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文檔簡介
1、設 計: 曲 線 與 方 程(涂榮豹)師:我們先來看一個問題:在直角坐標系、象限內(nèi),到坐標軸距離相等的點的軌跡是什么?(實際是創(chuàng)設情境)生:構成,象限的角平分線。師:(畫圖)有沒有不同意見。生:原點不在這條直線上。師:也就是不包括原點。因為原點不屬于,象限。這個軌跡的方程是什么?生:y=x。師:(板書)y=x,有什么要求?生:x0。師:(板書)y=x,x0。這時,我們就說這個方程是這個軌跡直線的方程。建立直線方程是前段時間研究的對象。我們每每按照一定條件畫出一條直線就能根據(jù)直線寫出直線的方程,并且認定它是直線的方程。你們對這樣的認定有沒有產(chǎn)生過什么疑問?(暗示)畫一條直線,我們就可建立一個方程
2、,然后就說這個方程是直線的方程。再畫一條直線又可建立一個方程,然后又說這個方程是直線的方程。對這樣的說法,你們有沒有產(chǎn)生過疑問?(提示)直線是什么?幾何圖形。方程是什么?代數(shù)等式。那我們能不能提出什么疑問?(提示)有沒有考慮過一個問題:為什么你能夠說,求得的方程就是原來直線的方程?(幾經(jīng)提示仍不得要領,教師提出)憑什么說這個方程就是這條直線的方程?(板書)這是不是一個疑問?這個問題是不是還沒有解決呀?今天我們就來解決的這個問題。怎么來解決呢?(啟發(fā)研究方法)盯著目標!我們的問題究竟是什么?“憑什么說這個方程就是直線的方程?”這節(jié)課采用的引入方法先提出已知問題,希望由已知知識出發(fā)提出新問題,從而
3、提出本節(jié)課的課題。如果希望以一種探究式的方式學習新知識,還應該考慮:如何引導學生自己提出本節(jié)課的課題。本節(jié)課是“曲線與方程”的關系(這里課本的標題不很準確),要引導學生自己找到和提出這個課題并非易事。為此,教學設計可以這樣的問題作為出發(fā)點:前一階段我們學習了建立直線方程,每畫一條直線(滿足一定條件)就可以寫出它的方程。對這樣的一個工作過程,你們是否產(chǎn)生過疑問?比如對自己的結論是不是確信無疑?學習建立直線方程的時候,你的問題是什么,得到的結論是什么?比如以這個問題為例,你得到了什么結論?“y=x(x0)是滿足條件的直線的方程”。對這個結論你是否放心?一個是幾何圖形,一個是代數(shù)等式。它們風馬牛不相
4、及,現(xiàn)在你說這個代數(shù)方程是這條直線的方程,有什么根據(jù)?如此來引導學生提出本節(jié)課的課題,是一種較合理的選擇?!皯{什么?”根據(jù)什么。要找“根據(jù)”,這就涉及一個新的問題:如何判斷“方程是直線的方程,直線是方程的直線”?這句話是什么意思?能不能換一種說法?換一種說法可以怎么說?“憑什么說”是什么意思?就是“根據(jù)什么判斷”的意思吧?現(xiàn)在把我們的問題說得明確一些,就是:根據(jù)什么來判斷“方程是直線的方程”?或者“直線是方程的直線”?(板書)怎么來解決這個問題呢?好象無從下手。怎樣才是解決了這個問題呢?(方法論意義) 首先我們要干什么?首先把問題弄弄清楚吧?這是遇見一個新問題,不會做的問題首先要做的。(方法論
