Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡介ppt課件

1、線性代數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 教學(xué)目的：通過本節(jié)的教學(xué)使學(xué)生更深刻理解方陣相似對角矩陣的內(nèi)涵,了解不能相似于對角矩陣的方陣可相似于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)要求：正確理解Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的概念，掌握求一個方陣的初等因子組和化Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的方法. 教學(xué)重點：求一個方陣的初等因子組和化教學(xué)重點：求一個方陣的初等因子組和化Jordan標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)形的方法形的方法. 教學(xué)難點：化方陣為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 教學(xué)時間：教學(xué)時間：2學(xué)時學(xué)時.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 *6 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡介標(biāo)準(zhǔn)形簡介第五章 *6 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形簡介標(biāo)準(zhǔn)形簡介 我們在討論方陣的對角化時知

2、道,并不是所有的方陣都能化成對角陣,那末,在普遍意義上,矩陣在相似關(guān)系下的最簡形是否存在?如果存在又取何種形式？Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的相關(guān)結(jié)果就完美地回答了這一問題. Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論的建立需要較多的其它代數(shù)知識.限于需要和可能，我們僅從實用的角度介紹Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論的主要結(jié)果及Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的具體求法. 6.1多項式矩陣及其初等變換多項式矩陣及其初等變換 定義6.1 如果矩陣中每個元素都是變量的多項式，則稱該多項式為的多項式矩陣，簡稱-矩陣. 元素是數(shù)的矩陣稱為數(shù)元矩陣，數(shù)元矩陣是特殊的多項式矩陣.第五章機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義6.2 對多項式矩陣A()的如下三

3、種變換統(tǒng)稱為初等變換. i用一個非零數(shù)k乘A()的某行列）； ii將A()中的某行(列)的g()倍加于另一行(列)(其中g(shù)()是的多項式)； iii互換A()的兩行(列). 定義定義6.3 設(shè)設(shè)A()和和B()是兩個同型的多項式矩陣，如果是兩個同型的多項式矩陣，如果A()可以經(jīng)過有限次初等變換化為可以經(jīng)過有限次初等變換化為B()，則說，則說A() 與與B()等價，記作等價，記作A() B(). 對于n階數(shù)元矩陣A，其特征矩陣E-A是一個特定的多項式矩陣.關(guān)于特征矩陣有如下的結(jié)論.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理6.1 對于對于n階數(shù)元矩陣階數(shù)元矩陣A ，總有，總有12( )( )(

4、 ),( )ngggEAG其中g(shù)1(), g2(), gn()都是首項系數(shù)為1的多項式.并且 |E-A|= g1() g2() gn(). （*） 由于E-A經(jīng)過有限次的初等變換得到G()，根據(jù)初等變換對矩陣相應(yīng)行列式的影響，可知|G()|與|E-A|最多相差非零常數(shù)倍.再注意到|G()|與|E-A|都是首項系數(shù)為1的多項式，便知（*）成立.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定義定義6.4 對于對于n階數(shù)元矩陣階數(shù)元矩陣A ，設(shè)，設(shè)E-A經(jīng)過初等變換經(jīng)過初等變換化為對角矩陣化為對角矩陣G().將將g1(), g2(), gn()中的每個非常數(shù)中的每個非常數(shù)多項式做復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解，各分解式

5、中的每一個一次多項式做復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解，各分解式中的每一個一次因式方冪稱為矩陣因式方冪稱為矩陣A的一個初等因子，初等因子的全體成的一個初等因子，初等因子的全體成為為A的初等因子組的初等因子組. 例如，對于2階數(shù)元矩陣A，若有211,(1)1(1)EA 則A的初等因子組為 ， -1， ，( -1)2. 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 由定義6.4 及（*）知： 1方陣A的所有初等因子的乘積就是A的特征多項式； 2每個初等因子都和矩陣A的某個特征值相應(yīng)，即如果 是A的一個初等因子,則i一定是A的一個特征值；()imi 3n階方陣A的所有初等因子冪次之和恰為n. 在此必須指出:方陣A與某一特征

6、值相應(yīng)的初等因子未必只有一個.因此,一般不能從A的特征多項式的標(biāo)準(zhǔn)分解式1212( )() ()()tnnnt 直接得到初等因子組為 1212() ()() .tnnnt 為求給定方陣A的初等因子組，需要對特征矩陣E-A進行適當(dāng)?shù)某醯茸儞Q將其化為對角矩陣.這樣的對角矩陣并不惟一.由此會不會導(dǎo)致初等因子組的不同呢？可以證明，在不計各初等因子組相互次序的意義下，給定方陣A的初等因子組是惟一的，不會因為E-A所化成的對角矩陣不同而有所改變.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6.1 求矩陣求矩陣110430005A 的初等因子組. 解解 對對E-A進行初等變換如下：進行初等變換如下：110430

