閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

1、2 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)實數(shù)完備性理論的一個重要作用就是證一、最大、最小值定理經(jīng)在第四章給出過. 明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì)曾 三、一致連續(xù)性定理二、介值性定理首先來看一個常用的定理首先來看一個常用的定理.有界性定理有界性定理 若若 f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) , .a b在在上上有有界界證證 用兩種方法給出證明用兩種方法給出證明.第一種方法第一種方法 使用有限覆蓋定理使用有限覆蓋定理. 因為因為 f (x) 在在 a, b一、最大、最小值定理局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì)局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì).上每一點連續(xù)上每一點連續(xù), 從而局

2、部有界從而局部有界. 我們的任務(wù)就是將我們的任務(wù)就是將 , ,0,0,ttta bM 對于任意的存在以及對于任意的存在以及(,) , ,ttxtta b 當時當時 |( )|.tf xM H 覆蓋了閉區(qū)間覆蓋了閉區(qū)間a, b. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 在在 H 中中存存1111(,), (,)nnttntnttttt , ,1,xa biin于任意存在使于任意存在使 (,)| , ,ttttta bH設(shè)開區(qū)間集設(shè)開區(qū)間集顯然顯然12 , .max,nttta bMMMM 覆蓋了令覆蓋了令則對則對在有限個開區(qū)間在有限個開區(qū)間第二種證法第二種證法 采用致密性定理采用致密性定理.因為因為xn

3、 有界有界, 從而存在一個收斂的子列從而存在一個收斂的子列. 為了書為了書寫寫方便方便, 不妨假設(shè)不妨假設(shè) xn 自身收斂自身收斂, 令令0lim.nnxx (,),|( )|.iiiitittxttf xMM因此因此設(shè)設(shè) f (x) 在在a, b上無界上無界, 不妨設(shè)不妨設(shè) f (x)無上界無上界. 則存在則存在 lim().nnf x , ,nxa b 使使00,.( ),naxbaxbf xx因則又因在連續(xù)因則又因在連續(xù)故由歸結(jié)原理可得故由歸結(jié)原理可得 00lim()lim( )(),nnxxf xf xf x 矛盾矛盾.最大、最小值定理最大、最小值定理(定理定理4.6) 若函數(shù)若函數(shù)

4、f (x) 在在a, b 證證 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 因而有界因而有界. 由確界定理由確界定理, f (x) 在在 a, b 上的值域有上確界上的值域有上確界. 設(shè)設(shè)上連上連續(xù)續(xù), 則則 f (x) 在在 a, b 上取最大、最小值上取最大、最小值. , sup( ).xa bMf x :( , ).,Mfa b 要證若不然 則對于任意要證若不然 則對于任意 , ,xa b 1( )( )F xMf x ( )f xM ， 于于是是在在a, b 上連續(xù)上連續(xù), 從而有界從而有界, 故存在故存在 G 0, 使使 10( ).( )F xGMf x 這樣就有這樣就有 1( )

5、, , .f xMxa bG這與這與 M 是是 f (x) 在在 a, b 上的上確界矛盾上的上確界矛盾.這就證明了上確界這就證明了上確界 M 與下確界與下確界 m 都是都是可取到的可取到的, 同理可證同理可證:下確界下確界 , inf( )xa bmf x 也屬于也屬于 f (a, b).最小值最小值. 這也就是說這也就是說, M 與與 m 是是 f (x) 在在a, b上的最大、上的最大、(定理定理4.7) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)上連續(xù), 且且 ,( , ),a b 實實數(shù)數(shù) 則則存存在在使使證證 在第四章中在第四章中, 我們已經(jīng)用確界定理證明此定理我們