5、)“根據(jù)什么來判斷”是什么意思?意味著要求我們做什么?尋找什么?是不是要尋找一種判斷的依據(jù)吧?也就是尋找必須滿足的條件吧?所以我們的任務是:(板書)尋找判斷方程是直線方程的依據(jù)。 好,“尋找依據(jù)”!這是我們的任務?,F(xiàn)在我們明白了,(明確目標,強化目標)怎樣才是解決了這個問題呢?找到了判斷的依據(jù),找到了滿足的條件就是解決了問題了。(方法論意義)那么,你的思想中滿足了什么條件就是問題解決了? (預期和啟發(fā)猜想-元認知方法論)就能夠確認這個方程是曲線的方程了?大家討論一下。注意!盯著問題(板書),盯著目標,理理思路。師:(啟發(fā))直線是幾何圖形,方程是代數(shù)等式,是兩個不同方面的問題?,F(xiàn)在它們之間形成了
6、一種聯(lián)系。(板書) 直線方程f(x)=0它們是怎么聯(lián)系起來的呢?(認知性提示語) 一個是幾何圖形,一個是代數(shù)方程,它們怎接下來就是解決問題的過程了,因此把后面的教學設計成為探索解決問題的過程?!霸鯓硬攀墙鉀Q了這個問題?”“達到什么要求,就算解決這個問題了?”或者“要達到的目標是什么?”這些問題其實是“元認知提示語”,蘊藏了思考問題的基本方式。這里體現(xiàn)了思考方法的教學,解決新問題的思考方法,或者是一般科學研究的方法?!按蠹铱粗@個問題,盯著目標,理理思路”波利亞提示語。這是對問題的結論提出猜想的過程,因而要經(jīng)過一個很長的探索過程。不能急于求成,而要耐心引導啟發(fā)。(板書)直線?方程(幾何圖形) (
7、代數(shù)等式)如何形成一種聯(lián)系問題:“它們?nèi)绾谓⒙?lián)系的?”“這個方程是通過什么建立的?”“通過點。”“為什么通過點就能把直線與方程聯(lián)系起來呢?”(強調(diào)·)“因為直線是點的集合”“為什么直線看成點集就能與方程聯(lián)系起來呢?”“因為有點就有坐標?!?板書)點(x,y)?!肮嬗悬c就有坐標嗎?任畫一點它有坐標嗎?”“必須在坐標系內(nèi)”?!白鴺讼怠?。(板書)“有了坐標系,點才有了坐標。”么聯(lián)系起來的呢?建立直線方程是通過什么來建立的?(認知性)生:通過點(應該是直角坐標系里的點)。師:通過點就能建立方程嗎?我任意畫一個點就能建立方程了嗎?(畫一個點)在哪里?點才有坐標。(引出坐標系是聯(lián)結點)在直角
8、坐標系里,點就可以用坐標表示了。于是直線就能用方程表示了。(自問自答,省時)師:(板書)要注意我們是在直角坐標系里說話,是通過直角坐標系點的坐標建立聯(lián)系的。那為什么通過直角坐標系點的坐標,就能把直線與方程聯(lián)系起來呢?點與線有什么關系?我們可以把直線看成是什么?看成點的什么?把點看成點的集合。(比較明顯的,自問自答)師:把直線看成“點的集合”,通過點的坐標,就能把直線與方程聯(lián)系起來了。是不是?(思路性、研究性的問題,也是小總結,小概括)我們能不能利用這個例子說的具體點?直線l上點的坐標與方程有什么關系?生:l上點的坐標是方程的解。(坐標適合方程)師:l上點的坐標是方程的解。l上一個點嗎?生:所有
9、的點。師:直線l上所有的點的坐標都是方程的解。這句話怎么用數(shù)學語言表示?(強調(diào)數(shù)學表示)在l上任取一點M(x0,y0),(板書)(方法論)因為x0=y0,即x0-y0=0,“所以直線與方程究竟通過什么聯(lián)系呢?”(這個問題的意義在:暗示了判斷“一個點是否在方程的曲線上”的方法。后面就要用到這個方法)(路徑出現(xiàn)的先后無所謂,但序號不能亂)由的路線圖,得出了一個結論:“直線上所有點的坐標都是方程的解?!边M而概括出“一點不多”的特征來。(直線上所有點的坐標都是方程的解,一點不少)這種言簡意駭?shù)母爬ê苡幸饬x或價值,形象生動,通俗易懂,便于理解,便于掌握,也便于記憶,便于運用。監(jiān)控反思,這是元認知,是探索