7、005EA12110340005cc 12110(1)340005cc 121(3)2( 1)100,0(1)0005rrr 由此得A的初等因子為：(-1)2, -5.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 6.2 矩陣的矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形 定理定理6.2 在復(fù)數(shù)域上在復(fù)數(shù)域上,如果如果n階矩陣階矩陣A的全部初等因子的全部初等因子為為1212() ,(),() .smmms那么12,sJJAJJ其中11,121iiiiiimmi= , ,s.J 定理6.2中的分塊對角矩陣J稱為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形,簡稱為Jordan形. Jordan形J中的各個小塊J1,J2,Js稱為Jordan塊

8、.顯然,每個Jordan塊Ji恰于A的一個初等因子 相對應(yīng).()imi 在例6.1中，矩陣A的初等因子組為(-1), -5,與之相應(yīng)的兩個Jordan塊為1211,(5).1 JJ于是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為1211.15JJJ亦可以寫成215.111JJJ機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6.2 求矩陣求矩陣111102111A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 解對解對A的特征矩陣的特征矩陣E-A進行初等變換化為對角矩陣，進行初等變換化為對角矩陣，11112111EA1311112111rr 1213(1)210011312c cc c 1213(1)210001302-r rr r 12( 1

9、)( 1)210001302rr 3222100013302rr 232321000133002- rr 2233(33)( 1)2100.01000(1)ccr 機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 與兩個初等因子相應(yīng)的Jordan小塊分別為 對所得的對角矩陣主對角元素的非常數(shù)多項式進行復(fù)數(shù)域上的標(biāo)準(zhǔn)分解，可得A的初等因子組為 ， (+1)2. 1211(0),1 JJ于是可得A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形120.111JJJ機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6.3 求矩陣求矩陣1000112000002021A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形. 解解 對的特征矩陣對的特征矩陣E-A進行初等變換化為對角矩陣

10、，進行初等變換化為對角矩陣，100011200002021EA機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 12112010000002021rr 12142(1)211200(1)2(1)000002(1)21rrrr 12134222(1)2(1)10000(1)0(1)00002(1)21cc ccrr 1242( 1)10000(1)0000002(1)2(1)ccc 2422( 1)210000(1)00000002(1)rcc 44212( 2)10000(1)000000021rc 34210000(1)000011000rr 34210000(1)000011000(1)- rr 344

11、2(1)( 1)10000(1)00.0010000(1)ccr A的初等因子組為的初等因子組為 ，-1， (-1)2.于是得A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形01.111J 10 對于給定的方陣A，在不計各Jordan塊排列次序的意義下，A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形是惟一的. 20 方陣A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J是上三角形矩陣，其主對角線上的元素恰是A的特征值. 30 對角矩陣本身即是Jordan形，它的每一個對角元都是一個一階的Jordan塊.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理6.3 兩個同階方陣相似的充分必要條件是它們的兩個同階方陣相似的充分必要條件是它們的Jordan形一致這里形一致這里“一致一

12、致的含義是可以經(jīng)過的含義是可以經(jīng)過Jordan塊排列塊排列次序的調(diào)整而得到的相同的次序的調(diào)整而得到的相同的Jordan形）形）. 證明證明 必要性必要性.設(shè)設(shè)AB，則有可逆矩陣，則有可逆矩陣P使使P-1AP=B.于是于是P-1(E-A)P= P-1P- P-1AP= E-B.這說明E-A與E-B等價,它們可以經(jīng)初等變換化為同一對角矩陣G().因此A與B的初等因子組一致，進而Jordan形一致. 充分性.不妨設(shè)A與B的Jordan形同為J，則A、B同于J類似，因而AB.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 定理定理6.4 矩陣矩陣A能與對角矩陣相似的充分必要條件是能與對角矩陣相似的充分必要條件是它

13、的初等因子全為一次式它的初等因子全為一次式. 證明證明 若若A相似于對角矩陣相似于對角矩陣12,n 那么已是A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.可見A的初等因子組為-1， -2， -n .它們?nèi)珵橐淮问? 反之,若A的初等因子全為一次式,則A的所有的Jordan塊全為一階，A的Jordan形顯然為對角矩陣.它當(dāng)然與A相似.機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 例例6.4 證明證明:如果如果n階矩陣階矩陣A的全部特征值是的全部特征值是1, 2, ,n,則矩陣則矩陣Am的全部特征值恰是的全部特征值恰是1m, 2m, ,nm(這里這里1, 2, ,n中可以有一些相同的數(shù)中可以有一些相同的數(shù) ). 證明證明 不妨設(shè)特征值不妨設(shè)特征值1, 2, ,n中相同的都順序相鄰中相同的都順序相鄰,并并設(shè)設(shè)A的的Jordan形為形為1122.sn*JJJJ 由AJ可知AmJm.利用上三角形矩陣冪運算的結(jié)果可知機動 目錄 上頁 下頁 前往 終了 12.mmmmn*J Jm是上三角形矩陣是上三角形矩陣,它的全部特征值就是全部主對角元它的全部特征值就是全部主對角元1m, 2m, ,nm.這也就是這也就是A的全部特征值的全部特征值. 與例6.4類似,可得