信號(hào)與線性系統(tǒng)-第三章(1st)

1、第三章第三章 LTILTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析 系統(tǒng)系統(tǒng)微分方程微分方程( (算子方程算子方程) )傳輸算子傳輸算子H(p)特特征根征根零輸入響應(yīng)或沖激響應(yīng)零輸入響應(yīng)或沖激響應(yīng)利用利用f(t)*h(t)求解任意求解任意激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng), ,最后零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)最后零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)疊加疊加, ,得到全響應(yīng)。得到全響應(yīng)。時(shí)域分析法時(shí)域分析法: : 數(shù)學(xué)上，任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)數(shù)學(xué)上，任意一函數(shù)都可表示為一個(gè)完備正交函完備正交函數(shù)集數(shù)集中無(wú)限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。中無(wú)限多個(gè)相互正交的函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。 傅里葉傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)是

2、正交函數(shù)集，只要符合一是正交函數(shù)集，只要符合一定的條件，任意信號(hào)都可通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為一系定的條件，任意信號(hào)都可通過(guò)傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)為一系列不同頻率的正弦分量即列不同頻率的正弦分量即頻率函數(shù)頻率函數(shù)。頻域分析法頻域分析法: :信號(hào)分析信號(hào)分析: : 時(shí)域時(shí)域分析分析 頻域頻域分析分析31 信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù)信號(hào)的正交分解與傅里葉級(jí)數(shù)（一）正交向（一）正交向量量一個(gè)平面中任意向量一個(gè)平面中任意向量 A=C1A1+C2A2一個(gè)三維空間中的向量一個(gè)三維空間中的向量 A=C1A1+C2A2+C3A3 n維空間中的任一向量維空間中的任一向量 A=C1A1+C2A2+C3A3+CnAn（二）信號(hào)的

3、正交分解與正交函數(shù)（二）信號(hào)的正交分解與正交函數(shù)集集1. 正交函數(shù)定義式正交函數(shù)定義式任意兩個(gè)實(shí)函數(shù)任意兩個(gè)實(shí)函數(shù) f1(t) 和和 f2(t)，滿足關(guān)系式，滿足關(guān)系式則稱則稱 f1(t) 和和 f2(t) 在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間(t1,t2)正交正交。0d)()(2121ttftftt 若若f1(t), f2(t), fn(t)定義在區(qū)間定義在區(qū)間(t1,t2) 上，并且上，并且在在(t1,t2)內(nèi)有內(nèi)有則則f1(t),f2(t),fn(t)在時(shí)間區(qū)間在時(shí)間區(qū)間(t1,t2)內(nèi)稱為正交函內(nèi)稱為正交函數(shù)集，其中數(shù)集，其中i, r =1,2,n；ki為一正數(shù)為一正數(shù)。ririkttftfirtti

4、0d)()(212. 信號(hào)的正交展開(kāi)信號(hào)的正交展開(kāi) 如果在正交函數(shù)集如果在正交函數(shù)集f1(t),f2(t),fn(t)之外，找不之外，找不到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集到另外一個(gè)非零函數(shù)與該函數(shù)集 fi(t)中每一個(gè)函中每一個(gè)函數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集數(shù)都正交，則稱該函數(shù)集為完備正交函數(shù)集。 （三）常見(jiàn)的完備正交函數(shù)集（三）常見(jiàn)的完備正交函數(shù)集1. 三角函數(shù)集三角函數(shù)集正交三角函數(shù)集正交三角函數(shù)集是完備的正交函數(shù)集。是完備的正交函數(shù)集。 ,2sin,sin,2cos,cos, 1tttt 2. 指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集 在區(qū)間在區(qū)間(t0,t0+T)為一完備的正交復(fù)

5、變函數(shù)集。為一完備的正交復(fù)變函數(shù)集。,2, 1,0,ejntn（四）（四） 周期周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi) 一一三角形式三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)：的傅里葉級(jí)數(shù)： 設(shè)任意周期信號(hào)設(shè)任意周期信號(hào) f(t)=f(t+kT),（k為整數(shù)為整數(shù)），滿），滿足下列條件（荻里赫利條件）：足下列條件（荻里赫利條件）：（1）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是絕對(duì)可積的dttfTtt 00)(（2）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)的極值數(shù)目有限（3）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè)）在一個(gè)周期內(nèi)，函數(shù)是連續(xù)的或者有限個(gè) 一類間斷點(diǎn)（左右極限存在但不等）一類間

