大學(xué)物理競賽輔導(dǎo)ppt課件

1、力學(xué)部分主要公式：力學(xué)部分主要公式：1). 牛頓第二定律牛頓第二定律 FdtPd2). 角動量定理角動量定理 MdtLd對于質(zhì)點(diǎn)對于質(zhì)點(diǎn),角動量角動量PrL對于剛體對于剛體,角動量角動量JL (3). 保守力與勢能關(guān)系保守力與勢能關(guān)系pEF(4). 三種勢能三種勢能重力勢能重力勢能mgzEp彈性勢能彈性勢能221kxEp萬有引力勢能萬有引力勢能rMmGEp(5). 保守力的特點(diǎn)保守力的特點(diǎn)0LrdF作功與途徑無關(guān)作功與途徑無關(guān)(6).振動的微分方程振動的微分方程022Cqdtqd圓頻率圓頻率:C(7). 阻尼振動阻尼振動l. 程度輕繩跨過固定在質(zhì)量為程度輕繩跨過固定在質(zhì)量為m1的程度物塊的一個

2、的程度物塊的一個小圓柱棒后，斜向下銜接質(zhì)量為小圓柱棒后，斜向下銜接質(zhì)量為m2的小物塊，設(shè)系統(tǒng)的小物塊，設(shè)系統(tǒng)處處無摩擦，將系統(tǒng)從靜止形狀自在釋放，假設(shè)兩物塊處處無摩擦，將系統(tǒng)從靜止形狀自在釋放，假設(shè)兩物塊的運(yùn)動方向恒如下圖，即繩與程度桌面的夾角的運(yùn)動方向恒如下圖，即繩與程度桌面的夾角一直不變，試求一直不變，試求. 21,aa1a. 2a1a1m2m1a. 2a1a1m2m解：解：畫隔離體圖，受力分析畫隔離體圖，受力分析1a1mTT1a. 2a2mT1a1mTT1a. 2a2mT列方程：列方程：11cosamTT)cos(cos212aamTsinsin222amTgm沿繩的方向加速度應(yīng)該相等：

3、沿繩的方向加速度應(yīng)該相等：21aa 解得：解得：cot21gaa4221arccos212121mmmmmm例例2. 質(zhì)量為質(zhì)量為M、半徑為、半徑為R的光滑半球，其底面放在光的光滑半球，其底面放在光滑程度面上。有一質(zhì)量為滑程度面上。有一質(zhì)量為m的小滑塊沿此半球面滑下。的小滑塊沿此半球面滑下。知小滑塊初始位置與球心聯(lián)線與豎直線成知小滑塊初始位置與球心聯(lián)線與豎直線成 角。系統(tǒng)角。系統(tǒng)開場時靜止。求小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度。開場時靜止。求小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度。解：設(shè)半球面到圖示解：設(shè)半球面到圖示虛線位置時，小滑塊虛線位置時，小滑塊與豎直線夾角為與豎直線夾角為以地為參照系以地為參照

4、系.小滑塊對地的速度為小滑塊對地的速度為半球面對地的速度為半球面對地的速度為V小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度為小滑塊滑離半球面前繞球心的角速度為V小球速度：小球速度：cosRVxsinRy程度方向動量守恒程度方向動量守恒Vcoscos2121222mgRmgRMVmyx系統(tǒng)機(jī)械能守恒：系統(tǒng)機(jī)械能守恒：0MVmx解得：解得：mm/cosmcoscosRg212例例3：長為：長為l質(zhì)量為質(zhì)量為M的均質(zhì)重梯上端的均質(zhì)重梯上端A靠在光滑的豎直靠在光滑的豎直墻面上，下端墻面上，下端B落在程度地面上，梯子與地面夾角為落在程度地面上，梯子與地面夾角為060一質(zhì)量也為一質(zhì)量也為M的人從的人從B端緩慢爬梯，到

