曲線與方程(導(dǎo)師教研講稿改)

1、設(shè) 計(jì): 曲 線 與 方 程(涂榮豹)師：我們先來(lái)看一個(gè)問(wèn)題：在直角坐標(biāo)系、象限內(nèi)，到坐標(biāo)軸距離相等的點(diǎn)的軌跡是什么？(實(shí)際是創(chuàng)設(shè)情境)生：構(gòu)成，象限的角平分線。師：(畫圖)有沒(méi)有不同意見。生：原點(diǎn)不在這條直線上。師：也就是不包括原點(diǎn)。因?yàn)樵c(diǎn)不屬于，象限。這個(gè)軌跡的方程是什么？生：y=x。師：(板書)y=x,有什么要求？生：x0。師：(板書)y=x，x0。這時(shí)，我們就說(shuō)這個(gè)方程是這個(gè)軌跡直線的方程。建立直線方程是前段時(shí)間研究的對(duì)象。我們每每按照一定條件畫出一條直線就能根據(jù)直線寫出直線的方程，并且認(rèn)定它是直線的方程。你們對(duì)這樣的認(rèn)定有沒(méi)有產(chǎn)生過(guò)什么疑問(wèn)？(暗示)畫一條直線，我們就可建立一個(gè)方程

2、，然后就說(shuō)這個(gè)方程是直線的方程。再畫一條直線又可建立一個(gè)方程，然后又說(shuō)這個(gè)方程是直線的方程。對(duì)這樣的說(shuō)法，你們有沒(méi)有產(chǎn)生過(guò)疑問(wèn)？(提示)直線是什么?幾何圖形。方程是什么?代數(shù)等式。那我們能不能提出什么疑問(wèn)?(提示)有沒(méi)有考慮過(guò)一個(gè)問(wèn)題：為什么你能夠說(shuō)，求得的方程就是原來(lái)直線的方程？(幾經(jīng)提示仍不得要領(lǐng)，教師提出)憑什么說(shuō)這個(gè)方程就是這條直線的方程？(板書)這是不是一個(gè)疑問(wèn)？這個(gè)問(wèn)題是不是還沒(méi)有解決呀？今天我們就來(lái)解決的這個(gè)問(wèn)題。怎么來(lái)解決呢？(啟發(fā)研究方法)盯著目標(biāo)！我們的問(wèn)題究竟是什么?“憑什么說(shuō)這個(gè)方程就是直線的方程？”這節(jié)課采用的引入方法先提出已知問(wèn)題，希望由已知知識(shí)出發(fā)提出新問(wèn)題，從而

3、提出本節(jié)課的課題。如果希望以一種探究式的方式學(xué)習(xí)新知識(shí)，還應(yīng)該考慮：如何引導(dǎo)學(xué)生自己提出本節(jié)課的課題。本節(jié)課是“曲線與方程”的關(guān)系(這里課本的標(biāo)題不很準(zhǔn)確)，要引導(dǎo)學(xué)生自己找到和提出這個(gè)課題并非易事。為此，教學(xué)設(shè)計(jì)可以這樣的問(wèn)題作為出發(fā)點(diǎn)：前一階段我們學(xué)習(xí)了建立直線方程，每畫一條直線(滿足一定條件)就可以寫出它的方程。對(duì)這樣的一個(gè)工作過(guò)程，你們是否產(chǎn)生過(guò)疑問(wèn)？比如對(duì)自己的結(jié)論是不是確信無(wú)疑？學(xué)習(xí)建立直線方程的時(shí)候，你的問(wèn)題是什么，得到的結(jié)論是什么？比如以這個(gè)問(wèn)題為例，你得到了什么結(jié)論？“y=x(x0)是滿足條件的直線的方程”。對(duì)這個(gè)結(jié)論你是否放心？一個(gè)是幾何圖形，一個(gè)是代數(shù)等式。它們風(fēng)馬牛不相

4、及，現(xiàn)在你說(shuō)這個(gè)代數(shù)方程是這條直線的方程，有什么根據(jù)？如此來(lái)引導(dǎo)學(xué)生提出本節(jié)課的課題，是一種較合理的選擇?！皯{什么？”根據(jù)什么。要找“根據(jù)”，這就涉及一個(gè)新的問(wèn)題：如何判斷“方程是直線的方程，直線是方程的直線”？這句話是什么意思？能不能換一種說(shuō)法？換一種說(shuō)法可以怎么說(shuō)？“憑什么說(shuō)”是什么意思？就是“根據(jù)什么判斷”的意思吧？現(xiàn)在把我們的問(wèn)題說(shuō)得明確一些，就是：根據(jù)什么來(lái)判斷“方程是直線的方程”？或者“直線是方程的直線”？(板書)怎么來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題呢？好象無(wú)從下手。怎樣才是解決了這個(gè)問(wèn)題呢？(方法論意義) 首先我們要干什么？首先把問(wèn)題弄弄清楚吧？這是遇見一個(gè)新問(wèn)題，不會(huì)做的問(wèn)題首先要做的。(方法論

