小學(xué)奧數(shù)知識點梳理-全(大字)(共63頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上學(xué)而思小學(xué)奧數(shù)知識點梳理 前言小學(xué)奧數(shù)知識點梳理，對于學(xué)而思的小學(xué)奧數(shù)大綱建設(shè)尤其必要，不過，對于知識點的概括很可能出現(xiàn)以偏概全掛一漏萬的現(xiàn)象，為此，本人參考了單尊主編的小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克、中國少年報社主編的華杯賽教材、華杯賽集訓(xùn)指南以及學(xué)而思的寒假班系列教材和華羅庚學(xué)校的教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構(gòu)建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集，可補充相應(yīng)雜題），原則上簡明扼要，努力刻畫小學(xué)奧數(shù)知識的主樹干。1、把條件翻成數(shù)學(xué)表達（圖、式子等）2、代數(shù)的思想，翻不出來用字母代 3、不會做的時候怎么吧，能做啥做啥 概述遇到讓找出所有數(shù).,不要害怕，肯定不是很

2、多，找規(guī)律，靜下心；代數(shù)思想、逆推思想、歸納思想、猜證思想、分類分步思想、數(shù)形結(jié)合思想，我們告訴快速提分策略。 不知該怎么辦時，枚舉找規(guī)律一、計算必考題目一般需要速算巧算要先觀察，看準(zhǔn)了再動手！和、差、積的個位都只和每個數(shù)的個位有關(guān)能大巧算就大巧，不能大巧就小巧，實在不行來狠的（數(shù)少或小的時候，有時也許可以硬算）數(shù)多或大時，硬算會出人命的，此時大都需要找規(guī)律。1、四則混合運算繁分?jǐn)?shù)1 運算順序：2 分?jǐn)?shù)、小數(shù)混合運算技巧一般而言： 加減運算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式； 帶分?jǐn)?shù)的加減法常常整數(shù)和分?jǐn)?shù)分開寫； 乘除運算中，統(tǒng)一以分?jǐn)?shù)形式。乘法變成假分?jǐn)?shù)；帶分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)的互化如果有大量的假可

3、以化帶，如果有大量的帶，可以化假；繁分?jǐn)?shù)的化簡(5) 要考慮整體約分、連續(xù)約分的概念；2、簡便計算湊整思想 互補就加、尾同就減、配對湊整、借來還去分組湊整：（1）好多數(shù)，且中間有省略；（2）甚至可能打亂順序，重組；（3）帶著前面的符號基準(zhǔn)數(shù)思想裂項與拆分 裂和：目的：兩兩相消；湊整= +; = +=+裂差：目的：兩兩相消（1） 分子全部相同，最簡單形式為1，不是1提取公因數(shù)（2） 分母均為幾個自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰2個分母上的因數(shù)首尾相接；（3） 分母上的幾個因數(shù)間的差是一個定值； 分?jǐn)?shù)拆分： = + =+, m, n是10的約數(shù)就可以；選取m, n的比不同就可以分成不同的兩個分?jǐn)?shù)相加

4、；這里有（1,2）（2,5）（1,10）（1,5）（1,1）階乘：考試考到階乘通常是除法和逆運算乘法，乘法往上5！，想6, 5！×6 = 6！ 除法考慮自己，想5，5！÷5 = 4!提取公因數(shù)公因數(shù)不會明白地告訴，需要用找出來 如何找？用拆分，也就是乘不變的方法，目的是找公因數(shù) * 迎春杯特點：一定會考一題，一般是湊整求和、提取共因數(shù)；考提取公因數(shù)的可能比較大，但不會那么明顯地給出公因數(shù)，需要拆分找出來；實在不會，低年級可以硬算。商不變性質(zhì)改變運算順序 運算定律的綜合運用：交換率、結(jié)合率 連減的性質(zhì) 連除的性質(zhì) 同級運算移項的性質(zhì)：搬家?guī)Х?，加減括號，前面是、÷

5、是一定要注意 增減括號的性質(zhì) 變式提取公因數(shù)形如：(7)換元 (8)通項歸納找規(guī)律，從簡單情況入手目的：利用通項求解解題步驟：找最后一項，然后套公式（通常別算出來，當(dāng)找不出規(guī)律時，再考慮算出來）a. 1或2步上10階樓梯，有多上種上法；b. 幾個圓或線或矩形吧平面分多少份 方法：看多一個圖形，多幾個點，看多一個點把新的圖形分成幾個部分，就多幾個部分 線和圓把平面分成多少份，第一條線有問題，其他恢復(fù)正常；3、估算求某式的整數(shù)部分：擴縮法4、比較大小 基本方法 通分a. 通分母b. 通分子 跟“中介”比，比如和1比 利用倒數(shù)性質(zhì)若，則c>b>a.。形如：，則。 濃度法是真分?jǐn)?shù)，必有 &