5、達(dá)梯子中點(diǎn)時端緩慢爬梯，到達(dá)梯子中點(diǎn)時梯子尚未滑動，稍過中點(diǎn)，梯子就會滑動，求梯子與梯子尚未滑動，稍過中點(diǎn)，梯子就會滑動，求梯子與地面之間的摩擦系數(shù)地面之間的摩擦系數(shù)BA解：系統(tǒng)力平衡解：系統(tǒng)力平衡 力矩平衡力矩平衡Mg21N2Nf21NNfMgN2200160cos2260sinlMglN求得：求得：321060例例4：在程度地面上的一個桶內(nèi)成有水，桶的側(cè)面有個：在程度地面上的一個桶內(nèi)成有水，桶的側(cè)面有個小孔，孔與水面相距為小孔，孔與水面相距為h水從小孔水從小孔流出，求水從小孔流出時的速度。流出，求水從小孔流出時的速度。解：在孔處取單位體積的小體元解：在孔處取單位體積的小體元體元左側(cè)面積為單

6、位面積，受力等于體元左側(cè)面積為單位面積，受力等于該處的壓強(qiáng)該處的壓強(qiáng)0pghfllf此體元此體元 運(yùn)動單位間隔就可以流出運(yùn)動單位間隔就可以流出按照牛頓第二定律：按照牛頓第二定律：ghfa速度：速度：ghasv22) 1( s0pfr右側(cè)面積為單位面積，受力右側(cè)面積為單位面積，受力0pfr此體元經(jīng)受力此體元經(jīng)受力ghf例例5. 質(zhì)量為質(zhì)量為m長為長為l的勻質(zhì)棒可繞固定的支點(diǎn)在豎直的勻質(zhì)棒可繞固定的支點(diǎn)在豎直平面內(nèi)運(yùn)動平面內(nèi)運(yùn)動. 假設(shè)棒在與程度線成假設(shè)棒在與程度線成030角位置從靜止開場角位置從靜止開場下落下落,試計(jì)算當(dāng)棒落到程度位置時試計(jì)算當(dāng)棒落到程度位置時,作用于支點(diǎn)的力作用于支點(diǎn)的力.解解

7、: 由轉(zhuǎn)動定理由轉(zhuǎn)動定理cos2lmgdtdJ這里這里231mlJ 得到角加速度得到角加速度cos23lgdtd表達(dá)式可寫成表達(dá)式可寫成cos23lgdtddddtdcos23lgdddlgdcos230mgdlgdcos23兩邊積分兩邊積分得到得到)sin(sin302lg軸反力的兩個分量軸反力的兩個分量xR和和yR,列出質(zhì)心運(yùn)動方程列出質(zhì)心運(yùn)動方程:法線方向法線方向sincossin22yxRRmglm切線方向切線方向cossincos2yxRRmgdtdlm或?qū)懗苫驅(qū)懗蓅incossin)sin(sin230yxRRmgmgcossincoscos43yxRRmgmgdlgdcos230

8、00yRxRmg當(dāng)當(dāng)0時時,得到得到sincossin)sin(sin230yxRRmgmgcossincoscos43yxRRmgmg43mgRx4mgRy0yRxR例例6. 一長為一長為l的細(xì)麥桿可繞經(jīng)過中心的細(xì)麥桿可繞經(jīng)過中心o的程度轉(zhuǎn)軸的程度轉(zhuǎn)軸在鉛錘面內(nèi)自在轉(zhuǎn)動。開場時麥桿靜止于程度位置在鉛錘面內(nèi)自在轉(zhuǎn)動。開場時麥桿靜止于程度位置一質(zhì)量與麥桿一樣的甲蟲以速度一質(zhì)量與麥桿一樣的甲蟲以速度0v垂直落到麥桿的垂直落到麥桿的41長度處，落下后甲蟲立刻向端點(diǎn)爬行。問為使長度處，落下后甲蟲立刻向端點(diǎn)爬行。問為使麥桿以均勻的角速度旋轉(zhuǎn)，甲蟲沿麥桿爬行的速度麥桿以均勻的角速度旋轉(zhuǎn)，甲蟲沿麥桿爬行的速

9、度多大？多大？o0v解：解： 以麥桿和甲蟲為系統(tǒng)以麥桿和甲蟲為系統(tǒng)碰撞過程角動量守恒，設(shè)碰后系統(tǒng)的角速度為碰撞過程角動量守恒，設(shè)碰后系統(tǒng)的角速度為于是有：于是有：220411214lmmlmvl解得：解得：lv7120碰后，當(dāng)甲蟲距軸心為碰后，當(dāng)甲蟲距軸心為x時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為時系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量為o0vx22121mxmlJ作用在系統(tǒng)上的重力矩為：作用在系統(tǒng)上的重力矩為：cosmgxM 據(jù)轉(zhuǎn)動定理：據(jù)轉(zhuǎn)動定理：MdtJd應(yīng)有：應(yīng)有：)cos( tmgxdtdJdtdJ即：即：)cos(2tmgxdtdxmx于是甲蟲的速度為：于是甲蟲的速度為：)cos(2tgv例例7. 光滑程度面上有一半徑為光滑

