數(shù)分閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的證明

1、一 有界性定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),則 在 上有界.ff,ba,ba證明: ，性由連續(xù)函數(shù)的局部有界使得0),;(,xxMxUbax.,);()(baxUxMxfxx,);(baxxUHx考慮開區(qū)間集，baH由有限覆蓋定理的一個無限開覆蓋是顯然, 2 , 1,);(kibaxxUHHiii的一個有限子集存在(應(yīng)用有限覆蓋定理證明)., 2 , 1)(.,);(kiMxfbaxUxiii有ikiMM1max令.)();(,MMxfxUxbaxiii必屬于某則.,上有界在從而baf二 最大最小值定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),則 在 上有最大值和最小值.ff,ba,ba證明: 使得且存在正數(shù)

2、覆蓋了,21KMMM，ba(應(yīng)用確界原理證明)，bafbaf有上確界故由確界原理上有界在由于已證得),(,.,.M記為.)(,:Mfba使以下證明令都有假設(shè),)(,Mxfbax.,)(1)(baxxfMxg，gG，baxg，baxg的一個上界是設(shè)上有界在故上連續(xù)在則,)(,)(.,)(1)(0baxGxfMxg則.,1)(baxGMxf從而推得.)(),(相矛盾最小上界的上確界為這與bafM.,.)(,上有最大值在即使所以必bafMfba.,上有最小值在同理可證baf三 介值性定理 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若 為介于 和 之間任何實數(shù), 則存在 , 使得 . f)(0 xf,ba),(

3、0bax )()(bfaf)(af)(bf證明: (應(yīng)用區(qū)間套定理證明),)()(),()(xfxgbfaf令不妨設(shè)0)(, 0)(,bgag，bag且上的連續(xù)函數(shù)是則).(0)(),(00根的存在性定理使得即證xgbax;, 0)(,即為所求則若與等分為兩個子區(qū)間將ccg，bccaba，cabacgcg,0)(, 0)(11時記則當(dāng)若，bcbacg,0)(11 時記當(dāng)).(21, 0)(0)(111111abab，babab，gag且則有:,11得到重復(fù)上述過程出發(fā)再從，ba, 0)(,1111cgcba上有的中點或者在且上滿足或者在, 0)(, 0)(,2222bgagba:將出現(xiàn)兩種情形

4、去將上述過程不斷進(jìn)行下，).(21,2221122ababbaba;, 0)()(即為所求則上有在某一區(qū)間的中點iiiccgci, 0)()(nniibacgcii則得到閉區(qū)間列上均有在任一區(qū)間的中點且滿足, 0)(. 0)(nnbgag., 2 , 1,0nbax，由區(qū)間套定理. 0)(0 xg下證由局部保號性不妨設(shè)假設(shè), 0)(. 0)(00 xgxg, 0)(),;(00 xgxU使在其內(nèi)有),;(,0 xUban，nn充分大時有當(dāng)由區(qū)間套定理推論.0)(,矛盾選取時這與nnnagba. 0)(nag因而有. 0)(0 xg故必有., 2 , 1),(21,11nabab，babannn

5、nnnn四 一致連續(xù)性定理 若函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),則 在 上一致連續(xù).ff,ba,ba證明: (應(yīng)用有限覆蓋定理證明)上的連續(xù)性在由,baf時有當(dāng));(, 0, 0 xxxUxbax.)()(xfxf,)2,(baxxUHx考慮開區(qū)間集合由在限覆蓋定理的一個開覆蓋是顯然，baH, 2 , 1)2,(kixUHHii的一個有限子集存在. 02min.,1ikkba記覆蓋了，Hxxxbaxx中某個開區(qū)間必屬于 ,此時有即設(shè)，xxxUxiii2),2,(,222 iiiiiixxxxxx.2)()(2)()( iixfxf，xfxf同時有.)()( xfxf由此得.,上一致連續(xù)在所以baf二二.

6、 . 實實數(shù)數(shù)基基本本定定理理應(yīng)應(yīng)用用舉舉例例： 例例1 設(shè))(xf是閉區(qū)間 , ba上的遞增函數(shù), 但不必連續(xù) . 如果aaf)(, bbf)(, 則0 x , ba, 使00)(xxf. ( 山東大學(xué)研究生入學(xué)試題 ) 證法 一 ( 用確界技術(shù) ) 設(shè)集合 , )( | bxaxxfxF. 則Fa, F 不空 ; F , ba ,F 有界 . 由確界原理 ,F 有上確界. 設(shè) Fxsup0, 則 0 x , ba. 下證 00)(xxf. )(xf遞增和00)(xxf, 有)(0 xff)(0 xf, 可見)(0 xf F . 由Fxsup0, )(0 xf0 x. 于是 , 只能有00)(xxf. ） 若0 xF , 則存在F 內(nèi)的數(shù)列 nx, 使nx 0 x , ) (n; 也存在數(shù)列 nt, ,0btxn nt 0 x ,) (n. 由 f 遞增, Fxn以及ntF, 就有式 nnnnttfxfxfx)()()(0 對任何n 成立 . 令 n, 得 ,)(000 x