高中數(shù)學(xué)競賽知識點

1、數(shù)學(xué)均值不等式被稱為均值不等式。即調(diào)和平均數(shù)不超過幾何平均數(shù)，幾何平均數(shù)不超過算術(shù)平均數(shù)，算術(shù)平均數(shù)不超過平方平均數(shù)，簡記為“調(diào)幾算方”。其中：，被稱為調(diào)和平均數(shù)。，被稱為幾何平均數(shù)。，被稱為算術(shù)平均數(shù)。，被稱為平方平均數(shù)。一般形式 設(shè)函數(shù)（當r不等于0時）；（當r=0時），有時，?？梢宰⒁獾剑琀nGnAnQn僅是上述不等式的特殊情形，即。特例 對實數(shù)a,b，有（當且僅當a=b時取“=”號），（當且僅當a=-b時取“=”號）對非負實數(shù)a,b，有，即對非負實數(shù)a,b，有對實數(shù)a,b，有對非負實數(shù)a,b，有對實數(shù)a,b，有對實數(shù)a,b,c，有對非負數(shù)a,b，有對非負數(shù)a,b,c，有在幾個特例中，最

2、著名的當屬算術(shù)幾何均值不等式（AM-GM不等式）：當n=2時，上式即：當且僅當時，等號成立。根據(jù)均值不等式的簡化，有一個簡單結(jié)論，即。排序不等式基本形式：排序不等式的證明要證只需證根據(jù)基本不等式只需證原結(jié)論正確棣莫弗定理設(shè)兩個復(fù)數(shù)（用三角形式表示），則：復(fù)數(shù)乘方公式：.圓排列定義從n個不同元素中不重復(fù)地取出m（1mn）個元素在一個圓周上，叫做這n個不同元素的圓排列。如果一個m-圓排列旋轉(zhuǎn)可以得到另一個m-圓排列，則認為這兩個圓排列相同。計算公式n個不同元素的m-圓排列個數(shù)N為：特別地，當m=n時，n個不同元素作成的圓排列總數(shù)N為：。費馬小定理 費馬小定理(Fermat Theory)是數(shù)論中的

3、一個重要定理，其內(nèi)容為： 假如p是質(zhì)數(shù)，且(a,p)=1，那么 a(p-1)1（mod p）。即：假如a是整數(shù)，p是質(zhì)數(shù)，且a,p互質(zhì)(即兩者只有一個公約數(shù)1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數(shù)恒等于1。組合恒等式組合數(shù)C(k,n)的定義：從n個不同元素中選取k個進行組合的個數(shù)?；镜慕M合恒等式nC(k,n)=kC(k-1,n-1)C(n,k)C(m,k)=C(m,n)C(k-m,n-m)C(i,n)=2n(-1)i*C(i,n)=0C(m,n+1)=C(m-1,n)+C(m,n)（這個性質(zhì)叫組合的【聚合性】）C(k,n)+C(k,n+1)+C(k,n+m)=C(k+1,n+m+1)-C(k

4、+1,n)C(0,n)C(p,m)+C(1,n)C(p-1,m)+C(2,n)C(p-2,m)+C(p-1,n)C(1,m)+C(p,n)C(0,m)=C(p,m+n)韋達定理逆定理 如果兩數(shù)和滿足如下關(guān)系：+=，=，那么這兩個數(shù)和是方程的根。通過韋達定理的逆定理，可以利用兩數(shù)的和積關(guān)系構(gòu)造一元二次方程。5 推廣定理 韋達定理不僅可以說明一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，還可以推廣說明一元n次方程根與系數(shù)的關(guān)系。定理：設(shè)（i=1、2、3、n）是方程：的n個根，記k為整數(shù)），則有：。實系數(shù)方程虛根成對定理：實系數(shù)一元n次方程的虛根成對出現(xiàn)，即若z=a+bi(b0)是方程的一個根，則=a-bi也是一個根