6、斷點(diǎn)（左右極限存在但不等）進(jìn)行分解可得進(jìn)行分解可得: : 110 sincos2)(nnnntnbtnaatf)(2原周期信號(hào)的角頻率/T TttttfTa00 0d)(12 dcos)(2 00 TttttntfTan TttttntfTbn00 dsin)(2 同頻率同頻率的兩項(xiàng)合并的兩項(xiàng)合并: :傅傅里里葉葉系系數(shù)數(shù) 10)cos()( nnntnAAtf 22 nnnbaA nnnab arctg 其中其中：200 aA 直流分量直流分量( (零次諧波零次諧波) )，即即f(t)在一個(gè)周期內(nèi)在一個(gè)周期內(nèi)的的平均值平均值；)cos(11 tA 基波分量基波分量(一次諧波一次諧波)，其角頻

7、率與其角頻率與f(t)的相同的相同 )2cos(22 tA 二次諧波分量二次諧波分量，其角頻率為基波，其角頻率為基波頻率的兩倍頻率的兩倍 )cos( nntnA n次諧波分量次諧波分量，其角頻率為基波，其角頻率為基波頻率的頻率的n倍倍 將將周期信號(hào)周期信號(hào)f(t)在在虛指數(shù)函數(shù)集虛指數(shù)函數(shù)集ejn t，n = 0, 1, 2， 3， 上展開(kāi)就得到上展開(kāi)就得到指數(shù)形式指數(shù)形式的的傅里葉級(jí)數(shù)。傅里葉級(jí)數(shù)。信號(hào)分信號(hào)分析時(shí)往往用此形式。析時(shí)往往用此形式。 ntnnFtf j e)(T/ 2 其中其中傅里葉傅里葉系數(shù)系數(shù)： TtnntttfTF00 j d(t)e1 “級(jí)數(shù)正級(jí)數(shù)正，系數(shù)負(fù)，系數(shù)負(fù)”

8、與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系與三角形式傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系 二二指數(shù)形式指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù) 三角形式傅里葉級(jí)數(shù)通過(guò)三角形式傅里葉級(jí)數(shù)通過(guò)歐拉公式歐拉公式展開(kāi)展開(kāi)：)ee (j21sin , )ee (21cos jjjjtntntntntntn 注意注意此系此系數(shù)為復(fù)數(shù)數(shù)為復(fù)數(shù) 1jjjj010)ee(2j)ee(22)sincos(2)( ntntnntntnnnnnbaatnbtnaatf000 2AaF 與指數(shù)形式對(duì)照與指數(shù)形式對(duì)照 ntnnFtf j e)(e)j(21e)j(212j1j0tnnnntnnnbabaa11(j),1,2,2211(j),1, 2,22nnnnn

9、nnnnabAnFabAn 三、周期信號(hào)的三、周期信號(hào)的對(duì)稱性對(duì)稱性與傅里葉系數(shù)的關(guān)系與傅里葉系數(shù)的關(guān)系 1偶偶函數(shù)函數(shù): : f(t) = f(-t) , 2 , 1 , 0 ,dcos)(4, 02 00 nttntfTabTnntt2奇奇函數(shù)函數(shù): : f(-t) = -f(t) , 2 , 1 ,dsin)(4, 0 , 02 000 nttntfTbaaTnntt3奇諧奇諧( (波波) )( (半波對(duì)稱半波對(duì)稱) )函數(shù)函數(shù): : )2()(Ttftf 和偶數(shù)為為奇數(shù)00dcos)(42 00 nnttntfTaTntt為偶數(shù)為奇數(shù)nnttntfTbTntt 0 dsin)(42 0

10、0 2TT23T)(tft04偶諧偶諧( (波波) )( (半周期半周期) )函數(shù)函數(shù) )2()(Ttftf 0 dcos)(42 00 為奇數(shù)為偶數(shù)nnttntfTaTntt為奇數(shù)為偶數(shù)nnttntfTbTntt 0 dsin)(4 2 00 例例1.1. 求周期信號(hào)的三角型與指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)求周期信號(hào)的三角型與指數(shù)型傅里葉級(jí)數(shù)。 1020001d1d )(22d)(2tttfttfTaT 去掉該直流分量后為奇去掉該直流分量后為奇+ +奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)f1(t)，故只含故只含奇奇次次諧波的諧波的sinn t分量分量：f(t)t0123- -11f1(t)t0123- -10.5, 3 , 1

11、 2cos1 1d)(sin d2sin.50 24dsin)(4010102/01 nnnnttntTtnttntfTbaTnn00j2j( )200.5 2111(j)je21( )0.5ennnn tnnaFFabnnf tn ttttnntfn5sin513sin31sin25 . 0 sin25 . 0)(1 奇數(shù)四、傅里葉系數(shù)的四、傅里葉系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì) ntnnFtf je)( ) 1 ( ntntnnFttf 0 jj0ee)( )2( e j)( )3( j ntnnFntf ntnnnntnnnFFttfFFttf j11j11ej2sin)( e2cos)( )4(例例2.