10、程度面上有一半徑為R的固定圓環(huán)的固定圓環(huán),長為長為l 2的勻質(zhì)細(xì)桿的勻質(zhì)細(xì)桿AB開場時繞著開場時繞著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)點(diǎn)旋轉(zhuǎn),C點(diǎn)靠在環(huán)上點(diǎn)靠在環(huán)上,且無初速度且無初速度.假設(shè)而后細(xì)桿可無相對滑動地繞著假設(shè)而后細(xì)桿可無相對滑動地繞著圓環(huán)外側(cè)運(yùn)動圓環(huán)外側(cè)運(yùn)動,直至細(xì)桿的直至細(xì)桿的B端與環(huán)接觸后彼此分別端與環(huán)接觸后彼此分別,知細(xì)桿與圓環(huán)間的摩擦系數(shù)知細(xì)桿與圓環(huán)間的摩擦系數(shù)處處一樣處處一樣,試求試求的取值范圍的取值范圍.RllABC解解: 設(shè)初始時細(xì)桿的旋轉(zhuǎn)設(shè)初始時細(xì)桿的旋轉(zhuǎn)角速度為角速度為0,轉(zhuǎn)過轉(zhuǎn)過角后角后角速度為角速度為.由于摩擦力由于摩擦力并不作功并不作功,故細(xì)桿和圓環(huán)故細(xì)桿和圓環(huán)構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒

11、構(gòu)成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒應(yīng)有應(yīng)有:2202121PCJJ這里這里2231)2(121mllmJC22)2(121mrlmJPRr 解得解得:rrllrvrllC22022033細(xì)桿質(zhì)心細(xì)桿質(zhì)心C將沿著圓的漸開將沿著圓的漸開 線運(yùn)動線運(yùn)動切向加速度為切向加速度為dtdddrdrdvdtdvaCCC切RllABCPrv2222043rlRl法向加速度為法向加速度為2raC法222023rlrlRllABCPrv列出細(xì)桿質(zhì)心運(yùn)動方程列出細(xì)桿質(zhì)心運(yùn)動方程N(yùn)fNmaC切fmaC法不打滑的條件不打滑的條件:Nf即即RlrrlaaNfCC222)3(切法由于由于lr 0所以所以Rl 4例例8. 兩個均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動

12、慣量分別為兩個均質(zhì)圓盤轉(zhuǎn)動慣量分別為1J和和2J開場時第一個圓盤以開場時第一個圓盤以10的角速度旋轉(zhuǎn)，的角速度旋轉(zhuǎn)，第二個圓盤靜止，然后使兩盤程度軸接近，第二個圓盤靜止，然后使兩盤程度軸接近，求：當(dāng)接觸點(diǎn)處無相對滑動時，兩圓盤的角速度求：當(dāng)接觸點(diǎn)處無相對滑動時，兩圓盤的角速度101r2r解：解： 受力分析：受力分析：1r2r101Ngm1ffgm22N1o2o無豎直方向上的運(yùn)動無豎直方向上的運(yùn)動gmfN11gmfN22以以O(shè)1點(diǎn)為參考點(diǎn)，點(diǎn)為參考點(diǎn)，計(jì)算系統(tǒng)的外力矩：計(jì)算系統(tǒng)的外力矩：)(2122rrgmNM0)(21rrf作用在系統(tǒng)上的外力矩不為作用在系統(tǒng)上的外力矩不為0，故系統(tǒng)的角動量不守

13、恒。，故系統(tǒng)的角動量不守恒。只能用轉(zhuǎn)動定律做此題。只能用轉(zhuǎn)動定律做此題。對于盤對于盤1：111frdtdJ阻力矩阻力矩111JfrdtddtJfrd1111r2r101Ngm1ffgm22N1o2odtJfrd111兩邊積分兩邊積分tfdtJrd0111110tfdtJr011110對于盤對于盤2：222frdtdJ222JfrdtddtJfrd2221r2r101Ngm1ffgm22N1o2odtJfrd222兩邊積分兩邊積分tfdtJrd022022tfdtJr0222于是有：于是有：22211011)(rJrJ不打滑條件：不打滑條件：2211rr接觸點(diǎn)處兩盤的線速度相等接觸點(diǎn)處兩盤的線速