10、過程中的思考方法檢驗?!凹热蛔C明了直線上每一點的坐標都是方程的解,那么是否就可以肯定方程就是直線的方程了呢?”“既然直線上每一點坐標都是方程的解,那是否就能說方程刻畫了直線啦?”“不能”,“你怎么知道不能呢?”“你認為不能說它是直線的方程,那你怎么來說明呢?”“也就是如何來說明結論未必正確呢?”“那就要尋找這個結論的漏洞?!闭f明(x0,y0)是方程y=x,x0的一個解。直線l®點M(x0,y0)®(x0-y0=0)®方程解這樣一來就怎么樣呢?l上所有點的坐標都是方程的一個解。也就是說,直線上沒多出來一點,它的坐標不是方程的解?!耙稽c不多”吧?(板書) 一點不多直線
11、上沒有多余的點,它的坐標不是方程y=x,x0的解。我們得出了一個結論: (板書)“直線上所有點的坐標都是方程的解?!币稽c不多直線上所有點的坐標都是方程的解。師:現(xiàn)在我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)直線上所有點坐標都是方程的解。那得到這個結論,我們是不是就可以認定這個方程是曲線的方程?是不是就可以把它作為判斷方程是直線的方程的條件了?我們的目標是什么?是尋找判斷方程是直線方程的條件吧?是不是滿足了這個條件,就能確認這個方程是直線的方程啦?能不能確認?(反思,反省思維,元認知、方法論意義)怎么來檢驗,怎么來研究呢?(方法論意義)師:回想一下,我們前面提到過,這個問題涉及兩個方面幾何的直線和代數(shù)的方程。剛才是從哪個方面
12、研究的?(反思)我們來回顧剛才的研究過程:(反思)直線l®點M(x0,y0)®(x0-y0=0)®方程解這樣研究是不是就行了?這是從哪個方面來研究的?(反思)是從“直線”這個方面研究的。僅僅從“直線”一個方面研究行不行?還應該從哪個方面來研究?(這里蘊含了思考問題的方法,否定一個結論就是只要尋找漏洞反例。但是尋找反例并不是一件容易的事情,因為這是尋找滿足條件卻不能肯定結論的例子。所以要耐心引導。)借用已經(jīng)研究過的問題作為反例是極好選擇,因為學生對它很熟悉,容易理解和建立聯(lián)系。這是變式的運用變式反例。整個教學過程時時刻刻貫穿了一般科學研究方法的學習,在提出問題解決問
13、題過程中貫穿思考策略的學習,即是探索能力的培養(yǎng)。其間,用于啟發(fā)引導學生的問題,問的準確,能起到很好的引導效果。不僅問題問的準,而且起啟發(fā)作用的聯(lián)結性解釋也設計到位,如引出,而隱喻“一點不少”;又引出,又引出了。這完全在一種合情推理的進程中把探索引向深入,這個問題很好,但可以考慮在其前面添加一個問題:“只滿足一個條件不能解決問題,那該怎么辦呢?”這可以讓學生想到需要再補充一個條件,從而由學生把的答案提出來。這里體現(xiàn)了一個原則:盡可能讓學生提出問題,提出有價值的問題,而這個問題的解答其實并不難,但提出這個問題就不簡單了,可見“問題教學”中教師提出問題固然可以,但最佳選擇是學生提出問題。(如果不行,