5、)“根據(jù)什么來(lái)判斷”是什么意思？意味著要求我們做什么？尋找什么？是不是要尋找一種判斷的依據(jù)吧？也就是尋找必須滿足的條件吧？所以我們的任務(wù)是：(板書)尋找判斷方程是直線方程的依據(jù)。 好，“尋找依據(jù)”！這是我們的任務(wù)?，F(xiàn)在我們明白了，(明確目標(biāo)，強(qiáng)化目標(biāo))怎樣才是解決了這個(gè)問(wèn)題呢？找到了判斷的依據(jù)，找到了滿足的條件就是解決了問(wèn)題了。(方法論意義)那么，你的思想中滿足了什么條件就是問(wèn)題解決了? (預(yù)期和啟發(fā)猜想-元認(rèn)知方法論)就能夠確認(rèn)這個(gè)方程是曲線的方程了？大家討論一下。注意！盯著問(wèn)題(板書)，盯著目標(biāo)，理理思路。師：(啟發(fā))直線是幾何圖形，方程是代數(shù)等式，是兩個(gè)不同方面的問(wèn)題?，F(xiàn)在它們之間形成了

6、一種聯(lián)系。(板書) 直線方程f(x)=0它們是怎么聯(lián)系起來(lái)的呢?(認(rèn)知性提示語(yǔ)) 一個(gè)是幾何圖形，一個(gè)是代數(shù)方程，它們?cè)踅酉聛?lái)就是解決問(wèn)題的過(guò)程了，因此把后面的教學(xué)設(shè)計(jì)成為探索解決問(wèn)題的過(guò)程。“怎樣才是解決了這個(gè)問(wèn)題？”“達(dá)到什么要求,就算解決這個(gè)問(wèn)題了?”或者“要達(dá)到的目標(biāo)是什么？”這些問(wèn)題其實(shí)是“元認(rèn)知提示語(yǔ)”，蘊(yùn)藏了思考問(wèn)題的基本方式。這里體現(xiàn)了思考方法的教學(xué)，解決新問(wèn)題的思考方法，或者是一般科學(xué)研究的方法?！按蠹铱粗@個(gè)問(wèn)題，盯著目標(biāo)，理理思路”波利亞提示語(yǔ)。這是對(duì)問(wèn)題的結(jié)論提出猜想的過(guò)程，因而要經(jīng)過(guò)一個(gè)很長(zhǎng)的探索過(guò)程。不能急于求成，而要耐心引導(dǎo)啟發(fā)。(板書)直線?方程(幾何圖形) (

7、代數(shù)等式)如何形成一種聯(lián)系問(wèn)題：“它們?nèi)绾谓⒙?lián)系的？”“這個(gè)方程是通過(guò)什么建立的？”“通過(guò)點(diǎn)?！薄盀槭裁赐ㄟ^(guò)點(diǎn)就能把直線與方程聯(lián)系起來(lái)呢？”(強(qiáng)調(diào)·)“因?yàn)橹本€是點(diǎn)的集合”“為什么直線看成點(diǎn)集就能與方程聯(lián)系起來(lái)呢？”“因?yàn)橛悬c(diǎn)就有坐標(biāo)?！?板書)點(diǎn)(x,y)?！肮嬗悬c(diǎn)就有坐標(biāo)嗎？任畫一點(diǎn)它有坐標(biāo)嗎？”“必須在坐標(biāo)系內(nèi)”。“坐標(biāo)系”。(板書)“有了坐標(biāo)系，點(diǎn)才有了坐標(biāo)。”么聯(lián)系起來(lái)的呢？建立直線方程是通過(guò)什么來(lái)建立的？(認(rèn)知性)生：通過(guò)點(diǎn)(應(yīng)該是直角坐標(biāo)系里的點(diǎn))。師：通過(guò)點(diǎn)就能建立方程嗎？我任意畫一個(gè)點(diǎn)就能建立方程了嗎？(畫一個(gè)點(diǎn))在哪里？點(diǎn)才有坐標(biāo)。(引出坐標(biāo)系是聯(lián)結(jié)點(diǎn))在直角