5、。 無窮遞降法無窮遞降法是證明方程無解的一種方法。其步驟為：假設(shè)方程有解，并設(shè)X為最小的解。從X推出一個更小的解Y。從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無解。孫子定理又稱中國剩余定理，中國剩余定理給出了以下的一元線性同余方程組：有解的判定條件，并用構(gòu)造法給出了在有解情況下解的具體形式。中國剩余定理說明：假設(shè)整數(shù)m1,m2, . ,mn兩兩互質(zhì)，則對任意的整數(shù)：a1,a2, . ,an，方程組有解，并且通解可以用如下方式構(gòu)造得到：設(shè)是整數(shù)m1,m2, . ,mn的乘積，并設(shè)是除了mi以外的n- 1個整數(shù)的乘積。設(shè)為模的數(shù)論倒數(shù)：方程組的通解形式：在模的意義下，方程組只有一個解：同余同余公式也有許多

6、我們常見的定律,比如相等律,結(jié)合律,交換律,傳遞律.如下面的表示:1)aa(mod d)2)ab(mod d)ba(mod d)3)(ab(mod d),bc(mod d)ac(mod d)如果ax(mod d),bm(mod d),則4)a+bx+m （mod d）其中 ax (mod d)，bm(mod d)5)a-bx-m (mod d)其中 ax (mod d),bm (mod d)6)a*bx*m (mod d )其中ax (mod d),bm (mod d)7）ab（mod d）則a-b整除d歐拉函數(shù) 函數(shù)的值 通式：(x)=x(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-

7、1/p4).(1-1/pn),其中p1, p2pn為x的所有質(zhì)因數(shù)，x是不為0的整數(shù)。(1)=1（唯一和1互質(zhì)的數(shù)(小于等于1)就是1本身）。 (注意：每種質(zhì)因數(shù)只一個。比如12=2*2*3那么（12）=12*（1-1/2）*(1-1/3)=4若n是質(zhì)數(shù)p的k次冪，(n)=pk-p(k-1)=(p-1)p(k-1)，因為除了p的倍數(shù)外，其他數(shù)都跟n互質(zhì)。設(shè)n為正整數(shù)，以 (n)表示不超過n且與n互素的正整數(shù)的個數(shù)，稱為n的歐拉函數(shù)值，這里函數(shù)：NN，n(n)稱為歐拉函數(shù)。歐拉函數(shù)是積性函數(shù)若m,n互質(zhì)，(mn)=(m)(n)。特殊性質(zhì)：當n為奇數(shù)時，(2n)=(n), 證明與上述類似。若n為質(zhì)

8、數(shù)則(n)=n-1。格點定義數(shù)學(xué)上把在平面直角坐標系中橫縱坐標均為整數(shù)的點稱為格點(lattice point)或整點。性質(zhì)1、格點多邊形的面積必為整數(shù)或半整數(shù)（奇數(shù)的一半）。2、格點關(guān)于格點的對稱點為格點。3、格點多邊形面積公式（坐標平面內(nèi)頂點為格點的三角形稱為格點三角形，類似地也有格點多邊形的概念。）設(shè)某格點多邊形內(nèi)部有格點a個，格點多邊形的邊上有格點b個，該格點多邊形面積為S，則根據(jù)皮克公式有S=a+b/2-1。4，格點正多邊形只能是正方形。5，格點三角形邊界上無其他格點，內(nèi)部有一個格點，則該點為此三角形的重心。三面角定義三面角：由三個面構(gòu)成的多面角稱為三面角，如圖中三面角可記作O-AB

9、C。特別地，三個面角都是直角的三面角稱為直三面角。三面角的補三面角：由三條自已知三面角定點發(fā)出的垂直于已知三面角的三個平面的射線組成的三面角叫做已知三面角的補三面角。性質(zhì)1、三面角的任意兩個面角的和大于第三個面角。2、三面角的三個二面角的和大于180，小于540。三面角相關(guān)定理設(shè)三面角O-ABC的三個面角AOB、BOC、AOC所對的二面角依次為OC，OA，OB。1、三面角正弦定理：sinOA/sinBOC=sinOB/sinAOC=sinOC/sinAOB。2、三面角第一余弦定理：cosBOC=cosOAsinAOBsinAOC+cosAOBcosAOC。3、三面角第二余弦定理：cosOA=c