6、gt; ;是假分?jǐn)?shù)，且ab，必有 < ; 做差：差與0比 做商：商與1比做商還是做差，看題目條件 放縮法 求整數(shù)部分 結(jié)構(gòu)調(diào)整：以2的次方為標(biāo)記點，劃幾個，董老師5年級下班9講 > 向左劃括號< 向右劃括號 兩數(shù)：差小積大 5、定義新運算ü 要理解新符號的運算規(guī)則（普通題：告訴你規(guī)則，直接代入就好；牛題：新運算需要推導(dǎo)出來，方法：趙規(guī)律，通項歸納）ü 理解運算順序 沒有特殊說明的話，（1）從左往右算，有括號先括號；（2）一個式子包含多個新符號，視這些新符號優(yōu)先級相同ü 運算率別亂用；6、特殊數(shù)列求和運用相關(guān)公式： 1+2+3+4（n-1）+n+（

7、n-1）+4+3+2+1=n (a+b)2=a2+2ab+b27、大數(shù)計算：找規(guī)律，可以先用小數(shù)算算找規(guī)律；湊9，99， 999 9、重復(fù)數(shù)字：4=324×10、頭同尾和十（1）概念：兩位數(shù)×兩位數(shù)中，十位數(shù)字相同，個位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位=尾×尾；積從百位起前面的數(shù)=頭×（頭+1）例如：73×77=5621（2）尾同頭合十概念：兩位數(shù)×兩位數(shù)中，個位數(shù)字相同，十位數(shù)字相加為十結(jié)果：積的后兩位=尾×尾；積從百位起前面的數(shù)=頭×頭+尾 例如：78×38=296411、452=202512、7

8、5;11×13 = 1001 37×3 = 11113、7的秘密：1÷7 = 0. ×1 ×2 = 14、位值原理： 一個數(shù)可以拆成每一位上的數(shù)值×位值二、數(shù)論知識點小而多，需要記憶的東西多。包括：整除問題；整除特征(小升初?？純?nèi)容)；余數(shù)問題；奇偶問題；質(zhì)數(shù)合數(shù)；約數(shù)倍數(shù)還有那個平方數(shù)的特征。1、奇偶性問題奇奇=偶 奇×奇=奇奇偶=奇 奇×偶=偶偶偶=偶 偶×偶=偶兩個數(shù)的和差奇偶性相同連續(xù)乘法、除法，見偶得偶；連續(xù)加法、減法，只數(shù)奇數(shù)的個數(shù)，奇數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)，結(jié)果是奇；奇數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)，結(jié)果是偶2、位

9、值原則形如：=100a+10b+c3、數(shù)的整除特征：除法的封閉性要不是下面這些特殊數(shù)，變成這些特殊數(shù)，可以變大、也可以變大。末位：（2,5）（22, 55）（23, 53）；數(shù)段和：（3,9）(99,33,11) (37, 111,333,999)數(shù)段差：（7,11,13）整除數(shù)特 征2末尾是0、2、4、6、8；也說明能被2整除的數(shù)，其個位數(shù)字只能是偶數(shù)；3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)5末尾是0或59各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)4和25末兩位數(shù)是4（或25）的倍數(shù)8和125末三位數(shù)是8（或125）的倍數(shù)7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的差

10、是7（或11或13）的倍數(shù)，偶數(shù)位與奇數(shù)位的差99從后往前，兩位一段，各段之和是99的倍數(shù)，此數(shù)是99的倍數(shù)4、整除性質(zhì) 如果c|a、c|b，那么c|(ab)。 如果bc|a，那么b|a，c|a。 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。 如果c|b,b|a,那么c|a. a個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。 6672這樣的用試除法； ()k ÷（K-1），若（a+b+c）10 = (K-1)10×(n)10，則可整除，反之，余 =（余）10；5、帶余除法=一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b0）,那么一定有另外兩個整數(shù)q和r，0rb,使得a=b×q

