2223量子數(shù)及波函數(shù)課件

1、量子數(shù)的物理意義量子數(shù)的物理意義 2.2.1 主量子數(shù)主量子數(shù) n 的物理意義的物理意義 1,2,3n 主量子數(shù)：主量子數(shù)：2222408nZheEn22222411280nnnhZeE隨隨n增大，能量差降低；增大，能量差降低；1. 隨隨n增大，能量升高；增大，能量升高；單電子原子能級公式單電子原子能級公式解解R方程方程12TnV2ETVTTT 維里定理指出：對勢能服從對勢能服從rn 規(guī)律的體系，其平均動規(guī)律的體系，其平均動能能 與平均勢能與平均勢能的關系為的關系為 單電子體系是否存在零點能效應？單電子體系是否存在零點能效應？對H,勢能服從r-1規(guī)律：113.606eVE 13.606eVT也

2、即零點能。也即零點能。1n 2. 即同一個n的條件下， 可能取值的個數(shù)：120(21)12(1)12nlnglnnmln ,3. 主量子數(shù)主量子數(shù) n 的物理意義：的物理意義：a 決定單電子體系的能量決定單電子體系的能量120(21)nlgln(1)nl c 對應不同的殼層：對應不同的殼層：n=1, 2, 3, 4d 與徑向分布函數(shù)的節(jié)點數(shù)有關與徑向分布函數(shù)的節(jié)點數(shù)有關;b 決定單電子體系狀態(tài)的簡并度決定單電子體系狀態(tài)的簡并度 ;K L M N03100130( , , )ZrasZrea 2222212()rrrrrrr 422208em eEZh ,48-,02222,rErrZehrHm

3、lnmlnmln,428-100100022222rErrZerrrh 4. 的本征值求的本征值求EH?。喝。旱茫簄=1時， 2.2.2 角量子數(shù)角量子數(shù)l的物理意義的物理意義 解解, R方程方程0,1,2(1)ln222222sin1sinsin14hM1. 的本征值與的本征值與l2M ,2,2,2mllnmllnmlnYMrRYrRMrM 顯然，l 決定角動量的大小，l 稱為。221(sin)(1)sinsinddml ldd2220dmd 0,1,2(1)ln mmllnmllnmlnMrRYrRMrM,2,2,2,21hllM222222sin1sinsin14hM ,21,21,2,

4、2,2rhllYhllrRrMmlnmllnmln代入代入e2eMm e為，是磁矩的最小單位。2. 軌道磁矩軌道磁矩eeeellmehllhllmeMme1412122emeM2224-124-10274. 910274. 94mATJmehee 3. l 的物理意義的物理意義:a 決定體系軌道角動量與軌道磁矩的大小決定體系軌道角動量與軌道磁矩的大小;c c 對應不同亞層對應不同亞層 l=0=0，1 1，2 2，3 3 b 在多電子體系中，在多電子體系中，l 與能量有關；與能量有關；d 決定軌道的形狀，且與節(jié)點數(shù)有關；決定軌道的形狀，且與節(jié)點數(shù)有關； 徑向節(jié)面數(shù)為徑向節(jié)面數(shù)為 n-l-1 ；角

5、向節(jié)面數(shù)為；角向節(jié)面數(shù)為 l ;s p d f0, 1, 2ml m 決定角動量在決定角動量在Z軸方向（磁場方向）的分量軸方向（磁場方向）的分量, 稱為稱為1( )2imme 2.2.3 磁量子數(shù)磁量子數(shù)m 的物理意義的物理意義 zM1. 的本征值的本征值解解方程方程2ihMZ mmllnmmllnmlnZrRihrRihrM,22,2hmMz ,22,rhmimrRihrMmlnmmllnmlnZ實函數(shù)解不是實函數(shù)解不是 的本征函數(shù)，的本征函數(shù)，只有復函數(shù)才是只有復函數(shù)才是 的本征函數(shù)，但無論是的本征函數(shù)，但無論是實函數(shù)還是復函數(shù)均是實函數(shù)還是復函數(shù)均是 與與 算符的本算符的本征函數(shù)。征函數(shù)