14、度相等1r2r101Ngm1ffgm22N1o2o可解得：可解得：212221102211rJrJrJ212221102112rJrJrrJ例例9: 質(zhì)量為質(zhì)量為2m,半徑為半徑為R的均質(zhì)圓盤形滑輪的均質(zhì)圓盤形滑輪,掛質(zhì)量分別為掛質(zhì)量分別為m和和2m的物體的物體, 繩與滑輪之間的摩擦系數(shù)為繩與滑輪之間的摩擦系數(shù)為,問問為何值時為何值時繩與滑輪之間無相對滑動繩與滑輪之間無相對滑動.解解: 受力分析受力分析:mg1Tmg22Tm2m2T1T列方程列方程:mamgT1maTmg222:m:2m滑輪滑輪:122221RTRTmR不打滑的條件不打滑的條件:Ra mg2mg1T2T2T1TaamamgT1

15、maTmg222122221RTRTmRRa 由以上四式解得由以上四式解得:mgT451mgT2322T1T2T1TdTT TdfddN繩中的張力分析繩中的張力分析任取線元任取線元Rddl 此線元切向運(yùn)動方程為：此線元切向運(yùn)動方程為：2d2d2cos)(2cosddTTdfdT此線元法向運(yùn)動方程為：此線元法向運(yùn)動方程為：2sin)(2sinddTTdTdN2cos)(2cosddTTdfdT2sin)(2sinddTTdTdN利用近似：利用近似：12cosd22sindd忽略二階無窮小量，得到：忽略二階無窮小量，得到：dNdfdTdN TddN 兩式相除得到：兩式相除得到：dTdN TddN

16、兩式相除得到：兩式相除得到：TdTd解此方程得到：解此方程得到：eTT1當(dāng)當(dāng)2TT 時，時，于是得到摩擦系數(shù)為：于是得到摩擦系數(shù)為：56ln1例例10 均勻圓柱體均勻圓柱體,從靜止沿斜面下滑從靜止沿斜面下滑,圓柱與斜面間摩擦系圓柱與斜面間摩擦系數(shù)為數(shù)為,當(dāng)摩擦系數(shù)為某一臨界值時當(dāng)摩擦系數(shù)為某一臨界值時,圓柱體恰純滾動地向圓柱體恰純滾動地向下滾動下滾動, 求此求此臨界值臨界值.解解:cossinmgmgmacRmgmRcos212質(zhì)心運(yùn)動方程質(zhì)心運(yùn)動方程mgfcaN轉(zhuǎn)動定理轉(zhuǎn)動定理純滾動條件純滾動條件:Rac解得解得:tan31例例11. 一個質(zhì)量為一個質(zhì)量為m 的衛(wèi)星圍繞著質(zhì)量為的衛(wèi)星圍繞著質(zhì)

17、量為M,半徑為半徑為R的大星體作半徑為的大星體作半徑為 2R的圓周運(yùn)動的圓周運(yùn)動.從遠(yuǎn)處飛來一個從遠(yuǎn)處飛來一個質(zhì)量為質(zhì)量為2m, 速度為速度為RGMv 的小流星的小流星.恰好沿著恰好沿著衛(wèi)星運(yùn)動方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生猛烈碰撞衛(wèi)星運(yùn)動方向追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生猛烈碰撞,結(jié)成結(jié)成新的星體新的星體,作用時間非常短作用時間非常短.假定碰撞前后位置的變化假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計(jì)可以忽略不計(jì), 新星的速度仍沿原來方向新星的速度仍沿原來方向.1試用計(jì)算闡明新星的軌道類型試用計(jì)算闡明新星的軌道類型,算出軌道的偏心率算出軌道的偏心率.2假設(shè)小流星沿著衛(wèi)星速度的反方向發(fā)生如上的碰撞假設(shè)小流星沿著衛(wèi)星速度