11、+r當(dāng)r=0時，我們稱a能被b整除。當(dāng)r0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=qr, 0rb a=b×q+r6. 唯一分解定理任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即n= p1× p2×.×pk7、約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理設(shè)自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1× p2×.×pk那么：n的約數(shù)個數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1).(ak+1) 證明：關(guān)鍵是乘法原理n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+p1）（1+P2+P2+p2）（1

12、+Pk+Pk+pk）約數(shù)積：約數(shù)是成對出現(xiàn)的例：12的約數(shù)積，1X12=12，3X4=12， 2X6=12 1238、兩數(shù)的約數(shù)也是兩數(shù)差的約數(shù)； （a,b）是a,b; a-b; a+b; a,b的約數(shù)；9、同余定理 同余定義：若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模m同余，用式子表示為ab(mod m) 若兩個數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。兩數(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。兩數(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。 余數(shù)相同：減同余補數(shù)相同：加同補10棄九法

13、 （1）自然數(shù)N和它的數(shù)字和除以9同余； （2）在其他進制里同理：如7進制里，數(shù)N和它的各個數(shù)字和除以6同余 證明：位值法11完全平方數(shù)性質(zhì)平方差： A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。 約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。平方和。 322 = 1024 是第一個四位數(shù) 992 = 9801 四位數(shù)里最大的四位數(shù) 332 = 四位數(shù)里第1個奇數(shù) 一個完全平方數(shù)的個位數(shù)的個位數(shù)字一定是0,1,4,5,6,9 完全平方數(shù)除以4的性質(zhì)最重要，偶數(shù)除以4余0，奇數(shù)除以4余1，除以4余3一定不是

14、完全平方數(shù)；12孫子定理（中國剩余定理）見下13余數(shù)應(yīng)用 求某數(shù)、某式的末一位、二位、三位是幾？ （1）末一位，相當(dāng)于求除10 = 2×5 末二位，相當(dāng)于求除100 = 4×25 末三位，相當(dāng)于求除1000 = 8×125 （2）以大化小 （3）找余數(shù)1：費馬小定理： 如a÷p = (p-1)、P為質(zhì)數(shù)； 則a2÷p = 1 如(1) p 是質(zhì)數(shù)，且a和p互質(zhì) 則：則ap-1÷p = 1 14輾轉(zhuǎn)相除法-根本在于輾轉(zhuǎn)相減例：求2010 2948 的最大公約數(shù) 2948-2010 = 938 2010-938 = 1072 1072-9

15、38 = 134 938-134 = 804 804-134 = 670 。 134-134 = 0 所以最大公約數(shù)是134。15. 質(zhì)數(shù)（1）質(zhì)數(shù)有無窮個，質(zhì)數(shù)的分布有漸稀性，（2）特別注意：質(zhì)數(shù)中2是唯一偶數(shù)（奇偶性）；5（唯一一個末尾是5的質(zhì)數(shù)）； 3兩次余數(shù)，（3）如果兩個數(shù)互質(zhì)，這兩個數(shù)的和與其中任意一個數(shù)互質(zhì)，差也是；100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)：101、103、107、109，4位最小的質(zhì)數(shù)：1009 1003=17X591007=19X53（4）判斷質(zhì)數(shù)的方法（5）制造連續(xù)合數(shù)（16求最大公因數(shù)，最小共倍數(shù) （1）分解質(zhì)因數(shù) （2）短除法 （3）分?jǐn)?shù)：分子求正面，分母求相反； （4）a&#

16、215;b = (a,b)×a,b17數(shù)論解題的常用方法枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計中國古代求解一次同余式組（見同余）的方法。是中一個重要定理。又稱中國。 公元前后的孫子算經(jīng)中有“物不知數(shù)”問題：“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之余二 ，五五數(shù)之余   三 ，七七數(shù)之余二，問物幾何？”答為“23”。也就是求同余式組x2 （mod3），x3 （mod5 ），x2 （mod7）（式中ab （modm）表示m整除ab ）的正整數(shù)解。明朝程大位用歌謠給出了該題的解法：“三人同行七十稀，五樹梅花廿一枝，七子團圓月正半，除百零五便得知?！奔唇鉃閤2×703×

