《函數(shù)的奇偶性》課件

1、1.3.2 1.3.2 奇偶性奇偶性 函數(shù)奇偶性的概念函數(shù)奇偶性的概念 1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x2,求求f(-2),f(2), f(-1),f(1),及及f(-x) ,并畫出它的圖象。并畫出它的圖象。解解:f(-2)=(-2)2=4 f(2)=4f(-1)=(-1)2=1 f(1)=1f(-x)=(-x)2=x22.已知已知f(x)=x3,畫出它的圖象畫出它的圖象,并求出并求出f(-2),f(2),f(-1),f(1)及及f(-x)解解:f(-2)=(-2)3=-8 f (2)=8f(-1)=(-1)3=-1 f(1)=1 f(-x)=(-x)3=-x3思考思考 : 你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律你

2、發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?f(-2)=f(2)f(-1)=f(1)f(-x)=f(x)f(-2)= - f(2)f(-1)= - f(1)f(-x)= - f(x)-xxf(-x)f(x)-xf(-x)xf(x)xyoxyo( x,y)(-x,y)(-x,-y)(x,y)1. 1.函數(shù)奇偶性的概念函數(shù)奇偶性的概念: : 偶函數(shù)定義偶函數(shù)定義: : 如果對于如果對于f(x)定義域內的定義域內的任意一個任意一個x,都有都有f(-x)=f(x), 那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)就叫就叫偶函數(shù)偶函數(shù).奇函數(shù)定義奇函數(shù)定義: : 如果對于如果對于f(x)定義域內的定義域內的任意一個任意一個x,都有都有f(-x)=-f(

3、x) ,那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)就叫就叫奇函數(shù)奇函數(shù).對奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的說明對奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的說明:(1). 定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。 a ,b-b,-axo（2）.奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即：奇、偶函數(shù)定義的逆命題也成立，即： 若若f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù), 則則f(-x)=f(x)成立。成立。 若若f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù), 則則f(-x)= f(x) 成立。成立。（3） 如果一個函數(shù)如果一個函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù),那么我們就說函數(shù)那么我們就說函數(shù)f(x) 具有奇偶性。具有奇偶性。0 增

4、增 M 增增 例例1.根據(jù)下列函數(shù)圖象根據(jù)下列函數(shù)圖象,判斷函數(shù)奇偶性判斷函數(shù)奇偶性.2( )2f xx yxyx2( )2f xxxyx( )21f xxyx( )2f xxy,1x xoy(a,f(a)(-a,f(-a)-aa奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，反過來，奇函數(shù)的圖象關于原點對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)那么這個函數(shù)是奇函數(shù).xoy-aa(a,f(a)(-a,f(-a)偶函數(shù)的圖象關于偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱，反過來，軸對稱，反過來，如果一個函數(shù)的圖象關于如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱，軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)那么

5、這個函數(shù)是偶函數(shù).例例2. 2. 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性(1) f(x)=x3+2x (2) f(x)=2x4+3x2解解:又又f(-x)=(-x)3+2(-x)= -x3-2x= -(x3+2x)即即 f(-x)= - f(x)f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 又又f(-x)=2(-x)4+3(-x)2=2x4+3x2f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)定義域為定義域為R,關于原點對稱關于原點對稱解解: 定義域為定義域為R，關于原點對稱，關于原點對稱即即 f(-x)= f(x)練習練習1. 1. 說出下列函數(shù)的奇偶性說出下列函數(shù)的奇偶性: :偶函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)f(

6、x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函數(shù)奇函數(shù)f(x)=x -2 _偶函數(shù)偶函數(shù) f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 說明：對于形如說明：對于形如 f(x)=x n 的函數(shù)，的函數(shù)， 若若n為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)。為偶數(shù)，則它為偶函數(shù)。 若若n為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)。為奇數(shù)，則它為奇函數(shù)。 先求定義域，看是否關于原點對稱先求定義域，看是否關于原點對稱; 再判斷再判斷f(x)= -f(x)或或f(-x)=f(x) 是否恒成是否恒成立。立。 （3）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義作出結論。）根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義作出結論。 說明說明: 用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟用定義判斷函數(shù)奇偶性的步