14、為什么?(方法論意義)是不是會有什么漏洞?(方法論意義)你能不能找出漏洞來?你能不能找出一個反例?(也可不要學生找)現(xiàn)在(聯(lián)系圖形),直線l不含原點,如果把方程y=x(x0)中的限制條件去掉,也就是把(x0)條件去掉,你還能不能說這個方程y=x (已去掉x0)是直線l的方程了?(反例啟發(fā))生:不能。師:不能!為什么?直線上所有點不-還是方程的解嗎?生:因為方程有一個解(0,0)為坐標的點不在“直線l”上。師:噢!(重復回答)這是從哪個方面來看的? 從直線還是從方程?)生:從方程的方面來研究(看的)。(看的什么呢?)師:從方程方面怎么研究?研究什么?(看以方程的解為坐標的點是否都在直線上。所以還
15、需要從方程的方面提出判斷的條件。你覺得應該提出什么條件呢?)剛才從直線方面研究,提出了判斷條件:直線上所有點的坐標是方程解。(已知®未知) 現(xiàn)在從方程方面是研究什么? 是不是應該從相反的方向進行研究? 那你覺得研究什么?可以提出什么判斷條件?生:以方程的解為坐標的點都在直線上。師:哦!從方程的方面提出條件是:(邊板書)以方程所有解為坐標的點都在直線上。 用數(shù)學的語言怎么表示?(強調(diào)數(shù)學表示,方法論)設(x0, y0)是方程y=x, x0的任意一個解,則x0=y0。(邊板書)以這個解為坐標的點為M(x0, y0),x0= y0,點M(x0, y0)在直線l上。方程與它的解集合等價,由方
16、程可得到方程的解(x,y)(板書)每一了解對應了解為坐標的點(x,y)(板書路徑),點(x,y)符合作軌道的直線的條件,表明點(x,y)在直線上(板書),于是由路線圖得出了一個結論:“方程所有的解為坐標的點都在直線上。進而概括出“一點不少”特征。這個路徑框圖的設計是“關系映射反演原理”的應用,體現(xiàn)了一種探索解決新問題的方法論思想,是這一原理在數(shù)學教學過程(不是解題)的非常典型的運用。這十分典型地體現(xiàn)出以知識為載體的學習,既獲得了知識,又學習了探索解決新問題的科學方法,從而獲得思維的發(fā)展,這個框圖清晰明了,有利于學生的思維建構,抓住一切能發(fā)展學生探索能力的機會,不放過任何一個可以由學生提出問題的
17、機會。到這里就把這節(jié)課的主要內(nèi)容探究出來了,始終是沿著“引導提出問題解決問題”的探索性進程層層深入,一個問題一個問題的解決,并把思考策略、解決問題策略貫穿其中。接下來強化對“曲線與方程關系”的認識,方法是利用已經(jīng)學過的曲線及其變式,不斷深化對“曲線與方程關系”意義的建構,與更多的已知知識和經(jīng)驗去建立多方位、多角度聯(lián)系。這不是刺激聯(lián)結的機械記憶,而是加強意義的聯(lián)系和建構,這說明,方程沒有出現(xiàn)一個解,以它為坐標的點不在直線上?!耙粋€不少”吧?(板書) 一個不少方程y=x,x0所有的解為坐標的點都在直線上。我們得出了一個結論: (板書)“方程所有的解為坐標的點都在直線上”。一個不少方程所有的解為坐標
18、的點都在直線上師:我們回顧一下研究的過程:直線上¬點(x0,y0)¬x0=y0¬方程解(x0,y0)這樣我們又從方程的方面說明了,以方程的解為坐標的點都在直線上。現(xiàn)在,我們找到了兩個條件來判斷方程是直線的方程,一個是從直線方面的:(小結)一點不多直線上所有點的坐標都是方程的解。一個是從方程方面的:(小結,教師、學生都可做)一個不少方程所有的解為坐標的點都在直線上。一點不多,一點不少。恰恰好。這時我們可以放心大膽地說:方程是直線的方程。這樣就解決了一開始提出的問題:怎樣判斷方程的直線?現(xiàn)在我們就知道了:滿足了這兩方面的條件,方程是直線的方程,或者直線是方程的直線。剛