8、坐標(biāo)系里，點(diǎn)就可以用坐標(biāo)表示了。于是直線就能用方程表示了。(自問(wèn)自答,省時(shí))師：(板書)要注意我們是在直角坐標(biāo)系里說(shuō)話，是通過(guò)直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)建立聯(lián)系的。那為什么通過(guò)直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)，就能把直線與方程聯(lián)系起來(lái)呢?點(diǎn)與線有什么關(guān)系？我們可以把直線看成是什么？看成點(diǎn)的什么？把點(diǎn)看成點(diǎn)的集合。(比較明顯的，自問(wèn)自答)師：把直線看成“點(diǎn)的集合”，通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)，就能把直線與方程聯(lián)系起來(lái)了。是不是?(思路性、研究性的問(wèn)題，也是小總結(jié)，小概括)我們能不能利用這個(gè)例子說(shuō)的具體點(diǎn)？直線l上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程有什么關(guān)系？生：l上點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解。(坐標(biāo)適合方程)師：l上點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解。l上一個(gè)點(diǎn)嗎？生：所有

9、的點(diǎn)。師：直線l上所有的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。這句話怎么用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表示？(強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)表示)在l上任取一點(diǎn)M(x0,y0),(板書)(方法論)因?yàn)閤0=y0，即x0-y0=0，“所以直線與方程究竟通過(guò)什么聯(lián)系呢？”(這個(gè)問(wèn)題的意義在：暗示了判斷“一個(gè)點(diǎn)是否在方程的曲線上”的方法。后面就要用到這個(gè)方法)(路徑出現(xiàn)的先后無(wú)所謂，但序號(hào)不能亂)由的路線圖，得出了一個(gè)結(jié)論：“直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解?！边M(jìn)而概括出“一點(diǎn)不多”的特征來(lái)。(直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，一點(diǎn)不少)這種言簡(jiǎn)意駭?shù)母爬ê苡幸饬x或價(jià)值，形象生動(dòng)，通俗易懂，便于理解，便于掌握，也便于記憶，便于運(yùn)用。監(jiān)控反思，這是元認(rèn)知，是探索

10、過(guò)程中的思考方法檢驗(yàn)?！凹热蛔C明了直線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，那么是否就可以肯定方程就是直線的方程了呢？”“既然直線上每一點(diǎn)坐標(biāo)都是方程的解，那是否就能說(shuō)方程刻畫了直線啦？”“不能”，“你怎么知道不能呢？”“你認(rèn)為不能說(shuō)它是直線的方程，那你怎么來(lái)說(shuō)明呢？”“也就是如何來(lái)說(shuō)明結(jié)論未必正確呢？”“那就要尋找這個(gè)結(jié)論的漏洞?！闭f(shuō)明(x0,y0)是方程y=x，x0的一個(gè)解。直線l®點(diǎn)M(x0,y0)®(x0-y0=0)®方程解這樣一來(lái)就怎么樣呢？l上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的一個(gè)解。也就是說(shuō)，直線上沒(méi)多出來(lái)一點(diǎn)，它的坐標(biāo)不是方程的解?！耙稽c(diǎn)不多”吧？(板書) 一點(diǎn)不多直線

11、上沒(méi)有多余的點(diǎn)，它的坐標(biāo)不是方程y=x，x0的解。我們得出了一個(gè)結(jié)論： (板書)“直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。”一點(diǎn)不多直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。師：現(xiàn)在我們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)直線上所有點(diǎn)坐標(biāo)都是方程的解。那得到這個(gè)結(jié)論，我們是不是就可以認(rèn)定這個(gè)方程是曲線的方程？是不是就可以把它作為判斷方程是直線的方程的條件了?我們的目標(biāo)是什么？是尋找判斷方程是直線方程的條件吧？是不是滿足了這個(gè)條件，就能確認(rèn)這個(gè)方程是直線的方程啦？能不能確認(rèn)？(反思，反省思維，元認(rèn)知、方法論意義)怎么來(lái)檢驗(yàn)，怎么來(lái)研究呢？(方法論意義)師：回想一下，我們前面提到過(guò)，這個(gè)問(wèn)題涉及兩個(gè)方面幾何的直線和代數(shù)的方程。剛才是從哪個(gè)方面

