函數(shù)展開成冪級數(shù)教學PPT學習教案

1、會計學1函數(shù)展開成冪級數(shù)教學函數(shù)展開成冪級數(shù)教學上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 存在冪級數(shù)在其收存在冪級數(shù)在其收斂域內(nèi)以斂域內(nèi)以f(x)為和函為和函數(shù)數(shù)問題問題: 1.如果能展開如果能展開, 是什么是什么?na2.展開式是否唯一展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級數(shù)在什么條件下才能展開成冪級數(shù)?第1頁/共27頁證明證明即即內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于在在),()()(000 xfxuxxannn nnxxaxxaaxf)()()(0010 內(nèi)具有任意階導在如果函數(shù)定理oxUxf 1 的冪級數(shù)內(nèi)能展開成且在數(shù)ooxxxU,0nnonxxax

2、f即 , 2 , 1 !10nxfnann則其系數(shù)且展開式是唯一的第2頁/共27頁 )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn即得即得令令,0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann泰勒系數(shù)是唯一的泰勒系數(shù)是唯一的,.)(的展開式是唯一的的展開式是唯一的xf 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項求導任意次逐項求導任意次,得得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)第3頁/共27頁問題問題nnnxxnxfxf)(!)(?)(000)( 泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.nnnxnf 0)(!)0(稱為稱為)(xf在點在點0

3、0 x的的麥克勞林級數(shù)麥克勞林級數(shù) . . 處任意階可導則冪級數(shù)在點如果0 xxf 泰勒級數(shù)稱為在點的000!nnnxxnxf定義定義第4頁/共27頁 0, 00,)(21xxexfx例如例如), 2 , 1 , 0(0)0()( nfn且且 00)(nnxxf的麥氏級數(shù)為的麥氏級數(shù)為. 0)(),( xs內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù)該級數(shù)在該級數(shù)在可見可見).()(,0 xfxfs于于的麥氏級數(shù)處處不收斂的麥氏級數(shù)處處不收斂外外除除 在在x=0點任意可導點任意可導,第5頁/共27頁定理定理 2 2 )(xf在點在點0 x的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù), ,在在)(0 xU 內(nèi)收內(nèi)收斂于斂于)(xf在在)(0 xU

4、 內(nèi)內(nèi)0)(lim xRnn. .證明證明必要性必要性)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii ),()()(1xsxfxRnn ,)(能展開為泰勒級數(shù)能展開為泰勒級數(shù)設(shè)設(shè)xf)()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 第6頁/共27頁充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).()(xfxf的泰勒級數(shù)收斂于的泰勒級數(shù)收斂于 對上有定義，在設(shè)定理, 0 30MxUxf MxfRxRxxn恒有,00 內(nèi)可展在則，RxRxxfn00,),2 ,

5、 1 , 0(的泰勒級數(shù)開成點0 x泰勒級數(shù)的開成點0 x泰勒級數(shù)的開成點0 x第7頁/共27頁證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx ,),()!1(010收斂收斂在在 nnnxx, 0)!1(lim10 nxxnn, 0)(lim xRnn故故.0的泰勒級數(shù)的泰勒級數(shù)可展成點可展成點x),(00RxRxx 第8頁/共27頁1.1.直接法直接法( (泰勒級數(shù)法泰勒級數(shù)法) )步驟步驟:;!)()1(0)(nxfann 求求,)(0lim)2()(MxfRnnn 或或討論討論).(xf斂于斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收則級數(shù)在收斂區(qū)

6、間內(nèi)收第9頁/共27頁例例1解解.)(展開成冪級數(shù)展開成冪級數(shù)將將xexf ,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()( nfn nxxnxxe!1! 2112, 0 M上上在在,MM xnexf )()(Me ), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性,即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx第10頁/共27頁例例2.sin)(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xxxf 解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n

7、)()(xfn且且)2sin( nx1 ),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x第11頁/共27頁例例3.)()1()(的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成將將xRxxf 解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R第12頁/共27頁若若內(nèi)內(nèi)在在,)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !)1()

8、1(!)()1()!1()1()1(nnmmmnnmmnnmm 利用利用第13頁/共27頁)()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 第14頁/共27頁即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2)1 , 1( x牛頓二項式展開式牛頓二項式展開式注意注意: :.1的取值有關(guān)的取值有關(guān)處收斂性與處收斂性與在在 x);1 , 1(

9、1 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為;1 , 1(11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為.1 , 11 收收斂斂區(qū)區(qū)間間為為第15頁/共27頁有有時時當當,21, 1 )1 , 1()1(11132 nnxxxxx1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘第16頁/共27頁2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, 利用常見展開式利用常見展開式, 通過通過變量代換變量代換, 四則運算四則運算, 恒等變形恒等變形, 逐項求導逐項求導, 逐項積分逐項積分等方等方法法,求展開式

10、求展開式.例如例如)(sincos xx )!2()1(! 41! 211cos242nxxxxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn第17頁/共27頁 xxdxx021arctan 12)1(51311253nxxxxnn 1 , 1 x xxdxx01)1ln( nxxxxnn 132)1(31211 , 1( x第18頁/共27頁例例4處展開成泰勒級數(shù)處展開成泰勒級數(shù)在在將將141)( xxxxf解解).1()1()(nfx并求并求的冪級數(shù)的冪級數(shù)展開成展開成 )1(3141 xx,)311(31 x)31()31(311 312 nxxx31 x

11、第19頁/共27頁xxxx 41)1(41 nnxxxx3)1(3)1(3)1()1(31332231 x!)1()(nfn于是于是.3!)1()(nnnf 故故,31n 第20頁/共27頁1.如何求函數(shù)的泰勒級數(shù)如何求函數(shù)的泰勒級數(shù);2.泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件泰勒級數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法.第21頁/共27頁思考思考題題什么叫冪級數(shù)的間接展開法？什么叫冪級數(shù)的間接展開法？第22頁/共27頁思考題解答思考題解答 從已知的展開式出發(fā)從已知的展開式出發(fā), 通過變量代換、四則運通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法算或逐項求導、逐項積分等辦

12、法,求出給定函數(shù)求出給定函數(shù)展開式的方法稱之展開式的方法稱之.第23頁/共27頁一一、 將將下下列列函函數(shù)數(shù)展展開開成成x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間: : 1 1、xa； 2 2、)1ln()1(xx ; ; 3 3、xarcsin； 4 4、3)1(1xx . .二二、 將將函函數(shù)數(shù)3)(xxf 展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù), ,并并求求展展開開式式成成立立的的區(qū)區(qū)間間 . .三三、 將將 函函 數(shù)數(shù)231)(2 xxxf展展 開開 成成)4( x的的 冪冪 級級數(shù)數(shù) . .四四、 將將級級數(shù)數(shù) 11211)!12(2)1(nnnnnx的的和和函函數(shù)數(shù)展展開開成成)1( x的的冪冪級級數(shù)數(shù) . .練練 習習 題題第24頁/共27頁練習題答案練習題答案一、一、1 1、)(!)(ln0 xxnannn； 2 2、)11()1()1(111 xxnnxnnn； 3 3、)11()2()12() !()!2(21122 xxnnnxn