17、212×1523323(mod105）。此定理的一般形式是設(shè)m = m1 ， ，mk 為兩兩互素的正整數(shù)，mm1，mk ，mmiMi，i1，2， ，k 。則同余式組xb1(modm1)，xbk(modmk)的解為xM'1M1b1M'kMkbk （modm）。式中M'iMi1 （modmi），i1，2，k 。直至18世紀(jì) C.F.高斯才給出這一定理。孫子定理對近代數(shù)學(xué)如環(huán)論，賦值論都有重要影響。 解法中的三個關(guān)鍵數(shù)70，21，15，有何妙用，有何性質(zhì)呢?首先70是3除余1而5與7都除得盡的數(shù)，所以70a是3除余a,而5與7都除得盡的數(shù)，21是5除余1，而3與7都

18、除得盡的數(shù)，所以21b是5除余b，而3與7除得盡的數(shù)。同理，15c是7除余c，3與5除得盡的數(shù)，總加起來 70a+21b+15c 是3除余a，5除余b ，7除余c的數(shù)，也就是可能答案之一，但可能不是最小的，這數(shù)加減105(105=3*5*7)仍有這樣性質(zhì)，可以多次減去105而得到最小的正數(shù)解。 附：如70，其實是要找余2的，但只要找到了余1的再乘2即余二了。 孫子問題的解法，以現(xiàn)代的說法，是找出三個關(guān)鍵數(shù)70，21，15。解法的意思就是用70乘3除所得的余數(shù)，21乘5除所得的余數(shù)，15乘7除所得的余數(shù)，然后總加起來，除以105的余數(shù)就是答案。 即題目的答案為 70×2+21×

19、;3+15×2 =140+63+30 =233 233-2×105=23 公式：70a+21b+15c-105n （中國剩余定理CRT）設(shè)m1,m2,.,mk是兩兩互素的正整數(shù)，即gcd(mi, mj) =1, ij, i,j = 1,2,.,k 則同余方程組： xb1 mod m1 xb2 mod m2 . xbk mod mk 模m1,m2,.,mk有唯一解，即在m1,m2,.,mk的意義下，存在唯一的x,滿足： xbi mod m1,m2,.,mk, i = 1,2,.,k 中國剩余定理”算理及其應(yīng)用： 為什么這樣解呢？因為70是5和7的公倍數(shù)，且除以3余1。21是3

20、和7的公倍數(shù)，且除以5余1。15是3和5的公倍數(shù)，且除以7余1。（任何一個一次同余式組，只要根據(jù)這個規(guī)律求出那幾個關(guān)鍵數(shù)字，那么這個一次同余式組就不難解出了。）把70、21、15這三個數(shù)分別乘以它們的余數(shù)，再把三個積加起來是233，符合題意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍數(shù)，去掉105的倍數(shù)，剩下的差就是最小的一個答案。用歌訣解題容易記憶，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三個數(shù)去除，用其它的數(shù)去除就不行了。后來我國數(shù)學(xué)家又研究了這個問題，運用了像上面分析的方法那樣進行解答。例1：一個數(shù)被3除余1，被4除余2，被5除余4，這個數(shù)最小是幾？題中3、4、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則4，5=

21、20；3，5=15；3，4=12；3，4，5=60。為了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×145×236×4=274，因為，274>60，所以，27460×4=34，就是所求的數(shù)。例2：一個數(shù)被3除余2，被7除余4，被8除余5，這個數(shù)最小是幾？題中3、7、8三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則7，8=56；3，8=24；3，7=21；3，7，8=168。為了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。

22、使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2120×4105×5=1229，因為，1229>168，所以，1229168×7=53，就是所求的數(shù)。例3：一個數(shù)除以5余4，除以8余3，除以11余2，求滿足條件的最小的自然數(shù)。題中5、8、11三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則8，11=88；5，11=55；5，8=40；5，8，11=440。為了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4385×3320

23、5;2=2499，因為，2499>440，所以，2499440×5=299，就是所求的數(shù)。 例4：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，問這個年級至少有多少人 ？（幸福123老師問的題目）題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。為了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5225×1126×2=1877，因為，1877>315，所以，187

24、7315×5=302，就是所求的數(shù)。 例5：有一個年級的同學(xué)，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，問這個年級至少有多少人 ？ 題中9、7、5三個數(shù)兩兩互質(zhì)。則7，5=35；9，5=45；9，7=63；9，7，5=315。為了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×6225×2126×3=2508，因為，2508>315，所以，2508315×7=303，就是所求的數(shù)。（例5與例4的除數(shù)相同，那么各個余數(shù)要