19、才我們研究的是直線,如果是曲線呢?怎么來判斷方程是曲線的方程?其實直線就是曲線的一種,那么我們就可以用同樣的方法判斷“曲線的方程”或“方程的曲線”。(主題)現(xiàn)在你們能不能把剛才的判斷條件,表述為“曲線的方程”的判斷條件?生:如果曲線上所有點的坐標都是方程的解,并且以方程的解為坐標的點都在曲線上,就稱:曲線是方程的曲線,方程是曲線的方程。師:一個是從直線方面的:(邊板書) 一點不多曲線上所有點的坐標都是方程的解。一個是從方程方面的:一個不少方程所有的解為坐標的點都在曲線上。它就成為,判斷方程是某條曲線方程的依據(jù),或證明曲線是某個方程的曲線的依據(jù)。多方位多角度的聯(lián)系,豐富各種表征,同時也達到強化意
20、識的作用(如何判斷曲線是方程的曲線和方程是曲線的方程)。并且用已知的、熟悉的知識和經(jīng)驗去認識新的數(shù)學對象和意義,使得新舊兩方面聯(lián)系更加緊密牢固,同時也是對原有認知結構改組和重建,原有的知識和經(jīng)驗獲得了新的意義。利用“變式”,一個問題變成了兩個問題,由于變式涉及到本質(zhì)和非本質(zhì)屬性的變化,從而起到強大的辯析作用,使學生對意義建構在熟悉而又變化的情境之上。這就能夠比較容易達到更加深刻把握本質(zhì)屬性的目的。用已學過的內(nèi)容學習新的知識是這節(jié)課的基本思想,從直線拋物線雙曲線圓,由簡單到復雜,從特殊到一般,梯度適中,線索清楚,每個例子既都由學生提出,調(diào)動了學生的積極性,每個例子又都不時機地適當變化,揭示出數(shù)學
21、的本質(zhì),表現(xiàn)出創(chuàng)造性的設計,這不但激發(fā)學習的興趣,而且在不知不覺中把問題引向深入,學生輕松地或不很吃力地學到新知識、新方法、新思想。學生的能力,特別是探索解決新問題的能力得到了潛移默化的發(fā)展,思考方法、思想策略滲透其中,出自于不經(jīng)意之中,十分自然。這節(jié)課學生始終處在提出問題,思考問題,解決問題之中,處于積極的思想活動的狀態(tài),全身心地投入到教學活動之中,表現(xiàn)出極大的主動性,教師以親切師:現(xiàn)在大家能不能以這兩個條件為依據(jù)來判斷一個方程是某一曲線的方程?或者判斷一條曲線是某一個方程的曲線?以前我們學過一些曲線,比如拋物線。師:比如y=x2。這是一函數(shù),能不能看作是方程?什么是方程?含有未知數(shù)的等式。
22、y=x2是不是含有未知數(shù)的等式?是的。所以我們可以把y=x2看作是一個方程。取5個點把圖畫出來,大概就是這樣形狀。對這個方程,我們能把這條曲線叫作方程的曲線嗎?你怎么來說明?怎么說明所畫的拋物線就是這個方程的曲線?根據(jù)什么來說明?就是根據(jù)剛才得到的兩個條件,從兩個方面來說吧?(只要有兩方面,不必說清從哪個方面)生:方程所有的解都在拋物線上。師:能不能說的再到位一些。(不否定而是鼓勵)生:以方程所有解為坐標的點都在拋物線上,拋物線上所有點的坐標都是方程的解。師:好,再請一個同學說一說?,F(xiàn)在我們是不是清楚了?滿足了這兩個條件,就可以說,這個方程是拋物線的方程,拋物線是這個方程的曲線。我們來進一步運
