定積分的應(yīng)用教案

1、課題7.4 定積分的應(yīng)用課 型新 授課 時(shí)2教學(xué)目標(biāo)1、鞏固定積分的幾何意義及計(jì)算；2、掌握用定積分求直角坐標(biāo)系下平面圖形的面積的方法；3、綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)意識(shí)。 教 學(xué)重 點(diǎn)難 點(diǎn)重點(diǎn)：應(yīng)用定積分解決平面圖形的面積，體會(huì)定積分的價(jià)值。難點(diǎn)：如何選擇積分變量，確定被積函數(shù)。教 學(xué)方 法講練法，行為引導(dǎo)法，討論分析法，分層教學(xué)法。教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教學(xué)過程教 學(xué) 程 序師 生 活 動(dòng)設(shè)計(jì)意圖情景導(dǎo)入復(fù)習(xí)提問新課講授新課講授新課講授新課講授新課講授鞏固練習(xí)成果展示教師點(diǎn)評(píng)個(gè)別提問應(yīng)用提升師生活動(dòng)教師點(diǎn)評(píng)互動(dòng)小結(jié)作業(yè)布

2、置展示周莊的拱橋圖片，講述古代數(shù)學(xué)家的故事及偉大發(fā)現(xiàn)：拱形的面積【課件展示】拱橋圖片問：橋拱的面積如何求解呢？答：【學(xué)生活動(dòng)】本環(huán)節(jié)安排學(xué)生討論，自主發(fā)現(xiàn)解決問題方向定積分跟面積的關(guān)系1、定積分的概念、幾何意義是什么？.2、定積分的計(jì)算方法有哪些？ 【學(xué)生訓(xùn)練】練習(xí)一計(jì)算 計(jì)算 【學(xué)生活動(dòng)】思考口答【課件展示】定積分表示的幾何圖形、練習(xí)答案. 0yx 【問題探究】（一）、探究由曲線所圍平面圖形的面積abXA0y【學(xué)生活動(dòng)】思考、探究、討論【課件展示】 展示結(jié)論【教師簡(jiǎn)單點(diǎn)評(píng)】探索到的結(jié)論一定可行嗎？這就需要通過實(shí)踐來檢驗(yàn)。【例題實(shí)踐】例計(jì)算由曲線與所圍圖形的面積【師生活動(dòng)】探究解法的過程.1.

3、找到圖形-畫圖得到曲邊形.2.曲邊形面積解法-轉(zhuǎn)化為曲邊梯形，做出輔助線3.定積分表示曲邊梯形面積-確定積分區(qū)間、被積函數(shù).4.計(jì)算定積分.【板書】根據(jù)師生探究的思路板書主要分析過程xyOABCD11-1-1解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積.解方程組得到交點(diǎn)橫坐標(biāo)為及 曲邊梯形OABC 曲邊梯形OABD【鞏固練習(xí)】練習(xí)3求下列曲線圍成的圖形1.y=ex, y=e, x=0 2.y=x3, y=2x【問題探究】（二）、定積分表示曲邊梯形面積的兩種形式練習(xí)2用定積分表示陰影部分面積xyNMOabABCDxyNMOabABCD 圖1 圖2【學(xué)生活動(dòng)】回憶并口答圖1的答案；引導(dǎo)學(xué)生由x為積分

4、變量的定積分類型來發(fā)現(xiàn)以y為積分變量的另一種定積分類型?！镜贸鼋Y(jié)論】定積分表示曲邊梯形面積的兩種類型. 【板書】配合學(xué)生探究的進(jìn)展書寫推理的過程.【課件展示】圖1 選擇X為積分變量，曲邊梯形面積為圖2 選擇Y為積分變量，曲邊梯形面積為【例題實(shí)踐】例計(jì)算由與所圍圖形的面積.【師生活動(dòng)】討論探究解法的過程（同例1）【板書】根據(jù)師生探究的思路板書重要分析過程.【課件展示】解答過程解：作出草圖，所求面積為圖中陰影部分的面積解方程組得到交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,-2)及(8,4)選為積分變量【抽象歸納】（三）解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生根據(jù)例題探究的過程來歸納【教師點(diǎn)評(píng)】幫助學(xué)生修改、提煉

5、，強(qiáng)調(diào)注意選擇y型積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù) .【課件展示】解由曲線所圍的平面圖形面積的解題步驟：1畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)2將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積3根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量（注意選擇y型積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù)）4確定被積函數(shù)和積分區(qū)間5計(jì)算定積分，求出面積.練習(xí)計(jì)算由曲線與及、所圍平面圖形的面積【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考邀請(qǐng)一位同學(xué)把自己的成果展示給大家xyO1S1S2 【師生活動(dòng)】解答思路清晰，表達(dá)正確問：此題還有其他解法嗎？答： 所以只算一個(gè)A，取2倍就可以了.做的漂亮，解題時(shí)要注意發(fā)現(xiàn)題目的特征，聯(lián)系我們以前的知識(shí)將問題化簡(jiǎn)后再解答，提