25、乘的“數(shù)”也分別相同，所不同的就是最后兩步。） 關(guān)于“中國剩余定理”類型題目的另外解法“中國剩余定理”解的題目其實就是“余數(shù)問題”，這種題目，也可以用倍數(shù)和余數(shù)的方法解決。不懂論壇上有沒人發(fā)過。小學(xué)奧賽考試時學(xué)習(xí)過，也用過，現(xiàn)在把方法寫出來，如果懂的也別笑我，呵呵。例一，一個數(shù)被5除余2，被6除少2，被7除少3，這個數(shù)最小是多少？解法：題目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 ?？吹侥莻€“被6除余4，被7除余4”了么，有同余數(shù)的話，只要求出6和7的最小公倍數(shù)，再加上4，就是滿足后面條件的數(shù)了，6X7446。下面一步試下46能不能滿足第一個條件“一個數(shù)被5除余2”。不行的話，只要再46加

26、上6和7的最小公倍數(shù)42，一直加到能滿足“一個數(shù)被5除余2”。這步的原因是，42是6和7的最小公倍數(shù)，再怎么加都會滿足“被6除余4，被7除余4”的條件。46428846424213046424242172這是一種形式的，它的前提是條件中出現(xiàn)同余數(shù)的情況，如果遇到?jīng)]有的，下面講例二，一個班學(xué)生分組做游戲，如果每組三人就多兩人，每組五人就多三人，每組七人就多四人，問這個班有多少學(xué)生？解法：題目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。沒有同余的情況，用的方法是“逐步約束法”，就是從“除7余4的數(shù)”中找出符合“除5余3的數(shù)”，就是再7上一直加4，直到所得的數(shù)除5余3。得出數(shù)為18，下面只要在18上一直

27、加7和5得最小公倍數(shù)35，直到滿足“除3余2”471111718183553這種方法也可以解“中國剩余定理”解的題目。比“中國剩余定理”更好理解，我覺的速度上會比那個繁瑣的公式化的解題更快。大家可以試下. 所以：一共有5個 187 367 547 727 90718、最值問題 考慮平均化和極端化兩數(shù)和一定，差小積大； 兩數(shù)積一定，差小和小三、幾何圖形幾何出題特點及趨勢： 淡化幾何幾大模型的直接考察 勾股定理頻繁現(xiàn)身幾何題中 方程（組）作用非比尋常歐拉公式 = 頂點 + 區(qū)域 = 邊數(shù) + 維數(shù) 11、平面圖形多邊形的內(nèi)角和N邊形的內(nèi)角和=(N-2)×180°等積變形（位移、

28、割補） 三角形內(nèi)等底等高的三角形 平行線內(nèi)等底等高的三角形 公共部分的傳遞性 極值原理（變與不變）三角形面積與底的正比關(guān)系 S1S2 =ab ； S1S2=S4S3 或者S1×S3=S2×S4（所謂蝴蝶模型）相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例） ; S1S2=a2A2（即所謂梯形蝴蝶模型）S1S3S2S4= a2b2abab ; S=（a+b）2燕尾定理SABG：SAGCSBGE：SGECBE：EC；SBGA：SBGCSAGF：SGFCAF：FC；SAGC：SBCGSADG：SDGBAD：DB；(6)共角定理(7)差不變原理知5-2=3，則圓點比方點多3。(8)隱含條件的等價代換

29、例如弦圖中長短邊長的關(guān)系。(9)組合圖形的思考方法 化整為零 先補后去 正反結(jié)合 有時要求的無法求，可以用反面的方法，求外圍然后減去 求面積，直接求 間接求：整體部分；總× 不好求，放到一個大的圖形中去求，方法:這個大的圖形的面積好求，或者這個大的圖形可以放到再一個大的圖形中求，而這個更大的圖形的面積好求 容斥法求解 (10) 長方形 a bd c a d b c a×c = b×d ac = bd（11）正方形： 說到正方形，就要想到等腰三角形，反之亦然 弦圖：看到斜著放的正方形，就應(yīng)該想到弦圖 變成5個小正方形作一個面積為5的正方形（12）海倫公式 三角形的三

30、邊長分別為：a、b、c; p為半周長 = （a +b +c）/2 則三角形的面積S = （13） 如果六邊形對邊相等，相隔一個頂點相連成的三角形的面積是六邊形面積的一半（14） 當(dāng)求一部分比另一部分的面積大多少時，除了直接求出每部分相減外，應(yīng)該可以考慮差不變得方法；2、立體圖形：長方體、正方體規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式 幾個面，幾個棱等要記清； 圓柱體的體積和表面積 圓錐體的體積和表面積 三棱柱的體積和表面積不規(guī)則立體圖形的表面積整體觀照法體積的等積變形 水中浸放物體：V升水=V物要先判斷是否水上升超過了侵入的物體，然后再算升高了多少； 測啤酒瓶容積：V=V空氣+V水三視圖與展開圖 最短線

