、應力的斜面上所受正應力與切應力。與切應力。所示應力單位為所示應力單位為MPa。解：解：50, 100, 70, 30 xyxy 30cos2sin222xyxyxy30sin2cos22xyxy50 10050 100cos60( 70)sin602273.1()MPa 50 100sin6070cos60230()MPa平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2636平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析例題例題2：兩端密封圓柱形壓力容器，圓筒部分由壁厚為兩端密封圓柱形壓力容器，圓筒部分由

16、壁厚為，寬度為，寬度為b的塑條壓成螺旋狀并熔接而成。圓筒內徑的塑條壓成螺旋狀并熔接而成。圓筒內徑 ，容器承受，容器承受內壓強內壓強p，若熔接部分承受的拉應力不得超過塑條中最大拉，若熔接部分承受的拉應力不得超過塑條中最大拉應力的應力的80%80%，試求塑條許可寬度，試求塑條許可寬度b。D2022-4-2637平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2638平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析lp1 2 1 = ?2 = ?222D24Dp224DDp24pD0 xF 2022-4-2639平

17、面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析p12pDll12pD0yF 11 1 (2 l )ppDll1 2 2022-4-2640平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析24pD12pD2022-4-2641平面應力狀態(tài)分析平面應力狀態(tài)分析材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析Db24pD12pD22()sin; cosDbbDD由幾何關系由幾何關系代入代入 表達式，并考慮表達式，并考慮10.8得：得：2.43bD若熔接部分承受的拉應力不得超過塑條中最大拉應力的若熔接部分承受的拉應力不得超過塑

18、條中最大拉應力的80%，試求塑條許可寬度試求塑條許可寬度b2022-4-2642材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2643材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2644cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy由微元任意方向面上的正應力由微元任意方向面上的正應力和切應力公式和切應力公式cos2sin222xyxyxysin2cos22xyxy兩方程等號左右兩邊同時平方后相加：兩方程等號左右兩邊同時平方后相加：222221()422xyxyxy材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓x

19、xyyyx2022-4-2645應力圓方程：應力圓方程：222221()422xyxyxy該方程描述了以該方程描述了以 為橫軸，為橫軸， 為縱軸的坐標系。這種圓稱為為縱軸的坐標系。這種圓稱為應力圓（應力圓（stress circle）或莫爾圓（）或莫爾圓（Mohr circle）。應力圓的）。應力圓的圓心位于橫軸，圓心位于橫軸，圓心坐標為：圓心坐標為： 圓半徑為：圓半徑為：(,0)2xy221()42xyxyO2xyR221()42xyxyR材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓xxyyyx, xxy, , yyx2022-4-2646Oa( x , xy) y yx

20、B y yxBb( y , yx) xyA y yxBxx xyAx xyA y yxB y yxB材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓c(,0)2xy2022-4-2647材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2648yyxxyxAA(,)材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2649yyxxyxADnxAD2材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2650材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2651Oca

21、( x , xy) y yxB y yxBb( y , yx) xyA y yxBxx xyAx xyA y yxB y yxB材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2652材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓課堂練習課堂練習畫出下圖應力狀態(tài)的應力圓：畫出下圖應力狀態(tài)的應力圓：140MPa80MPa(-140,-80)(0,80)(-70,0)2022-4-2653已知某點兩截面應力已知某點兩截面應力(MPa)(MPa)，試畫出該點應力圓，并求出，試畫出該點應力圓，并求出圖中兩截面夾角。圖中兩截面夾角。40103020AB材料

22、力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2654材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2655 x x o245245BEADadcbeE EB B4545拉中有剪的例子：拉中有剪的例子：材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2656c o245245adbe x xEBEB x x材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2657EB x x 軸向拉伸時，軸向拉伸時，45方向方向面上面上既既有正應力又有正應力又有有切應力切應力，正應力不正應力不

23、是最大值是最大值，切應力切應力卻卻最大。最大。材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2658o 245245 y x BEDA A d(0,- )Ca (0, )eb剪中有拉的例子：剪中有拉的例子：材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2659 y x BEDA A y x BE材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2660 在純切應力狀態(tài)下，在純切應力狀態(tài)下，4545方向面上方向面上只有只有正應力沒有剪正應力沒有剪應力，而且正應力為最大值。應力，而且正應力為最大值。DA A

24、 y x BE材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2661例題例題3：圖示圓桿分別采用低碳鋼（圖示圓桿分別采用低碳鋼（a）和鑄鐵（）和鑄鐵（b）進行扭轉實驗，）進行扭轉實驗，低碳鋼斷裂面垂直于軸線，鑄鐵的斷裂面與軸線成低碳鋼斷裂面垂直于軸線，鑄鐵的斷裂面與軸線成45角。角。試采用應力圓分析該兩種材料不同的斷裂特性。試采用應力圓分析該兩種材料不同的斷裂特性。（a）低碳鋼低碳鋼（b）鑄鐵鑄鐵材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓2022-4-2662解：解：圓桿扭轉，微元為平面應力狀態(tài)。取圓桿表面微元，可知該圓桿扭轉，微元為平面應

