交流互補(bǔ)融合提高-中美微積分教材的比較及啟示

1、( )yf x( , )zf x y ( )f x存在即稱存在即稱( )f x可微可微 定義定義( )yf x的微分為的微分為d( )dyf xx 若若( )f x可微，則可微，則( )f x可局部線性逼近可局部線性逼近()( )( )f xhf xfx h( (圖形、數(shù)值顯示圖形、數(shù)值顯示) ) 一元函數(shù)一元函數(shù)( )yf x情形情形 二元函數(shù)二元函數(shù)( , )zf x y情形情形 稱稱f在點(diǎn)在點(diǎn)( , )a b是局部線性的，如果是局部線性的，如果 12121 122(,)( , )( , )( , )xyf ah bhf a bfa b hfa b hhh 如果如果f在在( , )a b處

2、是局部線性的，則稱處是局部線性的，則稱f在在( , )a b處是可微的處是可微的 如果如果( , )f x y存在一階連續(xù)偏導(dǎo)，則存在一階連續(xù)偏導(dǎo)，則( , )f x y是局部是局部線性的，從而是可微的線性的，從而是可微的 h t h t 當(dāng)當(dāng) 00 s；010 s； 05 s時(shí)，畫(huà)出位置函數(shù)時(shí)，畫(huà)出位置函數(shù) tss 和加速和加速度函數(shù)度函數(shù) taa 的圖形。的圖形。 xttfxG0d，100 x， tf關(guān)于直線關(guān)于直線2y上下振動(dòng)，問(wèn)：上下振動(dòng)，問(wèn)： (a) xG的極值點(diǎn)的極值點(diǎn)? (b) xG的最大、最小值點(diǎn)的最大、最小值點(diǎn)? (c) xGy 的圖形何時(shí)為凸的圖形何時(shí)為凸? (d)畫(huà)出畫(huà)出

3、 xG的簡(jiǎn)圖。的簡(jiǎn)圖。 f具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，能否判斷具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，能否判斷下列積分的符號(hào)？哪些值可算出？下列積分的符號(hào)？哪些值可算出？ 31d xxf， 31d xxf， 31d xxf， 31d xxf 2 v(t) 1 0 -1 -2 2 4 6 8 10 y 10 f ( t ) 5 O t -5 -10 2 4 6 8 10 y 3 f ( x ) (-1,2) 2 1 -1 O 1 2 3 4 x (3,1) C GC CAS EXPL 例：比較函數(shù)增大的速度（對(duì)充分大的例：比較函數(shù)增大的速度（對(duì)充分大的x） x 10 100 1000 xln 2.3 4.6 6.9 x 3.2

4、 10 31.6 xxln 23 461 6908 2x 100 10000 106 xe 2.2104 2.71043 10434 估算：上述估算：上述V等于第一卦限部分圓柱體體積的一等于第一卦限部分圓柱體體積的一半：半：2214241214122 hr，此結(jié)果可，此結(jié)果可以接受。以接受。 例 ： 計(jì) 算 由 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面例 ： 計(jì) 算 由 旋 轉(zhuǎn) 拋 物 面22yxz、圓柱面、圓柱面422 yx和和坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限部分坐標(biāo)面所圍成的在第一卦限部分的立體體積。的立體體積。 計(jì)算：計(jì)算：DyxVd222 (D：240 xy，20 x) z 4 O 2 y 2 x D CAS 6f

5、t 6ft 105 kV3rh)4(2342hrkrhr34233rhrhrhkV例（學(xué)了對(duì)數(shù)求導(dǎo)法后的一題）例（學(xué)了對(duì)數(shù)求導(dǎo)法后的一題） 求求xxy 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù) 錯(cuò)誤錯(cuò)誤 1：1xxxy（冪函數(shù)求導(dǎo)法）（冪函數(shù)求導(dǎo)法） xx； 錯(cuò)誤錯(cuò)誤 2：xxyxln（指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法）（指數(shù)函數(shù)求導(dǎo)法） 錯(cuò)誤錯(cuò)誤 1+錯(cuò)誤錯(cuò)誤 2=xxxxxln=正確正確 同樣的步驟適用于同樣的步驟適用于 xgxfy 的求導(dǎo)。的求導(dǎo)。 C A B C B A y=f(x) C y=g(x) A y=h(x) B ( )()acg xfxca ( )()bch xfxcb 000( )d( )d( )dabcg xxh xxf xx令令 hwf，20 f為連續(xù)函數(shù)，且為連續(xù)函數(shù)，且 02hw， 02wh。 若若 00hw，已得證。否則設(shè)，已得證。否則設(shè) 00hw，即，即 00 f，則，則 000222whhwf， 故故200，使，使0000hwf，證畢。，證畢。 例： （連續(xù)函數(shù)的介值定理）例： （連續(xù)函數(shù)的介值定理） 證：平面圖形的外接矩形在轉(zhuǎn)動(dòng)證：平面圖形的外接矩形在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，必有一正