31、路與展開圖形狀問題求堆積體表面積的常見方法三視圖法，有些看不見的圖要額外加上求堆積體體積的常見方法切片法染色問題（含染色再切塊） 幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點、面數(shù)的關(guān)系。(6) 打洞題目3、周長（1）規(guī)則圖形：（2）不規(guī)則圖形：平移，注意別有漏的，必要的時候要分析線段之間的關(guān)系、要加加減減，4、圖形計數(shù)：容易數(shù)不全，方法：會分類特別的：（6+5+4+3+2+1）×（4+3+2+1）5、圖形分割和拼接（1）割：從數(shù)量和對稱點入手（特別是當(dāng)要求面積一樣時）（2）拼：看每條邊的長度，相同長度的往一起拼，當(dāng)然有時候可以是一條長邊等于多條短邊（3）剪、拼：前后面積相等、要計算規(guī)劃6、一

32、些特殊圖形完美長方形、弦圖(對角線把長方形分成相等的兩部分記一些圖形規(guī)律7、勾股定理（兩直角邊的平方和等于斜邊的平方， 記的數(shù)據(jù)：3、4、5； 5、12、13；1、1、根號2(1) 在平面幾何中應(yīng)用：直線形，曲線形（兩園相切：園心相連過切點；兩園相交）折疊：（1）利用對稱，用盡量少得未知數(shù)表述圖中的線段 （2）勾股定理解方程；(2) 立體幾何中的應(yīng)用：對角線AD2 = ( AC2 + BC2 ) + BD2ABCD8曲線形圖形（圓、扇形的周長與面積；平移、割補、旋轉(zhuǎn)） 公式總結(jié)： 圓的面積 扇形面積 圓的周長 扇形周長 9、一些特殊的圖形：（1）弓形：弓形通常只求面積，半圓是特殊的弓

33、形；弓形面積扇形面積三角形面積（除了半圓）（2）“彎角” ：彎角的面積正方形扇形 （3）“谷子”：“谷子”的面積弓形面積×2（5） 圓環(huán)面積： 環(huán)= （ ）（6） (7) “谷子”+ 四、典型應(yīng)用題迎春杯特點：* 不會那么明顯、直接地出盈虧、雞兔同籠、倍比關(guān)系，會有變形和復(fù)雜的關(guān)系或陷阱* 畫圖時，對于賣掉、去掉、運走、增加一樣多等從左邊畫；* 高年級了，實在不好考慮，用方程做，一般求啥設(shè)啥為未知數(shù)（直接設(shè)），還可以間接設(shè)；1植樹問題開放型與封閉型間隔與株數(shù)的關(guān)系2方陣問題外層邊長數(shù)-2=內(nèi)層邊長數(shù) （即不論哪一層，每往里一層，每邊差2，每相鄰兩層的總數(shù)差8）（外層邊長數(shù)-1）

34、15;4=外周長數(shù)（即可以用螺旋法求每一層的總數(shù)，其他形狀的隊列也一樣）外層邊長數(shù)2-中空邊長數(shù)2=實面積數(shù)，（即正方形、長方形的有時可以轉(zhuǎn)換成面積）3列車過橋問題車長+橋長=速度×時間車長甲+車長乙=速度和×相遇時間車長甲+車長乙=速度差×追及時間列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題車長=速度和×相遇時間車長=速度差×追及時間4年齡問題（1）牢記：年齡差不變；如果變了，一定有特殊的年齡情況，一定要找問題的關(guān)鍵，比如XX年沒有某人沒有出生等等；（2）年齡增加數(shù)一樣；年齡倍數(shù)是變的5雞兔同籠假設(shè)法的解題思想、方程的方法常常會更簡單快