25、力狀態(tài)。取圓桿表面微元，可知該微元的應力狀態(tài)為純剪。微元的應力狀態(tài)為純剪。材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓x y xOAABBCmaxC2022-4-2663最大切應力的最大切應力的方向角方向角s0與低碳鋼的斷裂面一致，與低碳鋼的斷裂面一致， 所以所以低碳鋼是剪力引起破壞低碳鋼是剪力引起破壞。與鑄鐵的斷裂面一致，所以與鑄鐵的斷裂面一致，所以 鑄鐵這種脆性破壞是拉應力引起鑄鐵這種脆性破壞是拉應力引起。最大拉應力的方向角最大拉應力的方向角0 045材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓ABCx y xOABCmax2022-4-2664思考

26、思考：1. 正應力最大時的方向角正應力最大時的方向角與切應力最大與切應力最大時的方向角時的方向角 有什么關系？有什么關系？2. 正應力最大的平面正應力最大的平面上切應力是否上切應力是否一定為零？一定為零？3. 切應力最大切應力最大的平面上正應力是否一定為零？的平面上正應力是否一定為零？5. 平面內平面內最大切應力是否最大切應力是否是過一點所有方向面是過一點所有方向面中切中切應力的應力的最大值？最大值？ 4. 平面內最大正應力與平面內最大正應力與最大切應力之間最大切應力之間有何關系？有何關系？材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析應力圓應力圓Ox y x2xyR2022-4-266

27、5材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2666材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面問題：問題：1. 1. 過一點所有方向面上的最大正應力、最過一點所有方向面上的最大正應力、最大切應力是多少？大切應力是多少？2. 2. 最大正應力所在平面？最大正應力所在平面？2022-4-2667材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面,xxy,yxyxxyy2max2min1422xyxyxy22max142xyxy極值正應力極值正應力最大切應力最大切應力最大正應力最大正應力所在平面所在平面021

28、arctan2xyxy xy2xy020minmaxmax2022-4-2668材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面,xxyxxyy主平面主平面: :主方向：主方向：主應力：主應力：xy2xy020minmaxmaxmaxmin定義定義切應力為零的平面切應力為零的平面 （極值正應力所在平面）（極值正應力所在平面）主平面外法線方向主平面外法線方向主平面上的正應力主平面上的正應力 （極值正應力）（極值正應力）2022-4-2669材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面相鄰主平面一定兩兩相互垂直，由三對互相鄰主平面

29、一定兩兩相互垂直，由三對互垂主平面所構成的微體成為垂主平面所構成的微體成為主平面微體主平面微體主應力：主應力： 3 3個個 （平面內（平面內2 2個平面外個平面外1 1個）個）xxyy0問：空間內一點有幾個主應力、主平面、主方向？問：空間內一點有幾個主應力、主平面、主方向？主平面和主方向：主平面和主方向： 3 3對對 問：主平面之間的相互關系？問：主平面之間的相互關系？平面應力狀態(tài)是主應力平面應力狀態(tài)是主應力 的特殊情況的特殊情況主應力排序主應力排序 01232022-4-26700 002tan2xyxy 由主方向方向角公式：由主方向方向角公式：00222221()4221()4220 xy

30、xyxyxyxyxy cos2sin222xyxyxxy解析法求平面應力狀態(tài)下的三個主應力解析法求平面應力狀態(tài)下的三個主應力材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-267122221()4221()4220 xyxyxyxyxyxy 將以上三個主應力將以上三個主應力 按照按照代數值代數值由大到小排列，并由大到小排列，并分別用分別用 表示表示, 123, 123則有：則有：材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2672FFFFFF123,FA 0, 0123, 0FA123, 0, FF

31、AA ,FA 0 ,FA 材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2673材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同 224212xyyxyx 224212xyyxyx 0 2 p xy xocbead 1232022-4-2674主應力排序主應力排序 xy xoadcbe 1203材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的

32、排序略有不同應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同2022-4-2675 xy xoadcbe 1023材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同應力圓處于坐標軸不同位置時，三個主應力的排序略有不同主應力排序主應力排序2022-4-2676yyxxyxxyyxxy材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2677材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2678例 題 4應力狀態(tài)如圖所示。