23、用這個判斷的依據(jù)。我們來研究一個關于圓的問題?!扒髨A心在原點、半徑為5的圓的方程”。大家動筆,怎么求這個方程。(畫圓)求直線的方程,我們會,求圓的方程呢?怎么處理?(邊等待,邊提示)大家想,圓是一條曲線,求它的方程,是解析幾何問題吧?解析幾何問題在哪里解決?在坐標系里。好,我們來建立坐標系。(畫坐標系) 的口吻,交談的方式,在與學生的對話中推動教學的進程,師生人格平等,課堂氣氛和諧,教師用諸如“能不能重新組織一下”,“能不能說得更到位一些”,特別是分析了學生回答的不足后,不是否定回答,而是說“統(tǒng)一到這個形式”(正確的),充分保護學生的自尊和人格,使人感到與學生的交流是一種“心的交流”,學生活潑
24、愉快,發(fā)言踴躍,滲透了一種健康的情感關系,有利于學生心理的健康發(fā)展。前面一直是對曲線與方程關系進行探索和意義的理解,沒有涉及曲線與方程關系定義的運用,比如“如何證明曲線上所有點的坐標是方程的解”,“如何證明以方程的解為坐標的所有點都在曲線上”。教學中選擇就圓與其方程的關系作為判斷論證的例子,蘊含匠心。一方面學生此前只學過求直線方程,而沒學過求曲線的方程,另一方面學生對圓熟悉,圖形簡單特點突出,因此對學生這是既老又新的問題,既是挑戰(zhàn),又力所能及,屬于“最近發(fā)展區(qū)”的范圍內(nèi)。最終學生得到的結果(2個方程)都在情理之中,正好構成辯析曲線與方程關系本質(zhì)特征的典型問題。用圓來讓學生學習如何證明符合兩個條
25、件,很合適。因為其證明過程不是很難,這就可以突出主題:證明符合兩個條件;如果證明本身很難,就容易偏離主題,使學生關注非本質(zhì)的方面,偏離主題。有的教師偏愛難題,其實反而沖淡主題,適得其反。著名求什么?求圓的方程。方程是什么?含有未知量的等式。也就是求一個等式。根據(jù)已知條件能不能建立這樣的等式?大家思考一下,把這個方程寫出來。師:(3分鐘后)哪位同學說說看?生:x2 + y2 = 25。師:他求出來了。有沒有不同意見?生:y= (-5x5)。師:(板書)2個結果,分別叫它們方程、方程。現(xiàn)在同一條曲線圓,出現(xiàn)了兩個方程,哪一個是圓的方程呢?需要判斷吧?根據(jù)什么來判斷呢?前面我們得到的結論應該有用了吧
26、?大家思考一下,哪一個方程是原的方程。生:方程是圓的方程,不是。師:你根據(jù)什么說方程的不是圓的方程呢?要從兩方面考慮吧?從哪兩個方面?生:從曲線和方程兩個方面。師:你想先從哪個方面來說?怎么說?生:方程里y取不到負值。師:y取不到負值說明什么?生:師:你能不能舉一個例子來說明?(抽象表述難些)生:能,(0, -5)這點,在圓上;但不是方程的解。(思考方法尋找反例)師:所以呢?生:方程不是圓的方程。(這個“統(tǒng)一到”用的好)師:好, 我們把所求方程統(tǒng)一到方程的形式。師:你怎么說明方程是所求圓的方程呢?要說明它滿足兩方面的條件吧?(反復強調(diào))我們來簡單地證明一下。從曲線方面要說明什么?生:圓上每個點
27、的坐標都是方程的解。師:圓周上有無數(shù)個點,你總不能把每個點拿來驗證一下吧?顯然不行!怎么辦?假如現(xiàn)有1000件產(chǎn)品,它的合格率是100%,你怎么來檢查?需不需要每件都來檢查一遍?(用簡單例子啟發(fā))生:不需要,只要隨便抽取一個檢查一下就行了。師:那在我們這個問題中呢?(類比,遷移)(這個過程前后約3-4分鐘給學生留有較充分的時間)數(shù)學家策莫羅有一句名言:“請把你的聽眾當作笨驢”。意在說明要用簡單的易懂的東西說明復雜困難的對象,才是教學的最佳選擇。在分析第二種形式方程不符合本質(zhì)的過程中,暗示思考方法,引導尋找反例,突出判斷的兩個條件缺一不可,深入揭示曲線與方程關系的本質(zhì)。如何檢驗和證明無數(shù)個對象的