6、。zM2MH2ihMZ 由于一個由于一個l之下，之下，m可取可取m=0,1,2,l，即，即有有(2 l+1)個不同個個不同個m，這意味著角動量大小一定時，這意味著角動量大小一定時，角動量在角動量在z方向（即磁場方向）的分量有方向（即磁場方向）的分量有(2 l+1)種種取值，這種情況稱為取值，這種情況稱為角動量分量的量子化。角動量分量的量子化。2. 角動量分量的量子化角動量分量的量子化2hmMz0, 1, 2ml l=1 ，M=21/2 l=2 ，M=61/2 Mz z 2 2 0 m=1 m=1 m=2 m=2 m=0 Mz z 0 m=1 m=1 m=0 示意圖示意圖3. 軌道磁矩在軌道磁矩

7、在Z軸的分量軸的分量eeezezmmehmhmmeMme4222軌道磁矩在磁場方向的分量也是量子化的。軌道磁矩在磁場方向的分量也是量子化的。 4 4. m 的物理意義：的物理意義： 決定軌道角動量在磁場方向的分量；決定軌道角動量在磁場方向的分量； 決定軌軌道磁矩在磁場方向的分量；決定軌軌道磁矩在磁場方向的分量； 決定軌道在空間的伸展方向；決定軌道在空間的伸展方向；用波函數(shù)描述的原子中電子的運動稱為軌道運動。用波函數(shù)描述的原子中電子的運動稱為軌道運動。電子的軌道運動由電子的軌道運動由3個量子數(shù)個量子數(shù)n,l,m決定。決定。但電子除軌道運動外還做自旋運動。但電子除軌道運動外還做自旋運動。 2.2.

8、4 自旋量子數(shù)自旋量子數(shù)S和自旋磁量子數(shù)和自旋磁量子數(shù)ms 1. 自旋角動量自旋角動量2121shssMs212ssszmhmM2. 自旋磁矩自旋磁矩eeeesssghssmeg121eseseeszmghmmeg22eg電子自旋因子，電子自旋因子，”電子磁矩方向與角動量相反電子磁矩方向與角動量相反 2.2.5 總量子數(shù)總量子數(shù)j和總磁量子數(shù)和總磁量子數(shù)mj1. 總角動量總角動量slslsljhjjMj, 1,21jmhmMjjjz,23,212 角動量表達式角動量表達式 角動量表達式角動量表達式角量子數(shù)角量子數(shù) l 磁量子數(shù)磁量子數(shù) m自旋量子數(shù)自旋量子數(shù) s 自旋磁量子數(shù)自旋磁量子數(shù) mS

9、總量子數(shù)總量子數(shù) j 總磁量子數(shù)總磁量子數(shù) mj2hmMZ2) 1(hssMs2) 1(hjjMj2) 1(hllM2)(hmMsZs2)(hmMjZj磁場方向磁場方向 波函數(shù)（波函數(shù)（，原子軌道）和電子云（，原子軌道）和電子云（ |2在空間的分布）在空間的分布）是三維空間坐標的函數(shù)，將它們用圖形表示出來，使抽象是三維空間坐標的函數(shù)，將它們用圖形表示出來，使抽象的數(shù)學表達式成為具體的圖象，對于了解原子的結構和性的數(shù)學表達式成為具體的圖象，對于了解原子的結構和性質，了解原子化合為分子的過程都具有重要的意義。質，了解原子化合為分子的過程都具有重要的意義。 隨隨 r 的變化情況稱為徑向函數(shù)；的變化情

10、況稱為徑向函數(shù)； 隨隨, 的變化情況稱為角度分布的變化情況稱為角度分布; 隨隨r, , 的變化情況稱為空間分布。的變化情況稱為空間分布。( , , )( )( , )nlmnllmrRr Y 原子軌道的類型原子軌道的類型n=3時，可能的軌道有：時，可能的軌道有：由由n, l, m確定確定l =0,1,2n=3時時, 3s, 3p, 3dl =0時時,l =0,1,2l =0,1,2m =0,l =0,1,-1,2,-2l =0,1,-1一條一條3s軌道軌道三條三條3p軌道軌道五條五條 3d軌道軌道 徑向函數(shù)徑向函數(shù) r r 圖，徑向密度函數(shù)圖，徑向密度函數(shù) 2 r r 圖。圖。意義：意義：反映

11、了給定方向上 與 隨r的變化情況，即表示同一方向上各點 與 值的相對大小。222.3.1 徑向函數(shù)徑向函數(shù)應用：應用：只考慮 隨r的變化情況，一般只用于表示s態(tài)的分布，因s態(tài)的波函數(shù)只與r有關，而與?、無關。s態(tài)的波函數(shù)分布具有球體對稱性。 以氫原子的以氫原子的1S為例為例 以氫原子的以氫原子的2S態(tài)為例態(tài)為例 徑向分布函數(shù)徑向分布函數(shù) D(r)2.3.2 徑向分布徑向分布1. 意義：意義：半徑為半徑為 r，厚度為，厚度為 dr 的球殼中電子出現(xiàn)的概率的球殼中電子出現(xiàn)的概率 單位厚度球殼中的概率單位厚度球殼中的概率22( )( )nlnldDrRr rdr drrDdrRrdddrRrddrd