12、研究的？(反思)我們來(lái)回顧剛才的研究過(guò)程：(反思)直線l®點(diǎn)M(x0,y0)®(x0-y0=0)®方程解這樣研究是不是就行了？這是從哪個(gè)方面來(lái)研究的？(反思)是從“直線”這個(gè)方面研究的。僅僅從“直線”一個(gè)方面研究行不行?還應(yīng)該從哪個(gè)方面來(lái)研究？(這里蘊(yùn)含了思考問(wèn)題的方法，否定一個(gè)結(jié)論就是只要尋找漏洞反例。但是尋找反例并不是一件容易的事情，因?yàn)檫@是尋找滿足條件卻不能肯定結(jié)論的例子。所以要耐心引導(dǎo)。)借用已經(jīng)研究過(guò)的問(wèn)題作為反例是極好選擇，因?yàn)閷W(xué)生對(duì)它很熟悉，容易理解和建立聯(lián)系。這是變式的運(yùn)用變式反例。整個(gè)教學(xué)過(guò)程時(shí)時(shí)刻刻貫穿了一般科學(xué)研究方法的學(xué)習(xí)，在提出問(wèn)題解決問(wèn)

13、題過(guò)程中貫穿思考策略的學(xué)習(xí)，即是探索能力的培養(yǎng)。其間，用于啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生的問(wèn)題，問(wèn)的準(zhǔn)確，能起到很好的引導(dǎo)效果。不僅問(wèn)題問(wèn)的準(zhǔn)，而且起啟發(fā)作用的聯(lián)結(jié)性解釋也設(shè)計(jì)到位，如引出，而隱喻“一點(diǎn)不少”；又引出，又引出了。這完全在一種合情推理的進(jìn)程中把探索引向深入，這個(gè)問(wèn)題很好，但可以考慮在其前面添加一個(gè)問(wèn)題：“只滿足一個(gè)條件不能解決問(wèn)題，那該怎么辦呢？”這可以讓學(xué)生想到需要再補(bǔ)充一個(gè)條件，從而由學(xué)生把的答案提出來(lái)。這里體現(xiàn)了一個(gè)原則：盡可能讓學(xué)生提出問(wèn)題，提出有價(jià)值的問(wèn)題，而這個(gè)問(wèn)題的解答其實(shí)并不難，但提出這個(gè)問(wèn)題就不簡(jiǎn)單了，可見“問(wèn)題教學(xué)”中教師提出問(wèn)題固然可以，但最佳選擇是學(xué)生提出問(wèn)題。(如果不行，

14、為什么？(方法論意義)是不是會(huì)有什么漏洞？(方法論意義)你能不能找出漏洞來(lái)？你能不能找出一個(gè)反例？(也可不要學(xué)生找)現(xiàn)在(聯(lián)系圖形)，直線l不含原點(diǎn)，如果把方程y=x(x0)中的限制條件去掉，也就是把(x0)條件去掉，你還能不能說(shuō)這個(gè)方程y=x (已去掉x0)是直線l的方程了?(反例啟發(fā))生：不能。師：不能！為什么？直線上所有點(diǎn)不-還是方程的解嗎？生：因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)解(0,0)為坐標(biāo)的點(diǎn)不在“直線l”上。師：噢！(重復(fù)回答)這是從哪個(gè)方面來(lái)看的？ 從直線還是從方程？)生：從方程的方面來(lái)研究(看的)。(看的什么呢?)師：從方程方面怎么研究？研究什么？(看以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)是否都在直線上。所以還

15、需要從方程的方面提出判斷的條件。你覺(jué)得應(yīng)該提出什么條件呢？)剛才從直線方面研究，提出了判斷條件：直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)是方程解。(已知®未知) 現(xiàn)在從方程方面是研究什么？ 是不是應(yīng)該從相反的方向進(jìn)行研究？ 那你覺(jué)得研究什么？可以提出什么判斷條件？生：以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。師：哦！從方程的方面提出條件是：(邊板書)以方程所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。 用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言怎么表示？(強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)表示,方法論)設(shè)(x0, y0)是方程y=x, x0的任意一個(gè)解，則x0=y0。(邊板書)以這個(gè)解為坐標(biāo)的點(diǎn)為M(x0, y0)，x0= y0，點(diǎn)M(x0, y0)在直線l上。方程與它的解集合等價(jià)，由方