28、性質(zhì),這是一個基本思考方法的問題,但是要講清這個方法。也是只需要用最簡單明白的例子就行了,能揭示方法的實質(zhì)以及如何用就行了。這些地方都反映了學生始終處于問題之中,思考之中,發(fā)現(xiàn)之中,交流和討論之中,嘗試和調(diào)節(jié)之中。教學過程中始終貫穿著思想方法:拿到一個問題應該怎么去想,如何由不知到知,由不會到會,由不明白到明白。問題目標是:證明M點坐標是方程的解。首先看已有的條件點M(x0,y0)。它是什么?是圓上的任一點。有什么性質(zhì)?到原點距離為5,如何表示?=5(也可從圖上看出來,實際教學如此)得到+ =25。這個結果表明(x0,y0)是方程生:只要在圓上任意取一點來判斷就行了。師:好,在圓上任取一點,如
29、M(x0,y0)(板書)下面要判斷什么?(問題是什么?求或證什么?)生:判斷(x0,y0)是方程的解。(當作解題過程處理)師:你怎么來證明(x0,y0)是方程的解呢?生:把坐標代進去。師:把(x0,y0)代到哪里?你知道+=嗎?師:哪個同學有辦法?生:由點M(x0,y0)作x軸和y軸的垂線,連接OM,就有+ = |OM|2=25。(板書)師:這是利用了圓周上的任意一點M(x0,y0)這個條件吧?這個等式表明了什么?生:圓上的任意一點M的坐標是方程的解。師:這樣,就證明了一個方面的條件滿足了。(完了沒有?沒有。)還要證明什么?生:還要證:這個方程的解為坐標的點都在圓周上。(這是要判斷的第二個條件
30、)師:怎么證呢?方程的解也是無數(shù)個,那同樣也是取一般情況吧?假設(x0,y0)是方程任一組解。(板書)如何證明以(x0, y0)為坐標的點在圓周上?(x0, y0)要滿足什么條件?生:要滿足點(x0, y0)到圓心距離等于5。師:用數(shù)學符號怎么表示?生:要滿足= 5。因為(x0,y0)是方程的解,所以適合方程,也就是 + = 25。兩邊開方,取算術根,得= 5。師:=5說明了什么?生:說明以(x0,y0)為坐標的點在圓周上!師:(板書)所以點(x0,y0)在圓上。證明了這兩方面的條件,我們就可以放心地說明一個什么結論?師:說明方程x2+y2=25是圓的方程,這個圓是方程的曲線。師:如果我問點P
31、(3,-4)在不在圓周上?生:在! 師:你怎么來判斷的?生:把P(3,-4)代入方程看看,32 + (-4)2 = 25。師:這說明P(3,-4)坐標適合這個方程,而這的解。所以“怎么辦”這個問題提得必要且恰到好處:對不明白的人是一種引導, (這個“怎么辦”問的好,引發(fā)學生思考。始終注意一般研究方法的滲透和培養(yǎng))對明白的人是一種策略學習進一步去思考:“它是什么?”“它有什么性質(zhì)”“它反映了什么問題?”對第二個條件的判斷,要證明:“以(x0,y0)為坐標的點在圓上是否到原點距離等于5?是否有 =5?”這還是要經(jīng)歷上述的思考過程。已有條件一組解(x0,y0).它是什么?是x2+y2=25一組解;有什么性質(zhì)?代入方程等式成立;怎么表示? + =25(*)。只要在(*)式兩邊開方,取算術根就得到=5。點(x0,y0)到原點距離
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