12、rRdrdrrr 222020222222002002sinsin,2. 2. 定義：定義：22( )( )nlnlDrr Rr 徑向分布函數(shù)徑向分布函數(shù) Dnl(r) 代表在半徑為代表在半徑為r處的單位厚度的處的單位厚度的球殼內發(fā)現(xiàn)電子的概率。球殼內發(fā)現(xiàn)電子的概率。 22( )4nsD rr 徑向分布函數(shù)與磁量子數(shù)m無關， 因此，對 n, l 相同的軌道，Dnl(r) 是相同的。 ns態(tài)徑向分布函數(shù)3. 3. 討論：討論：4. 徑向分布圖徑向分布圖1s態(tài)：核附近態(tài)：核附近D趨趨于0；ra0時，時，D極大。表明在極大。表明在ra0附近，厚度為附近，厚度為dr的球殼夾層內找到電子的幾率要比任何的

13、球殼夾層內找到電子的幾率要比任何其它地方同樣厚度的球殼夾層內找到電子的幾率大。其它地方同樣厚度的球殼夾層內找到電子的幾率大。0222321,010( )44()ZrasZDrrr ea 1,00, (0)0rD1,0, ( )0rD 0022202(2)0ZrZraadDZcrer edra0arZ極大值極大值Bohr半徑半徑 0 5 10 15 20 24r/a01s2s2p3s3p3d0.60.300.240.160.0800.240.160.0800.160.0800.120.080.0400.120.080.040r2R 2每一每一個個n和和l 確定的狀態(tài)，確定的狀態(tài)，有有nl個極大值

14、；個極大值； nl1個個D值為值為0的點。的點。徑向分布圖的討論徑向分布圖的討論極大值：極大值：節(jié)點：節(jié)點： 0drrdD 002RrD除 r=0和 r=外 0 5 10 15 20 24r/a01s2s2p3s3p3d0.60.300.240.160.0800.240.160.0800.160.0800.120.080.0400.120.080.040r2R 2l相同時：相同時： n越大，主峰離核越遠；越大，主峰離核越遠； 說明說明n小的軌道靠內層，能量小的軌道靠內層，能量低，低， n大的軌道靠外層，能量大的軌道靠外層，能量高；高； 主峰越靠近內層能量越低主峰越靠近內層能量越低 電子主要按電

15、子主要按 n 的大小分層排布，的大小分層排布，即內層電子對外層有屏蔽作用即內層電子對外層有屏蔽作用徑向分布圖的討論徑向分布圖的討論 0 5 10 15 20 24r/a01s2s2p3s3p3d0.60.300.240.160.0800.240.160.0800.160.0800.120.080.0400.120.080.040r2R 2 n相同時：相同時： l越大，主峰離核越近；越大，主峰離核越近； l越小，峰數(shù)越多，最內層的峰越小，峰數(shù)越多，最內層的峰離核越近，即離核越近，即l小的軌道在核附小的軌道在核附近有較大的幾率；近有較大的幾率；l小的軌道能小的軌道能量低，量低，可以證明，核附近幾率

16、可以證明，核附近幾率對降低能量的貢獻顯著。對降低能量的貢獻顯著。 電子具有波性，活動范圍不局電子具有波性，活動范圍不局限于主峰，具有鉆穿效應。限于主峰，具有鉆穿效應。徑向分布圖的討論徑向分布圖的討論比較比較D(r)和和 2(r)D10, r=a0 ,即在半徑即在半徑a0處取得極大，而處取得極大，而 1s2 則在核附近取得極大。則在核附近取得極大。 D10與與 1s2的不同的不同之處在于它們代表的物理意義不同，之處在于它們代表的物理意義不同， 1s2是幾率密度，而是幾率密度，而 D10是半徑為是半徑為r處的單位厚處的單位厚度的球殼內發(fā)現(xiàn)電子的幾率，在核附近，度的球殼內發(fā)現(xiàn)電子的幾率，在核附近，盡