16、程可得到方程的解（x,y）(板書)每一了解對(duì)應(yīng)了解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)(板書路徑)，點(diǎn)(x,y)符合作軌道的直線的條件，表明點(diǎn)(x,y)在直線上(板書)，于是由路線圖得出了一個(gè)結(jié)論：“方程所有的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。進(jìn)而概括出“一點(diǎn)不少”特征。這個(gè)路徑框圖的設(shè)計(jì)是“關(guān)系映射反演原理”的應(yīng)用，體現(xiàn)了一種探索解決新問(wèn)題的方法論思想，是這一原理在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程(不是解題)的非常典型的運(yùn)用。這十分典型地體現(xiàn)出以知識(shí)為載體的學(xué)習(xí)，既獲得了知識(shí),又學(xué)習(xí)了探索解決新問(wèn)題的科學(xué)方法，從而獲得思維的發(fā)展，這個(gè)框圖清晰明了，有利于學(xué)生的思維建構(gòu)，抓住一切能發(fā)展學(xué)生探索能力的機(jī)會(huì)，不放過(guò)任何一個(gè)可以由學(xué)生提出問(wèn)題的

17、機(jī)會(huì)。到這里就把這節(jié)課的主要內(nèi)容探究出來(lái)了，始終是沿著“引導(dǎo)提出問(wèn)題解決問(wèn)題”的探索性進(jìn)程層層深入，一個(gè)問(wèn)題一個(gè)問(wèn)題的解決，并把思考策略、解決問(wèn)題策略貫穿其中。接下來(lái)強(qiáng)化對(duì)“曲線與方程關(guān)系”的認(rèn)識(shí)，方法是利用已經(jīng)學(xué)過(guò)的曲線及其變式，不斷深化對(duì)“曲線與方程關(guān)系”意義的建構(gòu)，與更多的已知知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去建立多方位、多角度聯(lián)系。這不是刺激聯(lián)結(jié)的機(jī)械記憶，而是加強(qiáng)意義的聯(lián)系和建構(gòu)，這說(shuō)明，方程沒(méi)有出現(xiàn)一個(gè)解，以它為坐標(biāo)的點(diǎn)不在直線上?！耙粋€(gè)不少”吧？(板書) 一個(gè)不少方程y=x，x0所有的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。我們得出了一個(gè)結(jié)論： (板書)“方程所有的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上”。一個(gè)不少方程所有的解為坐標(biāo)

18、的點(diǎn)都在直線上師：我們回顧一下研究的過(guò)程：直線上¬點(diǎn)(x0,y0)¬x0=y0¬方程解(x0,y0)這樣我們又從方程的方面說(shuō)明了，以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上?，F(xiàn)在，我們找到了兩個(gè)條件來(lái)判斷方程是直線的方程，一個(gè)是從直線方面的：(小結(jié))一點(diǎn)不多直線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。一個(gè)是從方程方面的：(小結(jié)，教師、學(xué)生都可做)一個(gè)不少方程所有的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線上。一點(diǎn)不多，一點(diǎn)不少。恰恰好。這時(shí)我們可以放心大膽地說(shuō)：方程是直線的方程。這樣就解決了一開始提出的問(wèn)題：怎樣判斷方程的直線？現(xiàn)在我們就知道了：滿足了這兩方面的條件，方程是直線的方程，或者直線是方程的直線。剛

19、才我們研究的是直線，如果是曲線呢？怎么來(lái)判斷方程是曲線的方程？其實(shí)直線就是曲線的一種，那么我們就可以用同樣的方法判斷“曲線的方程”或“方程的曲線”。(主題)現(xiàn)在你們能不能把剛才的判斷條件，表述為“曲線的方程”的判斷條件？生：如果曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解，并且以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上，就稱：曲線是方程的曲線，方程是曲線的方程。師：一個(gè)是從直線方面的：(邊板書) 一點(diǎn)不多曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。一個(gè)是從方程方面的：一個(gè)不少方程所有的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上。它就成為，判斷方程是某條曲線方程的依據(jù)，或證明曲線是某個(gè)方程的曲線的依據(jù)。多方位多角度的聯(lián)系，豐富各種表征，同時(shí)也達(dá)到強(qiáng)化意

20、識(shí)的作用(如何判斷曲線是方程的曲線和方程是曲線的方程)。并且用已知的、熟悉的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)去認(rèn)識(shí)新的數(shù)學(xué)對(duì)象和意義，使得新舊兩方面聯(lián)系更加緊密牢固，同時(shí)也是對(duì)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)改組和重建，原有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)獲得了新的意義。利用“變式”，一個(gè)問(wèn)題變成了兩個(gè)問(wèn)題，由于變式涉及到本質(zhì)和非本質(zhì)屬性的變化，從而起到強(qiáng)大的辯析作用，使學(xué)生對(duì)意義建構(gòu)在熟悉而又變化的情境之上。這就能夠比較容易達(dá)到更加深刻把握本質(zhì)屬性的目的。用已學(xué)過(guò)的內(nèi)容學(xué)習(xí)新的知識(shí)是這節(jié)課的基本思想，從直線拋物線雙曲線圓，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，梯度適中，線索清楚，每個(gè)例子既都由學(xué)生提出，調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性，每個(gè)例子又都不時(shí)機(jī)地適當(dāng)變化，揭示出數(shù)學(xué)