6、已經(jīng)用確界定理證明此定理.現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明.( )( ),( ) , ,F xf xF xa b 設(shè)則在上連續(xù) 并且設(shè)則在上連續(xù) 并且二、介值性定理f ( ). ( )( )f af b 若是介于與之間的一個若是介于與之間的一個f (a) f (b).將將 a, b 等分成兩個區(qū)間等分成兩個區(qū)間 a, c, c, b, 若若 F(c)=0, . 0)()( bFaF下去下去, 得到一列閉子區(qū)間得到一列閉子區(qū)間 個區(qū)間的端點上的值異號個區(qū)間的端點上的值異號. 將這個過程無限進行將這個過程無限進行F(c1) = 0, 已證已證. 不然同樣可知函數(shù)不然同樣可知函數(shù) F(x

7、) 在其中一在其中一將將 a1 , b1 等分成兩個區(qū)間等分成兩個區(qū)間 a1, c1, c1 , b1, 若若 間端點上的值異號間端點上的值異號, 將這個區(qū)間記為將這個區(qū)間記為a1, b1. 再再 已已證證. 不然不然, 函數(shù)函數(shù) F(x)在這兩個區(qū)間中有一個區(qū)在這兩個區(qū)間中有一個區(qū) 11(i) ,1, 2,;nnnnababn(ii)0 ,;2nnnbaban (iii)()()0.nnF aF b 由區(qū)間套定理由區(qū)間套定理, 存在惟一的存在惟一的,1, 2,nnabn limlim.( )nnnnabF x并且因為在點連續(xù),并且因為在點連續(xù),20lim()()( ) ,nnnF aF bF

8、 所以所以( )0.:F 即這也就是說即這也就是說.)( f an , bn , 滿足滿足:(定理定理4.9) 若函數(shù)若函數(shù) f (x) 在在 a ,b上連續(xù)上連續(xù), 則則 f (x) 在在 證證 (證法一證法一) 首先用致密性定理來證明該定理首先用致密性定理來證明該定理. 在在 設(shè)設(shè) f (x) 在在 a, b 上不一致連續(xù)上不一致連續(xù), 即存在即存在對于對于, 00 0 (), , ,xxa b一切無論多么小 總是存在一切無論多么小 總是存在三、一致連續(xù)性定理a, b 上一致連續(xù)上一致連續(xù). 究究. 下述證明過程中下述證明過程中, 選子列的方法值得大家仔細探選子列的方法值得大家仔細探 |,

9、xx 雖然但雖然但0|()()|.f xf x 現(xiàn)分別取現(xiàn)分別取11 1111, , ,|1,xxa bxx 110|()()|;f xf x 222211, , ,|,22xxa bxx 220|()()|;f xf x 11, , ,|,nnnnnxxa bxxnn 0|()()|;nnf xf x , , ,nnxxa b 由此得到兩列雖然由此得到兩列雖然1|0,nnxxn0|()()|.nnf xf x 因為因為 xn 有界有界, 從而由致密性定理從而由致密性定理, 存在存在 xn 的的kknnkxxx0.lim. 一個收斂子列設(shè)一個收斂子列設(shè).但是總有但是總有, bxakn因為因為所

10、以由極限的不等式性質(zhì)所以由極限的不等式性質(zhì).0bxa連續(xù)連續(xù), 所以由所以由歸結(jié)原理得到歸結(jié)原理得到0lim |()()|kknnkf xf x 矛盾矛盾.(證法二證法二) 再再用有限覆蓋定理來證明用有限覆蓋定理來證明.00| lim( )lim( )| 0,xxxxf xf x0limlim()lim,kkkknnnnkkkxxxxx因為因為以及以及 f0,0,( ;) , xxxU xa b 給存在當時有給存在當時有|()( )|.2f xf x 考慮開區(qū)間集考慮開區(qū)間集 ( ;)| ,2xHU xxab 那么那么 H 是是 a, b 的一個開覆蓋的一個開覆蓋. 由有限覆蓋定理由有限覆蓋定理, 因因 f (x) 在在 a, b 上連續(xù)上連續(xù), 對任意對任意一點一點 , ,xa b 任任存在有限個開區(qū)間存在有限個開區(qū)間 1min0,2iin 令令對于任何對于任何, , ,xxa b只只要要,| xx那么那么x 必屬于上述必屬于上述 n 個小區(qū)間中的個小區(qū)間中的 一個一個,.22iiiixxx