12、 . 求圖示周期鋸齒波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)求圖示周期鋸齒波信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)。 f(t)t0T2T3T- -T1解法解法1 1d2d)(2000tTtTttfTaTT0cossin2cos2cos)(2022020 TTTnntnntntTtdtnTtTtdtntfTa nntnntntTtdtnTtTtdtntfTbTTTn1sincos2sin2sin)(2022020 11sin15 . 0sin)1(21)(nnntntnntf 解法解法2 2: :可利用傅里葉可利用傅里葉性質(zhì)性質(zhì)3 3求解求解 2j j0j022221(j )( )ed1e( )j e( )dj j 0 n tnnnTTT

13、TnFttTtnttTnnTT /10 j0 sin115 .0e2 j1 15 .0)(0 2 j1 j1 5 .0nnntnntnnntfnnTnFFt0T2T3T- -T1/ /T(-1)(-1)(-1)(-1)(-1)( tff(t)t0T2T3T- -T1t0T2T3T- -T)( tf32 32 周期信號(hào)周期信號(hào)的頻譜的頻譜如果要確定某一如果要確定某一諧波分量諧波分量 )cos( nntnA tnnF j e或或只需確定與該頻率對(duì)應(yīng)的諧波只需確定與該頻率對(duì)應(yīng)的諧波幅值幅值和和相位相位。),.2 , 1(單邊頻譜nnnAnn),.2, 1, 0(雙邊頻譜nnnFnn頻頻譜譜幅度譜幅度

14、譜：以頻率以頻率( (角頻率角頻率) )為橫坐標(biāo)為橫坐標(biāo), ,以各諧波的振幅以各諧波的振幅An或或|Fn|為縱坐標(biāo)畫出的線圖為縱坐標(biāo)畫出的線圖( (離散離散) )為幅度頻譜。為幅度頻譜。簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱幅度幅度譜。譜。相位譜相位譜：以頻率以頻率( (角頻率角頻率) )為橫坐標(biāo)，以各諧波的初為橫坐標(biāo)，以各諧波的初相角為縱坐標(biāo)畫出的線圖相角為縱坐標(biāo)畫出的線圖( (離散離散) )為相位頻譜。簡(jiǎn)稱為相位頻譜。簡(jiǎn)稱相位相位譜。譜。Fn00.250.2250.0750.0530.1590.045- 一、周期矩形脈沖的頻譜一、周期矩形脈沖的頻譜 dede )(12 2j2 2j / tTAttfTFtnTTtnn

15、j22 ejn tATn/ ntnnTAtf je2Sa)( nnnF4Sa41 =T/ /4，A A =1=1時(shí)時(shí)： 2 3 4 5 6 -2 -3 -4 -5 -6 包絡(luò)線t0A2 2 T T)(tfsin22nAnTSa, 0, 1, 2, 2AnnT|Fn|幅度譜幅度譜 n0 2 3 4 5 6 - -2 -3 -4 -5 -6 - 由雙邊頻譜由雙邊頻譜單邊頻譜單邊頻譜|An|00.250.450.150.1060.3180.09 2 3 4 5 6 n0 2 3 4 5 6 相位譜相位譜由上可知周期矩形脈沖的頻譜有下列特點(diǎn)：由上可知周期矩形脈沖的頻譜有下列特點(diǎn)：(1) 譜線高度與脈沖

16、高度譜線高度與脈沖高度A及寬度及寬度 成正比，與成正比，與周期周期T成反比，且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制；成反比，且受抽樣函數(shù)包絡(luò)線牽制； , 2 , 1 , 0 ,2Sa nnTAFn (2) 零分量頻率零分量頻率為為n/2=m 即即n =2m / / ，或，或 n= m T / 其中其中m= 1, 2,(3) 第第一個(gè)零分量頻率一個(gè)零分量頻率為為有效頻譜寬度有效頻譜寬度B = =2 / / ， Bf = =1/ / (4) 若若 而而T不變不變,譜線間隔不變，但譜線高度譜線間隔不變，但譜線高度B ，譜線個(gè)數(shù)，譜線個(gè)數(shù)T/ / (5) 若若T而而 不變不變譜線間隔譜線間隔譜線高度譜線高度B 不變，譜線個(gè)數(shù)不變，譜線個(gè)數(shù)T/ / ，T ，連續(xù)頻譜。連續(xù)頻譜。二、任意周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn)二、任意周期信號(hào)頻譜的特點(diǎn) （1 1）離散性）離散性頻譜是譜線，稱為離散頻譜或線譜；頻譜是譜線，稱為離散頻譜或線譜； （2 2）諧波性）諧波性各分量頻率都