18、的反方向發(fā)生如上的碰撞給出新星體能否與大星體給出新星體能否與大星體M碰撞的判別。碰撞的判別。1解解: 軌道類型與新星軌道類型與新星的機(jī)械能的正負(fù)有關(guān)的機(jī)械能的正負(fù)有關(guān).假設(shè)動能大于勢能假設(shè)動能大于勢能,新星可以擺脫地球的新星可以擺脫地球的吸引吸引,軌道成為非閉合的軌道成為非閉合的假設(shè)動能小于于勢能假設(shè)動能小于于勢能,新星不能擺脫地球的新星不能擺脫地球的吸引吸引,軌道成為閉合的軌道成為閉合的,即橢圓軌道即橢圓軌道.可以用新星的機(jī)械可以用新星的機(jī)械能的正負(fù)來判別軌道的類型能的正負(fù)來判別軌道的類型. 偏心率的定義為偏心率的定義為近遠(yuǎn)近遠(yuǎn)rrrrevvab為了計(jì)算碰后的機(jī)械能為了計(jì)算碰后的機(jī)械能,首先

19、要計(jì)算出碰后的速度首先要計(jì)算出碰后的速度.設(shè)碰后新星速度為設(shè)碰后新星速度為v碰撞過程動量守恒碰撞過程動量守恒.碰前衛(wèi)星的運(yùn)動方程為碰前衛(wèi)星的運(yùn)動方程為221)2(2RMmGRvm求得碰前衛(wèi)星的運(yùn)動速度求得碰前衛(wèi)星的運(yùn)動速度:RGMv21碰撞過程動量守恒碰撞過程動量守恒vmmvmmv2)2(1求得碰后新星的運(yùn)動速度求得碰后新星的運(yùn)動速度:RGMv23122此時的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動的近地點(diǎn)此時的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動的近地點(diǎn).我們計(jì)算新星近地點(diǎn)的機(jī)械能我們計(jì)算新星近地點(diǎn)的機(jī)械能RmMGvmE2)3 (3212闡明新星作橢圓軌道運(yùn)動闡明新星作橢圓軌道運(yùn)動.下面我們討論一下新星的機(jī)械能與遠(yuǎn)地點(diǎn)間隔關(guān)系

20、下面我們討論一下新星的機(jī)械能與遠(yuǎn)地點(diǎn)間隔關(guān)系新星運(yùn)動角動量守恒新星運(yùn)動角動量守恒vab遠(yuǎn)r遠(yuǎn)遠(yuǎn)vmrvmR3)3(2GMRrvrRv231222遠(yuǎn)遠(yuǎn)遠(yuǎn)得到得到帶入遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式帶入遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式0)3 (36924RmGMvab遠(yuǎn)r遠(yuǎn)遠(yuǎn)rmMGvmE)3()3(212此能量應(yīng)等于新星在近此能量應(yīng)等于新星在近地點(diǎn)的機(jī)械能地點(diǎn)的機(jī)械能遠(yuǎn)遠(yuǎn)rmMGrGMRmE)3(92122)3(2122RmGM)3 (36924解得解得經(jīng)化簡得到經(jīng)化簡得到0362491912222RrrR遠(yuǎn)遠(yuǎn)RRr8 . 82491811228124912遠(yuǎn)偏心率偏心率63. 0近遠(yuǎn)近遠(yuǎn)rrrre2解：反方向碰撞，設(shè)

21、碰后新星體的速度為解：反方向碰撞，設(shè)碰后新星體的速度為v碰前衛(wèi)星的速度碰前衛(wèi)星的速度:RGMv21質(zhì)量為質(zhì)量為m碰前流星的速度碰前流星的速度:RGMv2質(zhì)量為質(zhì)量為2m碰撞過程動量守恒碰撞過程動量守恒vmmvmmv2)2(1求得碰后新星的運(yùn)動速度求得碰后新星的運(yùn)動速度:RGMv23122此時的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動的遠(yuǎn)地點(diǎn)此時的位置相當(dāng)于在新星運(yùn)動的遠(yuǎn)地點(diǎn).我們計(jì)算新星遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能我們計(jì)算新星遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能RmMGvmE2)3 (3212闡明新星作橢圓軌道運(yùn)動闡明新星作橢圓軌道運(yùn)動.新星運(yùn)動角動量守恒新星運(yùn)動角動量守恒近近vmrvmR3)3(2GMRrvrRv231222近近近得到得到帶入近地