17、管盡管 1s2很大，但單位厚度球殼圍成的體很大，但單位厚度球殼圍成的體積很小，故幾率積很小，故幾率| 1s|2d 自然很小。自然很小。r很大很大處，盡管單位厚度球殼圍成的體積很大，處，盡管單位厚度球殼圍成的體積很大，但但 1s2幾乎為零，所以只有兩個因子幾乎為零，所以只有兩個因子 | 1s|2與與d 適中時，才有最大的乘積。適中時，才有最大的乘積。0123450.00.10.20.30.40.50.6 2D1s氫原子氫原子1s電子的分布圖電子的分布圖比較比較D(r)和和 2(r)22( )( )nlnlDrr Rr2.3.3 空間分布空間分布 1. s態(tài)的態(tài)的 - r和和 2 - r圖圖 （教

18、材p34中圖2.3.1） 2. 2. 原子軌道等值線（面）圖原子軌道等值線（面）圖原子軌道等值面圖是將原子軌道等值面圖是將 值相等的點（大小、正負）值相等的點（大小、正負）連接起來，在空間形成等值曲面（有正負之分）圖。連接起來，在空間形成等值曲面（有正負之分）圖。通常取通過原子核及某些坐標軸的截面，得到原子軌通常取通過原子核及某些坐標軸的截面，得到原子軌道二維等值線圖。道二維等值線圖。圖中標注相對值的大小、正負。圖中標注相對值的大小、正負。原子軌道等值線圖原子軌道等值線圖原子軌道形狀原子軌道形狀波函數(shù)正負波函數(shù)正負原子軌道對稱性原子軌道對稱性節(jié)面數(shù)目及位置、形狀節(jié)面數(shù)目及位置、形狀極值（極大值

19、、極小值）數(shù)目、位置極值（極大值、極小值）數(shù)目、位置空間分空間分布節(jié)面布節(jié)面數(shù)數(shù)徑向分布節(jié)徑向分布節(jié)面數(shù)面數(shù) n-l-1角向分布角向分布節(jié)面數(shù)節(jié)面數(shù) l徑向極值數(shù)徑向極值數(shù) n-l 原子軌道等值線圖原子軌道等值線圖極值數(shù)極值數(shù)角向極值數(shù)角向極值數(shù) ？原子軌道等值線圖分析原子軌道等值線圖分析3. 的網(wǎng)格線圖：的網(wǎng)格線圖：原子軌道等值線圖用網(wǎng)格線的彎曲情況表示。原子軌道等值線圖用網(wǎng)格線的彎曲情況表示。網(wǎng)格線面表示截面，平整網(wǎng)格線平面： =0 ；向上凸起的網(wǎng)格線： 0 ；向下凹陷的網(wǎng)格線： 0藍色：藍色：0不體現(xiàn)極值不體現(xiàn)極值三維地體現(xiàn)軌道形狀和節(jié)面三維地體現(xiàn)軌道形狀和節(jié)面2.3.4 角度分布角度分

20、布 原子軌道的角度分布原子軌道的角度分布 ( , )lmY ( , , )( , )nlmnllmrR Y 從坐標原點（原子核）引出一直線，方向為從坐標原點（原子核）引出一直線，方向為( , ) ，長度為長度為|Y|，將所有這些直線的端點聯(lián)接起來，在空間形，將所有這些直線的端點聯(lián)接起來，在空間形成一個封閉曲面。成一個封閉曲面。注：長度注：長度|Y|為變量；為變量； 曲面不是曲面不是 Y的等的等值面。值面。),(YY00101 11 1143pcos43psincos43psinsin4zxysYYYY2222202 12 122 222 215d(3cos1)4115dsin2 cos4115

21、dsin2 sin4115dsincos24115dsinsin24zxzyzxyxyYYYYY原原子子軌軌道道角角度度分分布布實實函函數(shù)數(shù)表表示示001Y ( , )( , )4lmY 例例為一常數(shù)，角度分布為球對稱圖形。xyz101003( , )( )( )cos4zpYY 即xy平面3cos0490極值3sin04zpdYd 0 , ;例例角向節(jié)面在 z 方向上若作xy平面剖面圖，則 =90 34sin cosxpY34cosxpY若作xz平面的剖面圖，則 =0 3sin4xpY例例xy xz 電子云的角度分布電子云的角度分布|Ylm(,)|2 |Ylm(,)|2代表同一球面上的各點幾率密度的相對大小，即代表在 (,) 方向上單位立體角d內發(fā)現(xiàn)電子的幾率。 Y與與|Y|2 比較：比較： Y有正負，