33、應力狀態(tài)如圖所示。1.確定主應力確定主應力 1寫出主應力寫出主應力 1、 2、 3的表達式；的表達式； 2若已知若已知 x63.7 MPa， xy=76.4 MPa，當坐標軸，當坐標軸x、y反時針方向反時針方向 旋轉旋轉 =120 后至后至x、y ，求，求: x、xy 。應用平面應力狀態(tài)主應力公式應用平面應力狀態(tài)主應力公式 221422xyxyxy 221422xyxyxy 材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-26791.確定主應力確定主應力應用平面應力狀態(tài)主應力公式應用平面應力狀態(tài)主應力公式 因為因為 y0，所以有，所以有042122

34、2xyxx0421222 xyxx又因為是平面應力狀態(tài)，故有又因為是平面應力狀態(tài)，故有0 221422xyxyxy 221422xyxyxy 材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2680于是，根據于是，根據 1 2 3的排列順序，得的排列順序，得 2232221421204212xyxxxyxx0421222xyxx0421222 xyxx0 材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-26812.計算方向面法線旋轉后的應力分量計算方向面法線旋轉后的應力分量 將已知數據將已知數據 x63

35、.7 MPa， y0， xy yx=76.4 MPa， =120 等代入任等代入任意方向面意方向面上應力分量的表達式上應力分量的表達式 ，求得：，求得：66663 7010 cos 2 1202 76 4 10 sin 2 120282.1 10 Pa82.1MPax .66637 010sin 2 120764 10 cos 2 1202xy .MPa865Pa108656.材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2682pFpFeMeM30DxxD例題例題5： 如圖，薄壁圓管受扭轉和拉伸同時作用。圓管平均直徑如圖，薄壁圓管受扭轉和拉伸同

36、時作用。圓管平均直徑D50mm，壁厚，壁厚2mm。外加力偶矩。外加力偶矩Me600Nm，軸向載荷，軸向載荷22pDWFp20kN。薄壁管截面的扭轉截面模量可近似取為。薄壁管截面的扭轉截面模量可近似取為 。1. 求圓管表面上過求圓管表面上過D點與母線夾角為點與母線夾角為30的斜截面上的應力。的斜截面上的應力。2. 求求D點的主應力與點的主應力與最大切應力。最大切應力。30120120120材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2683解：解：1. 取微元，利用拉伸和圓軸扭轉公式計算微元各面上的應力：取微元，利用拉伸和圓軸扭轉公式計算微元各面

37、上的應力：3220 1063.7/63.7502ppFFNN mmMPaADmmmm2. 求斜截面上的應力，首先：求斜截面上的應力，首先：xDx3012012012063.7, 0, 76.4, 120 xyxyMPaMPa 120cos2sin222xyxyxy120sin2cos22xyxy則則232322 60076.4(50 10)(2 10)eepMMN mMPaWDmm50.3MPa 10.7MPa材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2684解：解：3. 確定主應力與確定主應力與最大切應力：最大切應力：根據最大主應力計算公式

38、根據最大主應力計算公式221()4 22xyxyxy 114.6, 50.9MPaMPa求得面內主應力求得面內主應力0 另因為平面應力狀態(tài)，有另因為平面應力狀態(tài)，有按照代數值大小排序，按照代數值大小排序，D點的三個主應力為：點的三個主應力為：123114.6, 0, 50.9MPaMPa D點的點的最大切應力為最大切應力為：13max114.6( 50.9)82.7522MPa 材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析主應力與主平面主應力與主平面2022-4-2685材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2686材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應

39、力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念Ox y x2xy22max1()42xyxyR22max1()422xyxy x y z xy yx yz zy zx xz2022-4-2687材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念 x yz xy yx yz zy zx xz2022-4-2688材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念 xy xI 2 3第第I I組組方向面內的方向面內的最大切應力最大切應力232所在平面內的應力不受所在平面內的應力不受 的影響的影響23, 12022-4-26

40、89材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念第第IIII組組方向面內的方向面內的最大切應力最大切應力132所在平面內的應力不受所在平面內的應力不受 的影響的影響13, 2III 2 3 xy xO 12022-4-2690材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念第第IIIIII組組方向面內的方向面內的最大切應力最大切應力122所在平面內的應力不受所在平面內的應力不受 的影響的影響12, 3III xy xO 3III 2 12022-4-2691對任意一個應力狀態(tài)，均可以找到一個特殊的方向角，使得微

41、對任意一個應力狀態(tài)，均可以找到一個特殊的方向角，使得微元上僅有三個主應力元上僅有三個主應力 作用。作用。123(,) 123231312232 132 122 12313max =2最大切應力材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-2692 1III 3III 2O xy x微元微元任意方向面上的應力任意方向面上的應力對應著對應著三向應力圓陰影區(qū)三向應力圓陰影區(qū)域某域某一點的坐標。一點的坐標。max1min313max2最大正應力：最大正應力：最大切應力：最大切應力：最小正應力：最小正應力：三向應力狀態(tài)下：三向應力狀態(tài)下：材料力學第