35、，但解方程要準(zhǔn)確，但可以兩種方法進行檢驗假設(shè)法：全都是一種動物。 如果有多種動物，可根據(jù)動物的特點先分成兩種砍足法畫圖法捆綁法（打包法）換算法6牛吃草問題原有草量=（牛吃速度-草長速度）×時間7平均數(shù)問題無論什么平均，一定記得總的數(shù)量÷總的單位，才是平均設(shè)數(shù)法8盈虧問題假設(shè)法的解題思想、方程的方法常常會更簡單快，但解方程要準(zhǔn)確，但可以兩種方法進行檢驗公式法 : 分析差量關(guān)系（盈虧）÷兩次分配差 （盈盈）÷兩次分配差（虧虧）÷兩次分配差特別注意：一定的數(shù)量平均分給固定的對象時才能直接套公式，即：（1）涉及三個量：被分配的總數(shù)、接受分配的人或物、分

36、配原則（平均）； 原則：要保證“被分配的總數(shù)”、“接受分配的人或物”不變 方法：想辦法把變的量變成不變的（2）基本的盈虧問題可以用殷老師的畫圖的方法；9和差問題10和倍問題11差倍問題12逆推問題 還原法，從結(jié)果入手倒推法（列圖表、線段圖）吹氣球法 逆推 ß-à歸納13代換問題 列表消元法 等價條件代換五、行程問題普通行程問題最基本的概念：路程和=速度和×相遇時間，所有的問題都來自于： （1） S變：往返問題（ST圖），環(huán)形跑道（一圈的概念）ST圖，即柳卡圖，但遇到數(shù)字不好解的，考慮有沒有其他方法（2） V變：流水行程（水速），變速問題（差量） 解題時要考慮速度比

37、，或者假設(shè)速度不變會怎樣（比如S變?yōu)槎嗌伲?） T變：走走停停（分段），平均速度（總S/總T）ü 線段圖、方程、比列法都是常用工具，有時候可以轉(zhuǎn)化成面積；ü 三人以上相遇或追及：殺人，轉(zhuǎn)換成兩兩相遇ü 如果路程、時間和速度只告訴一個，或一個都沒有告訴用設(shè)數(shù)法ü 中點問題（陷阱）ü 如果題目中未提示什么相遇，相遇包括迎面相遇和追及相遇；端點的相遇，即是迎面相遇又是追及相遇（4）變道：判斷相遇的大概位置，第一次的，和要求的那次的相遇的大概位置1相遇問題路程和=速度和×相遇時間2追及問題路程差=速度差×追及時間3流水行船順?biāo)俣?/p>

38、=船速+水速逆水速度=船速-水速船速=（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，順?biāo)俣群湍嫠俣群褪莾杀兜拇?；水?（順?biāo)俣?逆水速度）÷2，順?biāo)俣群湍嫠俣炔钍莾杀兜乃?；相遇：速度? V甲+V乙船速，變速后分段考慮追及：速度差= V甲V乙船速，變速后分段考慮說明：兩船相遇、追及問題可以忽略水速，問一船的問題必須考慮水速；掉東西，掉多久，追多久；只有一個量（V、S、T）比例設(shè)數(shù)；4多次相遇線型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)×2-1環(huán)型路程： 甲乙共行全程數(shù)=相遇次數(shù)其中甲共行路程=甲在單個全程所行路程×共行全程數(shù)5環(huán)形跑道6行程問題中正反比例關(guān)系的應(yīng)用路

39、程一定，速度和時間成反比。速度一定，路程和時間成正比。時間一定，路程和速度成正比。7鐘面上的相遇與追及問題。 鐘面介紹：鐘面60格，1格6o，時針?biāo)俣龋?小時5格÷60分 = 格/分； 分針?biāo)俣龋?小時1格÷1分 = 1格/分； 分清是追及還是相遇；一般畫個草圖，選擇整數(shù)點作為出發(fā)點； 追及問題：（1） 時針、分針一次重合，與下一次重合間隔65； 0：00到12：00，時針、分針重合了11次（算頭不算尾）： 12×60÷65= 11段 （2） 解題思路：數(shù)格子數(shù)（路程差）-找速度差-求時間 數(shù)格子的方向：由快到慢 應(yīng)記得數(shù)：直線-直線 重合-重合65=

40、相遇：找格數(shù)和（即路程和）、速度和； 壞鐘問題：壞鐘好鐘 65格 60格 ？格 5×60格注意唯一反比：時間和速度8結(jié)合分?jǐn)?shù)、工程、和差問題的一些類型。9行程問題時常運用“時光倒流”和“假定看成”的思考方法。10發(fā)車間隔問題間隔 = ？1（甲和車） = ？2（乙和車） = ？3（車自己）V車X t解方程組就可以了11接送問題（1）柳卡圖（2）畫清楚圖12火車過橋：S變（看車尾或車頭），火車過橋的路程等于車長加橋長火車過人和火車過橋問題的區(qū)別13扶梯問題 可以把它理解為牛吃草問題， 速度時間總量 （1） （2） 算出沒分鐘電梯上行或下行的速度，進而求總量，即走了多少級；14獵狗追兔 方