10、osBOCsinOBsinOC-cosOBcosOC。直線方程一般有以下八種描述方式：點斜式，斜截式，兩點式，截距式，一般式，法線式，法向式，點向式。點斜式 已知直線一點(x1,y1,)并且存在直線的斜率k，則直線可表示為：y-y1=k(x-x1)。適用范圍：斜率K存在的直線。斜截式 已知與Y軸的交點（0，b），斜率為K，則直線可表示為：y=kx+b。適用范圍：斜率存在的直線。兩點式 兩點式是解析幾何直線理論的重要概念。當已知兩點（X1，Y1），（X2，Y2）時，將直線的斜率公式k=(y2-y1)/(x2-x1)代入點斜式時，得到兩點式(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)

11、 。適用范圍：不平行于（或者說不垂直于）坐標軸的的直線。截距式 已知與坐標軸的交點（a，0），（0，b）時，截距式的一般形式：x/a+y/b=1（a0且b0）。適用范圍：不平行于（或者說不垂直于）坐標軸的直線，不過原點的直線。一般式 ax+by+c=0 (A、B不同時為0)。斜率：-A/B截距：-C/B。兩直線平行時：A1/A2=B1/B2C1/C2，則無解。兩直線相交時：A1/A2B1/B2；兩直線垂直時：A1A2+B1B2=0 A1/B1A2/B2=-1，都只有一個交點。兩直線重合時：A1/A2=B1/B2=C1/C2，則有無數(shù)解。適用范圍：所有直線均可適用。法線式 過原點向直線做一條的垂

12、線段，該垂線段所在直線的傾斜角為，p是該線段的長度。xcos +y sin -p=0。法向式 知道直線上一點（x0，y0）和與之垂直的向量（a，b），則a（x-x0）+b（y-y0）=0，法向量n=（a，b）方向向量d=（b，-a）k=a/b。點向式 知道直線上一點(x0,y0)和方向向量（u,v ），(x-x0)/u=(y-y0)/v (u0,v0)。極坐標系極坐標系（polar coordinates）是指在平面內(nèi)由極點、極軸和極徑組成的坐標系。在平面上取定一點O，稱為極點。從O出發(fā)引一條射線Ox，稱為極軸。再取定一個長度單位，通常規(guī)定角度取逆時針方向為正。這樣，平面上任一點P的位置就可以

13、用線段OP的長度以及從Ox到OP的角度來確定，有序數(shù)對（，）就稱為P點的極坐標，記為P（，）；稱為P點的極徑，稱為P點的極角。極坐標方程于極點（90/270）對稱，如果r(-) = r()，則曲線相當于從極點順時針方向旋轉(zhuǎn)。圓 方程為r() = 1的圓。在極坐標系中，圓心在(r0, ) 半徑為 a 的圓的方程為r2-2rr0cos(-)+r02=a2該方程可簡化為不同的方法，以符合不同的特定情況，比如方程r()=a表示一個以極點為中心半徑為a的圓。直線 經(jīng)過極點的射線由如下方程表示=,其中為射線的傾斜角度，若 k為直角坐標系的射線的斜率，則有 = arctan k。 任何不經(jīng)過極點的直線都會與

14、某條射線垂直。 這些在點（r0, ）處的直線與射線 = 垂直，其方程為r()=r0sec(-)圓冪 點到圓的冪：設(shè)P為O所在平面上任意一點，PO=d，O的半徑為r，則d2r2就是點P對于O的冪過P任作一直線與O交于點A、B，則PAPB= |d2r2| “到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結(jié)論這條直線稱為兩圓的“根軸” 三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心” 三個圓的根心對于三個圓等冪 當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點 1定義從一點A作一圓周的任一割線，從A