42、材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念三向三向應力圓應力圓2022-4-2693三向應力狀態(tài)如圖所三向應力狀態(tài)如圖所示，圖中應力的單位為示，圖中應力的單位為MPa。例例 題題 6主應力及微元內的主應力及微元內的最最大切應力。大切應力。材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-2694故微元上平行于故微元上平行于 的方向面上的應力值與的方向面上的應力值與 無關。因此，無關。因此，當確定這一組方向面上的應力，以及這一組方向面中的主當確定這一組方向面上的應力，以及這一組方向面中的主應力應力 和和 時，

43、可以將所給的應力狀態(tài)視為平面應力狀態(tài)。時，可以將所給的應力狀態(tài)視為平面應力狀態(tài)。 所給的應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即所給的應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即60MPa材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-2695這與平面應力狀態(tài)相類似。于是，平面應力狀態(tài)下這與平面應力狀態(tài)相類似。于是，平面應力狀態(tài)下主應主應力力 和和 公式可直接應用公式可直接應用 0421222xyxx0421222 xyxx所給的應力狀態(tài)中有一個主應所給的應力狀態(tài)中有一個主應力是已知的，即力是已知的，即60MPa材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力

44、狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-2696 本例中本例中 x x=20 Mpa， xyxy=40 MPa。據此，求得。據此，求得 622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22622662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa0421222xyxx0421222 xyxx材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-2697根據根據 1 2 3的排列順序，可以寫出的排列順序，可以寫出 MPa2351MPa2331MPa60321.微元內的微元內的最大切應力最大切應力

45、 55.6MPaMPa1055.6Pa21023511060266631max.622662010120 10440 10Pa=31.23MPa22622662010120 10440 10Pa51.23MPa22 60MPa材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-2698 例例 題題 7 yx xo max20030050(MPa)平面應力狀態(tài)的主應力平面應力狀態(tài)的主應力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切應最大切應 力力 max。材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022

46、-4-2699 xO x y 2005030050(MPa) max平面應力狀態(tài)的主應力平面應力狀態(tài)的主應力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切應力最大切應力 max。材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-26100 O x x y 300100(MPa) max例例 題題 9平面應力狀態(tài)的主應力平面應力狀態(tài)的主應力 1 1、 2 2 、 3 3和和最大切應力最大切應力 max。ab材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析空間應力狀態(tài)的概念空間應力狀態(tài)的概念2022-4-26101材料力學第材料力學第8章章 應力狀

47、態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2610211xxxExyxE 泊松比泊松比各向同性材料的應力應變關系各向同性材料的應力應變關系材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2610323111231E 22311E 33121E 12E3E11E各向同性材料的應力應變關系各向同性材料的應力應變關系材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-261041xxyE1yyxEzxyE xyxyGxy y x 對于平面應力狀態(tài)，廣義胡克定律為對于平面應力狀態(tài)，廣義胡克定律為各向同性材料的應力應變關系各向同性材料的應力應變關系材料力學第材料力學第8章章 應力狀

48、態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-26105證明：對于各向同性材料，三個彈性常數滿足以下關系各向同性材料的應力應變關系各向同性材料的應力應變關系材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析例 題 2 1EG2022-4-26106各向同性材料的應力應變關系各向同性材料的應力應變關系材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析解：解：構造一個剪中有拉的應力狀態(tài)O0 , 0 , /xyxyG4522xyG45135 , 45451351()1()1EEE2 1EG2022-4-26107如圖，邊長為a的鋼塊嵌在理想剛性的槽內，并受集中力F 作用。已知鋼塊彈性模量E，泊松比，求鋼塊的主

49、應力，主應變。各向同性材料的應力應變關系各向同性材料的應力應變關系材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析例題 Faaaaxyz10 xxyzE 0z/yFA 其中xyzFA 211yyzxFEEA 11zzxyFEEA 2022-4-26108一大小未知的矩形平板雙向受拉，拉應力已知，平板彈性模量E，受力前在平板內畫有一個半徑為a的圓。問：受力后該圓的面積為多少？各向同性材料的應力應變關系各向同性材料的應力應變關系材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析例題 xy2022-4-26109材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-26110空間應力狀態(tài)下的應變能密度空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-2611111d d dy zx22d d dx zy33d d dy xz2 1 3 空間應力狀態(tài)下的應變能密度空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力狀態(tài)分析2022-4-261121 122331d d d2x y z dW =1122331d dd21d dd21d dd2y zxx zyx yz=dV 空間應力狀態(tài)下的應變能密度空間應力狀態(tài)下的應變能密度材料力學第材料力學第8章章 應力狀態(tài)分析應力