21、的本質(zhì)，表現(xiàn)出創(chuàng)造性的設(shè)計(jì)，這不但激發(fā)學(xué)習(xí)的興趣，而且在不知不覺(jué)中把問(wèn)題引向深入，學(xué)生輕松地或不很吃力地學(xué)到新知識(shí)、新方法、新思想。學(xué)生的能力，特別是探索解決新問(wèn)題的能力得到了潛移默化的發(fā)展，思考方法、思想策略滲透其中，出自于不經(jīng)意之中，十分自然。這節(jié)課學(xué)生始終處在提出問(wèn)題，思考問(wèn)題，解決問(wèn)題之中，處于積極的思想活動(dòng)的狀態(tài)，全身心地投入到教學(xué)活動(dòng)之中，表現(xiàn)出極大的主動(dòng)性，教師以親切師：現(xiàn)在大家能不能以這兩個(gè)條件為依據(jù)來(lái)判斷一個(gè)方程是某一曲線的方程？或者判斷一條曲線是某一個(gè)方程的曲線？以前我們學(xué)過(guò)一些曲線，比如拋物線。師：比如y=x2。這是一函數(shù)，能不能看作是方程？什么是方程？含有未知數(shù)的等式。

22、y=x2是不是含有未知數(shù)的等式?是的。所以我們可以把y=x2看作是一個(gè)方程。取5個(gè)點(diǎn)把圖畫出來(lái)，大概就是這樣形狀。對(duì)這個(gè)方程，我們能把這條曲線叫作方程的曲線嗎？你怎么來(lái)說(shuō)明？怎么說(shuō)明所畫的拋物線就是這個(gè)方程的曲線？根據(jù)什么來(lái)說(shuō)明？就是根據(jù)剛才得到的兩個(gè)條件，從兩個(gè)方面來(lái)說(shuō)吧？(只要有兩方面，不必說(shuō)清從哪個(gè)方面)生：方程所有的解都在拋物線上。師：能不能說(shuō)的再到位一些。（不否定而是鼓勵(lì)）生：以方程所有解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上，拋物線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解。師：好，再請(qǐng)一個(gè)同學(xué)說(shuō)一說(shuō)。現(xiàn)在我們是不是清楚了？滿足了這兩個(gè)條件，就可以說(shuō)，這個(gè)方程是拋物線的方程，拋物線是這個(gè)方程的曲線。我們來(lái)進(jìn)一步運(yùn)

23、用這個(gè)判斷的依據(jù)。我們來(lái)研究一個(gè)關(guān)于圓的問(wèn)題。“求圓心在原點(diǎn)、半徑為5的圓的方程”。大家動(dòng)筆，怎么求這個(gè)方程。(畫圓)求直線的方程，我們會(huì)，求圓的方程呢？怎么處理?(邊等待,邊提示)大家想，圓是一條曲線，求它的方程，是解析幾何問(wèn)題吧？解析幾何問(wèn)題在哪里解決？在坐標(biāo)系里。好，我們來(lái)建立坐標(biāo)系。(畫坐標(biāo)系) 的口吻，交談的方式，在與學(xué)生的對(duì)話中推動(dòng)教學(xué)的進(jìn)程，師生人格平等，課堂氣氛和諧，教師用諸如“能不能重新組織一下”，“能不能說(shuō)得更到位一些”，特別是分析了學(xué)生回答的不足后，不是否定回答，而是說(shuō)“統(tǒng)一到這個(gè)形式”(正確的)，充分保護(hù)學(xué)生的自尊和人格，使人感到與學(xué)生的交流是一種“心的交流”，學(xué)生活潑