22、點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式帶入近地點(diǎn)的機(jī)械能表達(dá)式0)3 (36924RmGMvv近近rmMGvmE)3()3(212此能量應(yīng)等于新星在遠(yuǎn)此能量應(yīng)等于新星在遠(yuǎn)地點(diǎn)的機(jī)械能地點(diǎn)的機(jī)械能近近rmMGrGMRmE)3(92122)3(2122RmGM)3 (36924解得解得經(jīng)化簡得到經(jīng)化簡得到0362491912222RrrR近近RRRr4 . 02491811228124912近一定與大星體相碰。一定與大星體相碰。例例12. 半徑為半徑為R的圓環(huán)繞鉛垂的直徑軸以的圓環(huán)繞鉛垂的直徑軸以 的角速度旋轉(zhuǎn)的角速度旋轉(zhuǎn)一細(xì)桿長為一細(xì)桿長為RL2, 其兩端約束在圓環(huán)上可作無摩擦其兩端約束在圓環(huán)上可作無摩擦的滑動的滑動

23、,細(xì)桿的位置用細(xì)桿的位置用OC與鉛垂線的夾角與鉛垂線的夾角表示，表示，C為為細(xì)桿的質(zhì)心試求細(xì)桿在圓環(huán)上的平衡位置，并分析細(xì)桿的質(zhì)心試求細(xì)桿在圓環(huán)上的平衡位置，并分析平衡的穩(wěn)定性平衡的穩(wěn)定性COR解：以圓環(huán)為參考系，以細(xì)桿解：以圓環(huán)為參考系，以細(xì)桿質(zhì)心位于軸上時作為重力勢能質(zhì)心位于軸上時作為重力勢能的的0點(diǎn)，恣意位置時重力勢能為點(diǎn)，恣意位置時重力勢能為x045)cos1 (45cos0mgRE重)cos1 (2mgRCORx045在細(xì)桿上任取線元在細(xì)桿上任取線元dl所受的慣性力離心力為所受的慣性力離心力為dlxxdlLmdf2離此力作功與途徑無關(guān)，可用勢能減少此力作功與途徑無關(guān)，可用勢能減少量描

24、畫設(shè)軸上的離心勢能為，量描畫設(shè)軸上的離心勢能為，dl處的離心勢能處的離心勢能設(shè)為設(shè)為離dE，應(yīng)有，應(yīng)有離離dExddfx00 xdxdlLmdEx02離dlxLm2221CORx045dlxcos)4sin(lRxdllRLmdE22cos)4sin(2離離心勢能為：離心勢能為：dllRLmEL220cos)4sin(2離222221cos32141軸JmR系桿總的有效勢能系桿總的有效勢能222cos32141)cos1 (2mRmgREp離重EEEp222cos32141)cos1 (2mRmgREpCO平衡條件：平衡條件：0ddEp穩(wěn)定平衡條件：穩(wěn)定平衡條件：022dEdp非穩(wěn)定平衡條件：

25、非穩(wěn)定平衡條件：022dEdp由由0ddEp求出三個平衡位置：求出三個平衡位置：Rg2123cos, 0為討論平衡位置的穩(wěn)定性，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù)為討論平衡位置的穩(wěn)定性，計(jì)算二階導(dǎo)數(shù))sin(cos31cos21222222mRmgRdEdp時時222312RgmRdEdp當(dāng)當(dāng)Rg232時，時，022dEdppE取極小值，屬穩(wěn)定平衡取極小值，屬穩(wěn)定平衡當(dāng)當(dāng)Rg232時，時，022dEdppE取極大值，屬不穩(wěn)定平衡取極大值，屬不穩(wěn)定平衡CO時時0312222RgmRdEdppE取極大值，屬不穩(wěn)定平衡取極大值，屬不穩(wěn)定平衡CO當(dāng)當(dāng)Rg2123cos時時224222233gRmdEdp因因1cos，即，即1232Rg，或，或224233gR所以當(dāng)所以當(dāng)Rg2123cos時，時，定屬于穩(wěn)定平衡定屬于穩(wěn)定平衡CO022dEdp例例13. 程度彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為程度彈簧振子，彈簧的勁度系數(shù)為k，振子的，振子的質(zhì)量為質(zhì)量為m，程度阻尼力的大小與振子的運(yùn)動速度成，程度阻尼力的大小與振子的運(yùn)動速度成正比比例系數(shù)為正比比例系數(shù)為，求構(gòu)成低阻尼振動的條件。，求構(gòu)成低阻尼振動的條件。解：據(jù)牛頓第二定律，得到解：據(jù)牛頓第二定律，得到