Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介ppt課件

1、線性代數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 教學(xué)目的：通過(guò)本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生更深刻理解方陣相似對(duì)角矩陣的內(nèi)涵,了解不能相似于對(duì)角矩陣的方陣可相似于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)要求：正確理解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的概念，掌握求一個(gè)方陣的初等因子組和化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法. 教學(xué)重點(diǎn)：求一個(gè)方陣的初等因子組和化教學(xué)重點(diǎn)：求一個(gè)方陣的初等因子組和化Jordan標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形的方法形的方法. 教學(xué)難點(diǎn)：化方陣為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)時(shí)間：教學(xué)時(shí)間：2學(xué)時(shí)學(xué)時(shí).機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 *6 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介第五章 *6 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介標(biāo)準(zhǔn)形簡(jiǎn)介 我們?cè)谟懻摲疥嚨膶?duì)角化時(shí)知

2、道,并不是所有的方陣都能化成對(duì)角陣,那末,在普遍意義上,矩陣在相似關(guān)系下的最簡(jiǎn)形是否存在?如果存在又取何種形式？Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的相關(guān)結(jié)果就完美地回答了這一問(wèn)題. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論的建立需要較多的其它代數(shù)知識(shí).限于需要和可能，我們僅從實(shí)用的角度介紹Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論的主要結(jié)果及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的具體求法. 6.1多項(xiàng)式矩陣及其初等變換多項(xiàng)式矩陣及其初等變換 定義6.1 如果矩陣中每個(gè)元素都是變量的多項(xiàng)式，則稱該多項(xiàng)式為的多項(xiàng)式矩陣，簡(jiǎn)稱-矩陣. 元素是數(shù)的矩陣稱為數(shù)元矩陣，數(shù)元矩陣是特殊的多項(xiàng)式矩陣.第五章機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 定義6.2 對(duì)多項(xiàng)式矩陣A()的如下三

3、種變換統(tǒng)稱為初等變換. i用一個(gè)非零數(shù)k乘A()的某行列）； ii將A()中的某行(列)的g()倍加于另一行(列)(其中g(shù)()是的多項(xiàng)式)； iii互換A()的兩行(列). 定義定義6.3 設(shè)設(shè)A()和和B()是兩個(gè)同型的多項(xiàng)式矩陣，如果是兩個(gè)同型的多項(xiàng)式矩陣，如果A()可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換化為B()，則說(shuō)，則說(shuō)A() 與與B()等價(jià)，記作等價(jià)，記作A() B(). 對(duì)于n階數(shù)元矩陣A，其特征矩陣E-A是一個(gè)特定的多項(xiàng)式矩陣.關(guān)于特征矩陣有如下的結(jié)論.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 定理定理6.1 對(duì)于對(duì)于n階數(shù)元矩陣階數(shù)元矩陣A ，總有，總有12( )( )(

4、 ),( )ngggEAG其中g(shù)1(), g2(), gn()都是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式.并且 |E-A|= g1() g2() gn(). （*） 由于E-A經(jīng)過(guò)有限次的初等變換得到G()，根據(jù)初等變換對(duì)矩陣相應(yīng)行列式的影響，可知|G()|與|E-A|最多相差非零常數(shù)倍.再注意到|G()|與|E-A|都是首項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，便知（*）成立.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 定義定義6.4 對(duì)于對(duì)于n階數(shù)元矩陣階數(shù)元矩陣A ，設(shè)，設(shè)E-A經(jīng)過(guò)初等變換經(jīng)過(guò)初等變換化為對(duì)角矩陣化為對(duì)角矩陣G().將將g1(), g2(), gn()中的每個(gè)非常數(shù)中的每個(gè)非常數(shù)多項(xiàng)式做復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解，各分解式

5、中的每一個(gè)一次多項(xiàng)式做復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解，各分解式中的每一個(gè)一次因式方冪稱為矩陣因式方冪稱為矩陣A的一個(gè)初等因子，初等因子的全體成的一個(gè)初等因子，初等因子的全體成為為A的初等因子組的初等因子組. 例如，對(duì)于2階數(shù)元矩陣A，若有211,(1)1(1)EA 則A的初等因子組為 ， -1， ，( -1)2. 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 由定義6.4 及（*）知： 1方陣A的所有初等因子的乘積就是A的特征多項(xiàng)式； 2每個(gè)初等因子都和矩陣A的某個(gè)特征值相應(yīng)，即如果 是A的一個(gè)初等因子,則i一定是A的一個(gè)特征值；()imi 3n階方陣A的所有初等因子冪次之和恰為n. 在此必須指出:方陣A與某一特征

6、值相應(yīng)的初等因子未必只有一個(gè).因此,一般不能從A的特征多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式1212( )() ()()tnnnt 直接得到初等因子組為 1212() ()() .tnnnt 為求給定方陣A的初等因子組，需要對(duì)特征矩陣E-A進(jìn)行適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q將其化為對(duì)角矩陣.這樣的對(duì)角矩陣并不惟一.由此會(huì)不會(huì)導(dǎo)致初等因子組的不同呢？可以證明，在不計(jì)各初等因子組相互次序的意義下，給定方陣A的初等因子組是惟一的，不會(huì)因?yàn)镋-A所化成的對(duì)角矩陣不同而有所改變.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例6.1 求矩陣求矩陣110430005A 的初等因子組. 解解 對(duì)對(duì)E-A進(jìn)行初等變換如下：進(jìn)行初等變換如下：110430