24、愉快，發(fā)言踴躍，滲透了一種健康的情感關(guān)系，有利于學(xué)生心理的健康發(fā)展。前面一直是對(duì)曲線與方程關(guān)系進(jìn)行探索和意義的理解，沒(méi)有涉及曲線與方程關(guān)系定義的運(yùn)用，比如“如何證明曲線上所有點(diǎn)的坐標(biāo)是方程的解”，“如何證明以方程的解為坐標(biāo)的所有點(diǎn)都在曲線上”。教學(xué)中選擇就圓與其方程的關(guān)系作為判斷論證的例子，蘊(yùn)含匠心。一方面學(xué)生此前只學(xué)過(guò)求直線方程，而沒(méi)學(xué)過(guò)求曲線的方程，另一方面學(xué)生對(duì)圓熟悉，圖形簡(jiǎn)單特點(diǎn)突出，因此對(duì)學(xué)生這是既老又新的問(wèn)題，既是挑戰(zhàn)，又力所能及，屬于“最近發(fā)展區(qū)”的范圍內(nèi)。最終學(xué)生得到的結(jié)果(2個(gè)方程)都在情理之中，正好構(gòu)成辯析曲線與方程關(guān)系本質(zhì)特征的典型問(wèn)題。用圓來(lái)讓學(xué)生學(xué)習(xí)如何證明符合兩個(gè)條

25、件，很合適。因?yàn)槠渥C明過(guò)程不是很難，這就可以突出主題：證明符合兩個(gè)條件；如果證明本身很難，就容易偏離主題，使學(xué)生關(guān)注非本質(zhì)的方面，偏離主題。有的教師偏愛(ài)難題，其實(shí)反而沖淡主題，適得其反。著名求什么？求圓的方程。方程是什么？含有未知量的等式。也就是求一個(gè)等式。根據(jù)已知條件能不能建立這樣的等式?大家思考一下，把這個(gè)方程寫出來(lái)。師：(3分鐘后)哪位同學(xué)說(shuō)說(shuō)看？生：x2 + y2 = 25。師：他求出來(lái)了。有沒(méi)有不同意見？生：y= (-5x5)。師：(板書)2個(gè)結(jié)果，分別叫它們方程、方程?，F(xiàn)在同一條曲線圓，出現(xiàn)了兩個(gè)方程，哪一個(gè)是圓的方程呢？需要判斷吧？根據(jù)什么來(lái)判斷呢？前面我們得到的結(jié)論應(yīng)該有用了吧

26、？大家思考一下，哪一個(gè)方程是原的方程。生：方程是圓的方程，不是。師：你根據(jù)什么說(shuō)方程的不是圓的方程呢？要從兩方面考慮吧？從哪兩個(gè)方面？生：從曲線和方程兩個(gè)方面。師：你想先從哪個(gè)方面來(lái)說(shuō)？怎么說(shuō)？生：方程里y取不到負(fù)值。師：y取不到負(fù)值說(shuō)明什么？生：師：你能不能舉一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明？(抽象表述難些)生：能，(0, -5)這點(diǎn)，在圓上；但不是方程的解。(思考方法尋找反例)師：所以呢？生：方程不是圓的方程。(這個(gè)“統(tǒng)一到”用的好)師：好, 我們把所求方程統(tǒng)一到方程的形式。師：你怎么說(shuō)明方程是所求圓的方程呢？要說(shuō)明它滿足兩方面的條件吧？(反復(fù)強(qiáng)調(diào))我們來(lái)簡(jiǎn)單地證明一下。從曲線方面要說(shuō)明什么？生：圓上每個(gè)點(diǎn)

27、的坐標(biāo)都是方程的解。師：圓周上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，你總不能把每個(gè)點(diǎn)拿來(lái)驗(yàn)證一下吧？顯然不行！怎么辦？假如現(xiàn)有1000件產(chǎn)品，它的合格率是100%，你怎么來(lái)檢查？需不需要每件都來(lái)檢查一遍?(用簡(jiǎn)單例子啟發(fā))生：不需要,只要隨便抽取一個(gè)檢查一下就行了。師：那在我們這個(gè)問(wèn)題中呢？(類比，遷移)(這個(gè)過(guò)程前后約3-4分鐘給學(xué)生留有較充分的時(shí)間)數(shù)學(xué)家策莫羅有一句名言：“請(qǐng)把你的聽眾當(dāng)作笨驢”。意在說(shuō)明要用簡(jiǎn)單的易懂的東西說(shuō)明復(fù)雜困難的對(duì)象，才是教學(xué)的最佳選擇。在分析第二種形式方程不符合本質(zhì)的過(guò)程中，暗示思考方法，引導(dǎo)尋找反例，突出判斷的兩個(gè)條件缺一不可，深入揭示曲線與方程關(guān)系的本質(zhì)。如何檢驗(yàn)和證明無(wú)數(shù)個(gè)對(duì)象的