6、高效率.【例題實(shí)踐】例3求橢圓所圍成的面積【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立思考.請(qǐng)一位同學(xué)講解這道題目【課件展示】解題步驟hb如圖，一橋拱的形狀為拋物線，已知該拋物線拱的高為常數(shù)h，寬為常數(shù)b求拋物線拱的面積探究解題方法1.建立平面直角坐標(biāo)系 確定拋物線方程2.求由曲線圍成的平面圖形面積的解題步驟xhby0問：如何建立平面直角坐標(biāo)系會(huì)使得拋物線方程的求解簡(jiǎn)單答：以拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系.【學(xué)生活動(dòng)】學(xué)生獨(dú)立求解拋物線方程.投影學(xué)生練習(xí)如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)拋物線方，代拋物線上一點(diǎn)入方程，則有 解得 ，所以拋物線方程為 .在投影中與全班同學(xué)一起點(diǎn)評(píng)學(xué)生的練習(xí).【師生活動(dòng)】探究、并在投影中完成

7、該題問：所求圖形有什么特點(diǎn)？答：左右對(duì)稱；可以解答一半取2倍.【成果展示】在黑板上與學(xué)生共同完成設(shè)一半的面積為S，則有 問：本節(jié)課我們做了什么探究活動(dòng)呢？答：用定積分解曲邊形面積。問：如何用定積分解決曲邊形面積問題呢？答：1.畫草圖，求出曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)2.將曲邊形面積轉(zhuǎn)化為曲邊梯形面積3.根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)姆e分變量（注意選擇y型積分變量時(shí)，要把函數(shù)變形成用y表示x的函數(shù)）4.確定被積函數(shù)和積分區(qū)間5.計(jì)算定積分，求出面積問：解答曲線所圍的平面圖形面積時(shí)須注意什么問題？答：選擇最優(yōu)化的積分變量；根據(jù)圖形特點(diǎn)選擇最優(yōu)化的解題方法.問：體會(huì)到什么樣的數(shù)學(xué)研究思路及方法呢？答：從問題出發(fā)，聯(lián)系相關(guān)

8、知識(shí)，探究出解決問題的思路，通過實(shí)踐的檢驗(yàn)得到一般方法，通過練習(xí)鞏固，通過應(yīng)用提升。課本16312（1、2、5、6、）【課外思考】有一水溝，溝沿是兩條長(zhǎng)100米的平行線段，溝寬2米，與溝沿垂直平面溝的交線是一條拋物線，頂點(diǎn)為0點(diǎn)，對(duì)稱軸與地面垂直，溝深為1.5米，水深1米，問：溝中的水有多少立方米？設(shè)下懸念，以激發(fā)學(xué)生的探索激情，為后面作開啟性的鋪墊。復(fù)習(xí)定積分的幾何意義及計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生復(fù)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣。復(fù)習(xí)定積分的幾何意義培養(yǎng)學(xué)生樂于嘗試、敢于創(chuàng)新的精神。鞏固了學(xué)生的作圖能力，在尋找曲邊梯形的過程中提高了學(xué)生的想象能力。完成了一般理論和具體問題的有機(jī)結(jié)合，初步達(dá)到了識(shí)記的目標(biāo)，突出了教學(xué)重點(diǎn)。

9、培養(yǎng)學(xué)生用發(fā)展、聯(lián)系的哲學(xué)思想解決問題使學(xué)生懂得如何靈活選擇積分變量，確定被積函數(shù)，通過該題突破教學(xué)難點(diǎn)。探索到的結(jié)果通過實(shí)踐，學(xué)生都得到了一些解題心得，及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行抽象歸納。通過學(xué)生做這題體現(xiàn)分層教育法，使不同層次的學(xué)生都有不同的提高。鞏固解題方法，鍛煉發(fā)散思維把本節(jié)課的探究活動(dòng)推向高潮，解決了前面設(shè)下的懸念的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了生活中的實(shí)際問題與抽象數(shù)學(xué)的完美結(jié)合。鞏固定積分解題的基本方法和步驟。提問式的課堂小結(jié)，目的在于調(diào)動(dòng)學(xué)生積極參與梳理知識(shí)的過程，培養(yǎng)學(xué)生在探究之后整合知識(shí)的能力。作業(yè)即是探究活動(dòng)的一種延續(xù)。給學(xué)生留出空間，開闊思路，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力。教 學(xué)反 思定積分

10、的發(fā)展經(jīng)過了幾百年的歷史，所以學(xué)生在短短的兩節(jié)課能加以熟練應(yīng)用比較困難，所以新課講授開始，首先課件動(dòng)畫展示曲線圍城的面積，讓學(xué)生探究由曲線所圍圖形的面積，通過動(dòng)畫演示得出用定積分表式計(jì)算公式，突出本節(jié)課的重點(diǎn)。即：面積計(jì)算公式，接著用例題鞏固公式，示范板書過程后，用動(dòng)畫演示，如何再求面積這樣加強(qiáng)圖形的直觀性，方便學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握。針對(duì)不同形狀的圖形選擇合理的積分變量，分析討論得出兩種形式。說明選擇積分變量存在合理性學(xué)生在做題的過程中也能體會(huì)到選用哪種積分變量方便解題，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。通過上面幾個(gè)例題的分析、實(shí)踐，學(xué)生都得到了一些解題心得，及時(shí)指導(dǎo)學(xué)生抽象歸納，最后課件展示結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生的歸納綜合能力。為了體現(xiàn)分層教學(xué)法特意補(bǔ)充了一道應(yīng)用提升題把本節(jié)課的探究活動(dòng)推向高潮，解決了前面設(shè)下的懸念，同時(shí)體現(xiàn)了生活中的實(shí)際問題與抽象數(shù)學(xué)的完美結(jié)合。最后是互動(dòng)小節(jié)，一問一答讓