15、起到和圓相交為止的兩段之積，稱為點A于這圓周的冪 2圓冪定理已知(O, r) ，通過一定點P，作O的任一割線交圓于A, B，則PA，PB為P對于O的冪，記為 k，則當P在圓外時，k=PO2-r2；當P在圓內(nèi)時，k= r2-PO2； 當P在圓上時，k=0. 圖：相交弦定理。如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，由于B與D同為弧AC所對的圓周角，因此由圓周角定理知：B=D，同理A=C，所以。所以有：，即：。圖：割線定理。如圖，連接AD、BC?？芍狟=D，又因為P為公共角，所以有，同上證得。圖：切割線定理。如圖，連接AC、AD。PAC為切線PA與弦AC組成的弦切角，因此有P

16、BC=D，又因為P為公共角，所以有，易圖：PA、PC均為切線，則PAO=PCO=90，在直角三角形中：OC=OA=R，PO為公共邊，因此。所以PA=PC，所以。綜上可知，是普遍成立的。根軸 定義 在 平面上任給兩不同心的圓，則對兩圓 圓冪相等的點的 集合是一條直線，這條線稱為這兩個圓的根軸。 另一角度也可以稱兩不 同心圓的等冪點的軌跡為根軸，或者稱作等冪軸。 根軸方程 設(shè)兩圓O1,O2的方程分別為： (x-a1)2+(y-b1)2-(r1)2=0(1) (x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2=0(2) 由于根軸上任意點對兩圓的 圓冪相等，所以根軸上任一點(x,y),有 (x-a1)2+(y

17、-b1)2-(r1)2=圓冪=(x-a2)2+(y-b2)2-(r2)2 兩式相減，得根軸的方程(即x,y的方程)為 2(a2-a1)x+2(b2-b1)y+f1-f2=0 其中f1=(a1)2+(b1)2-(r1)2,f2類似。 解的不同可能 (1)(2)連立的解，是兩圓的公共點M(x1,y1),N(x2,y2) 如果是兩組不等實數(shù)解，MN不重合且兩圓相交，根軸是兩圓的公共弦。 如果是相等實數(shù)解，MN重合，兩圓相切，方程表示兩圓的內(nèi)公切線。 如果是共軛虛數(shù)解，兩圓相離，只有代數(shù)規(guī)律發(fā)揮作用，在坐標系內(nèi)沒有實質(zhì)。稱M,N是共軛虛點。 尺規(guī)作圖 相交,相切時 根軸為兩圓交點的連線. 內(nèi)含時,作一

18、適當?shù)膱A與兩園相交,這圓與兩圓的根軸的交點在根軸上.同理 再作一點,兩點所在的直線即為根軸(等冪軸) 相關(guān)定理 1，平面上任意兩圓的根軸垂直于它們的連心線； 2，若兩圓相交，則兩圓的根軸為公共弦所在的直線； 3，若兩圓相切，則兩圓的根軸為它們的內(nèi)公切線； 4，若兩圓外離，則兩圓的根軸上的點分別引兩圓的切線，則切線長相等。 5，蒙日定理（根心定理）：平面上任意三個圓，若這三個圓圓心不共線，則三條根軸相交于一點，這個點叫它們的根心；若三圓圓心共線，則三條根軸互相平行； 6， 反演后的圓和反演圓和被反演的圓3個圓共根軸。 容斥原理也可表示為：設(shè)S為有限集,則兩個集合的容斥關(guān)系公式：AB =|AB| = |A|+|B| - |AB |(：重合的部分）三個集合的容斥關(guān)系公式：|ABC| = |A|+|B|+|C| - |AB| - |BC| - |CA| + |ABC|抽屜原理第一抽屜原理 原理1： 把多于n+k個的物體放到n個抽屜里，則至少有一個抽屜里的東西