28、性質(zhì)，這是一個(gè)基本思考方法的問(wèn)題，但是要講清這個(gè)方法。也是只需要用最簡(jiǎn)單明白的例子就行了，能揭示方法的實(shí)質(zhì)以及如何用就行了。這些地方都反映了學(xué)生始終處于問(wèn)題之中，思考之中，發(fā)現(xiàn)之中，交流和討論之中，嘗試和調(diào)節(jié)之中。教學(xué)過(guò)程中始終貫穿著思想方法：拿到一個(gè)問(wèn)題應(yīng)該怎么去想，如何由不知到知，由不會(huì)到會(huì)，由不明白到明白。問(wèn)題目標(biāo)是：證明M點(diǎn)坐標(biāo)是方程的解。首先看已有的條件點(diǎn)M(x0，y0)。它是什么？是圓上的任一點(diǎn)。有什么性質(zhì)?到原點(diǎn)距離為5，如何表示？=5(也可從圖上看出來(lái)，實(shí)際教學(xué)如此)得到+ =25。這個(gè)結(jié)果表明(x0，y0)是方程生：只要在圓上任意取一點(diǎn)來(lái)判斷就行了。師：好，在圓上任取一點(diǎn)，如

29、M(x0，y0)（板書）下面要判斷什么？(問(wèn)題是什么？求或證什么？)生：判斷(x0，y0)是方程的解。(當(dāng)作解題過(guò)程處理)師：你怎么來(lái)證明(x0，y0)是方程的解呢？生：把坐標(biāo)代進(jìn)去。師：把(x0,y0)代到哪里？你知道+=嗎？師：哪個(gè)同學(xué)有辦法？生：由點(diǎn)M(x0，y0)作x軸和y軸的垂線，連接OM，就有+ = |OM|2=25。(板書)師：這是利用了圓周上的任意一點(diǎn)M(x0，y0)這個(gè)條件吧？這個(gè)等式表明了什么？生：圓上的任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)是方程的解。師：這樣，就證明了一個(gè)方面的條件滿足了。(完了沒(méi)有？沒(méi)有。)還要證明什么？生：還要證：這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓周上。(這是要判斷的第二個(gè)條件

30、)師：怎么證呢？方程的解也是無(wú)數(shù)個(gè)，那同樣也是取一般情況吧？假設(shè)(x0，y0)是方程任一組解。(板書)如何證明以(x0, y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)在圓周上？(x0, y0)要滿足什么條件？生：要滿足點(diǎn)(x0, y0)到圓心距離等于5。師：用數(shù)學(xué)符號(hào)怎么表示？生：要滿足= 5。因?yàn)?x0，y0)是方程的解，所以適合方程，也就是 + = 25。兩邊開方，取算術(shù)根，得= 5。師：=5說(shuō)明了什么？生：說(shuō)明以(x0，y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)在圓周上！師：(板書)所以點(diǎn)(x0，y0)在圓上。證明了這兩方面的條件，我們就可以放心地說(shuō)明一個(gè)什么結(jié)論？師：說(shuō)明方程x2+y2=25是圓的方程，這個(gè)圓是方程的曲線。師：如果我問(wèn)點(diǎn)P

31、(3，-4)在不在圓周上？生：在！ 師：你怎么來(lái)判斷的？生：把P(3，-4)代入方程看看，32 + (-4)2 = 25。師：這說(shuō)明P(3，-4)坐標(biāo)適合這個(gè)方程，而這的解。所以“怎么辦”這個(gè)問(wèn)題提得必要且恰到好處：對(duì)不明白的人是一種引導(dǎo)， (這個(gè)“怎么辦”問(wèn)的好，引發(fā)學(xué)生思考。始終注意一般研究方法的滲透和培養(yǎng))對(duì)明白的人是一種策略學(xué)習(xí)進(jìn)一步去思考：“它是什么？”“它有什么性質(zhì)”“它反映了什么問(wèn)題？”對(duì)第二個(gè)條件的判斷，要證明：“以(x0，y0)為坐標(biāo)的點(diǎn)在圓上是否到原點(diǎn)距離等于5？是否有 =5？”這還是要經(jīng)歷上述的思考過(guò)程。已有條件一組解(x0，y0).它是什么？是x2+y2=25一組解；有什么性質(zhì)?代入方程等式成立；怎么表示？ + =25（*）。只要在(*)式兩邊開方，取算術(shù)根就得到=5。點(diǎn)(x0，y0)到原點(diǎn)距離