7、005EA12110340005cc 12110(1)340005cc 121(3)2( 1)100,0(1)0005rrr 由此得A的初等因子為：(-1)2, -5.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 6.2 矩陣的矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 定理定理6.2 在復(fù)數(shù)域上在復(fù)數(shù)域上,如果如果n階矩陣階矩陣A的全部初等因子的全部初等因子為為1212() ,(),() .smmms那么12,sJJAJJ其中11,121iiiiiimmi= , ,s.J 定理6.2中的分塊對(duì)角矩陣J稱為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,簡(jiǎn)稱為Jordan形. Jordan形J中的各個(gè)小塊J1,J2,Js稱為Jordan塊

8、.顯然,每個(gè)Jordan塊Ji恰于A的一個(gè)初等因子 相對(duì)應(yīng).()imi 在例6.1中，矩陣A的初等因子組為(-1), -5,與之相應(yīng)的兩個(gè)Jordan塊為1211,(5).1 JJ于是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為1211.15JJJ亦可以寫成215.111JJJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例6.2 求矩陣求矩陣111102111A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 解對(duì)解對(duì)A的特征矩陣的特征矩陣E-A進(jìn)行初等變換化為對(duì)角矩陣，進(jìn)行初等變換化為對(duì)角矩陣，11112111EA1311112111rr 1213(1)210011312c cc c 1213(1)210001302-r rr r 12( 1

9、)( 1)210001302rr 3222100013302rr 232321000133002- rr 2233(33)( 1)2100.01000(1)ccr 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 與兩個(gè)初等因子相應(yīng)的Jordan小塊分別為 對(duì)所得的對(duì)角矩陣主對(duì)角元素的非常數(shù)多項(xiàng)式進(jìn)行復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解，可得A的初等因子組為 ， (+1)2. 1211(0),1 JJ于是可得A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形120.111JJJ機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例6.3 求矩陣求矩陣1000112000002021A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 解解 對(duì)的特征矩陣對(duì)的特征矩陣E-A進(jìn)行初等變換化為對(duì)角矩陣

10、，進(jìn)行初等變換化為對(duì)角矩陣，100011200002021EA機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 12112010000002021rr 12142(1)211200(1)2(1)000002(1)21rrrr 12134222(1)2(1)10000(1)0(1)00002(1)21cc ccrr 1242( 1)10000(1)0000002(1)2(1)ccc 2422( 1)210000(1)00000002(1)rcc 44212( 2)10000(1)000000021rc 34210000(1)000011000rr 34210000(1)000011000(1)- rr 344

11、2(1)( 1)10000(1)00.0010000(1)ccr A的初等因子組為的初等因子組為 ，-1， (-1)2.于是得A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形01.111J 10 對(duì)于給定的方陣A，在不計(jì)各Jordan塊排列次序的意義下，A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是惟一的. 20 方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J是上三角形矩陣，其主對(duì)角線上的元素恰是A的特征值. 30 對(duì)角矩陣本身即是Jordan形，它的每一個(gè)對(duì)角元都是一個(gè)一階的Jordan塊.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 定理定理6.3 兩個(gè)同階方陣相似的充分必要條件是它們的兩個(gè)同階方陣相似的充分必要條件是它們的Jordan形一致這里形一致這里“一致一

12、致的含義是可以經(jīng)過(guò)的含義是可以經(jīng)過(guò)Jordan塊排列塊排列次序的調(diào)整而得到的相同的次序的調(diào)整而得到的相同的Jordan形）形）. 證明證明 必要性必要性.設(shè)設(shè)AB，則有可逆矩陣，則有可逆矩陣P使使P-1AP=B.于是于是P-1(E-A)P= P-1P- P-1AP= E-B.這說(shuō)明E-A與E-B等價(jià),它們可以經(jīng)初等變換化為同一對(duì)角矩陣G().因此A與B的初等因子組一致，進(jìn)而Jordan形一致. 充分性.不妨設(shè)A與B的Jordan形同為J，則A、B同于J類似，因而AB.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 定理定理6.4 矩陣矩陣A能與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是能與對(duì)角矩陣相似的充分必要條件是它

13、的初等因子全為一次式它的初等因子全為一次式. 證明證明 若若A相似于對(duì)角矩陣相似于對(duì)角矩陣12,n 那么已是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.可見(jiàn)A的初等因子組為-1， -2， -n .它們?nèi)珵橐淮问? 反之,若A的初等因子全為一次式,則A的所有的Jordan塊全為一階，A的Jordan形顯然為對(duì)角矩陣.它當(dāng)然與A相似.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 例例6.4 證明證明:如果如果n階矩陣階矩陣A的全部特征值是的全部特征值是1, 2, ,n,則矩陣則矩陣Am的全部特征值恰是的全部特征值恰是1m, 2m, ,nm(這里這里1, 2, ,n中可以有一些相同的數(shù)中可以有一些相同的數(shù) ). 證明證明 不妨設(shè)特征值不妨設(shè)特征值1, 2, ,n中相同的都順序相鄰中相同的都順序相鄰,并并設(shè)設(shè)A的的Jordan形為形為1122.sn*JJJJ 由AJ可知AmJm.利用上三角形矩陣冪運(yùn)算的結(jié)果可知機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 前往 終了 12.mmmmn*J Jm是上三角形矩陣是上三角形矩陣,它的全部特征值就是全部主對(duì)角元它的全部特征值就是全部主對(duì)角元1m, 2m, ,nm.這也就是這也就是A的全部特征值的全部特征值. 與例6.4類似,可得