7、驟:練習練習2. 2. 判斷下列函數(shù)的奇偶性判斷下列函數(shù)的奇偶性(2) f(x)= - x2 +1f(x)為奇函數(shù)為奇函數(shù) 又又f(-x)= -(-x)2+1 = - x2+1f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)(1) f(x)=x-(1) f(x)=x- 1x解：定義域為解：定義域為x|x0，關于原點對稱關于原點對稱解：定義域為解：定義域為R，關于，關于原點對稱原點對稱又又f(-x)=(-x) -1-x= -x+1 x即即 f(-x)= - f(x)即即 f(-x)= f(x)(3). f(x)=5 (4) f(x)=0(3). f(x)=5 (4) f(x)=0解解: (3) f(x)的定義域為的定義

8、域為R，關于原點對稱。，關于原點對稱。 又又 f(-x)=f(x)=5 f(x)為偶函數(shù)為偶函數(shù)解解: (4)定義域為定義域為R ，關于原點對稱。，關于原點對稱。又又 f(-x)=f(x)=0 又又 f(-x)=-f(x)=0f(x)為既奇又偶函數(shù)為既奇又偶函數(shù)yox5oyx說明說明: 函數(shù)函數(shù)f(x)=0 (定義域關于原點對稱），為既奇又偶函數(shù)。定義域關于原點對稱），為既奇又偶函數(shù)。 (5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x(5). f(x)=x+1 (6). f(x)=x2 2 x x- 1 , 3- 1 , 3解解: (5) f(-x)= -x+1 - f(x)= -x-1 f

9、(-x)f(x) 且且f(-x) f(x) f(x)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)解解: （6）定義域不關于原點定義域不關于原點 對對 稱稱 f(x)為非奇非偶函數(shù)為非奇非偶函數(shù)yoxox-13y 奇函數(shù)奇函數(shù) 說明：說明：根據(jù)奇偶性根據(jù)奇偶性, 偶函數(shù)偶函數(shù) 函數(shù)可劃分為四類函數(shù)可劃分為四類: 既奇又偶函數(shù)既奇又偶函數(shù) 非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)用定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟用定義法判斷函數(shù)奇偶性解題步驟:(1)先確定函數(shù)定義域先確定函數(shù)定義域,并判斷并判斷定義域是否關于原點對稱定義域是否關于原點對稱;(2)求求f(-x)，找，找 f(x)與與f(-x)的關系的關系;若若f(-x)=f(x),則

10、則f(x)是偶函數(shù)是偶函數(shù);若若f(-x)= - f(x),則則f(x)是奇函數(shù)是奇函數(shù).(3)作出結論作出結論.f(x)是偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函是偶函數(shù)或奇函數(shù)或非奇非偶函數(shù)或即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。數(shù)或即是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2. 2.奇偶函數(shù)圖象的性質奇偶函數(shù)圖象的性質: : 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱奇函數(shù)的圖象關于原點對稱. 反過來反過來,如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱如果一個函數(shù)的圖象關于原點對稱, 那么這個函數(shù)為奇函數(shù)那么這個函數(shù)為奇函數(shù). 偶函數(shù)的圖象關于偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱軸對稱.反過來反過來,如果一個函數(shù)的圖象關于如果一個函數(shù)的圖象關于y軸對稱軸對稱,那么這個函數(shù)為偶函數(shù)

11、那么這個函數(shù)為偶函數(shù).注：奇、偶函數(shù)圖象的性質可用于：注：奇、偶函數(shù)圖象的性質可用于： .簡化函數(shù)圖象的畫法。簡化函數(shù)圖象的畫法。 .判斷函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性。oyx例例3 已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，它在是偶函數(shù)，它在y軸右邊的軸右邊的圖象如圖，畫出圖象如圖，畫出y=f(x)在在 y軸左邊的圖象。軸左邊的圖象。1奇偶性定義奇偶性定義:對于函數(shù)對于函數(shù)f(x),在它的定義域內在它的定義域內， 若有若有f(-x)=-f(x), 則則f(x)叫做奇函數(shù)；叫做奇函數(shù)； 若有若有f(-x)=f(x), 則則f(x)叫做偶函數(shù)。叫做偶函數(shù)。 2圖象性質圖象性質: 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱奇函數(shù)的圖象關于原點對稱; 偶函數(shù)的圖象關于偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱軸對稱. 3判斷奇偶性方法判斷奇偶性方法：圖象法，定義法。圖象法，定義法。 4定義域關于原點對稱定義域關于原點