41、法1：題目中的兩句話告訴了獵狗和兔子的速度比； 方法2：假設(shè)獵狗 a“米”/步, 兔b“米”/步 c步/“秒” d步/“秒” 相遇或追及距離：將步轉(zhuǎn)換成米，就可以求出相遇或追擊時間，然后求出要求的步數(shù)；六、計數(shù)問題ü 需要綜合考慮，經(jīng)常功虧一簣。迎春杯必考一道，近年來和圖形結(jié)合著考的比較多ü 先看是不是直接排列組合、再看是否分步、再看是否分類、再考慮對立事件、再考慮采用對應(yīng)法；ü 看到題目要求求有多少種、多少個等題，就是加乘原理或者說是排列組合這種題型，先分類，如何分類：從條件比較特殊的入手，分類不能重復(fù)，一般是找有多種選擇的條件來分類；ü 如何分步：按

42、照完成題目要求的事情的順序，一步一步地；ü 要注意是分類的，還是分步的；分類之后一定是分步，單純的分步可以理解是只有一類情況；ü 可以和數(shù)論和最值問題結(jié)合；ü 有時候一種方向試試不好做，可以反過來想一想；1枚舉法：分類、有序枚舉，做到不重不漏；往往數(shù)量不大，范圍比較明確、一定當(dāng)說的比較寬泛，沒有辦法的時候，找規(guī)律幾何計數(shù)，特別數(shù)數(shù)三角形，常常用枚舉；2標(biāo)數(shù)法：最短路線，就是加法原理、染色、派工作3加法原理：分類4乘法原理：分步5排列組合：其實就是加乘原理，實際上是種工具，排列考慮順序，組合不考慮順序插板法例（1）方程x+y+z=10 有多少組正整數(shù)解？（2）方程x

43、+y+z=10 有多少組非負整數(shù)解？（3）方程x+y+z=10 有多少組x, y , z都不小于2的整數(shù)解？插空法例：打包法排除法除法定序6容斥原理：方法/工具：（1）文氏圖；（2）列表法：適用于題目中沒有提到交叉；（3）方程法 總數(shù)量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC 常用：總數(shù)量=A+B-AB A交B，AB A并B，AB 容斥里的最值：文字理解（何種情況下最）、險段圖（檢查）7對應(yīng)法：數(shù)數(shù)下圖有幾個三角形，三角形對應(yīng)到線例如：8抽屜原理：至多至少問題構(gòu)造抽屜（怎么構(gòu)造，抓住問題）9握手問題在圖形計數(shù)中應(yīng)用廣泛 角、線段、三角形， 長方形、梯形、平行四邊形 正方形1011染地圖，關(guān)心

44、的是圖塊之間的關(guān)系，其實不用關(guān)心圖塊的形狀，可以在不改變相鄰關(guān)系的情況下進行轉(zhuǎn)換，把不熟悉的圖形（不規(guī)則的圖形）轉(zhuǎn)換成熟悉的規(guī)則的圖形12、概率 概率 = 七、分?jǐn)?shù)問題1純循環(huán)小數(shù)、混循壞小數(shù)，互換含2、5不含其它，是有限小數(shù)；含2、5含其它，無限混循環(huán)小數(shù)，不含2、5，含其它，無限純循環(huán)小數(shù)；循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的轉(zhuǎn)換：A純循環(huán)，例：0.5 = 混循環(huán)，例：0.124 = 為什么可以這么化？設(shè)A = 0.51000A= 958.5 = 985+A999A= 958A = 2量率對應(yīng)3以不變量為“1”4利潤問題5濃度問題基本概念：溶質(zhì)、溶液、溶劑基本概念：溶液溶質(zhì)溶劑 濃度（溶質(zhì)÷溶液）&

45、#215;100% 有些題表面不是濃度問題， 但用濃度問題的方法來解，會非常簡單。辨認(rèn)不出來也沒關(guān)系，用方程的方法解題方法：（1） 根據(jù)定義列方程（2）倒三角原理、也叫十字交叉法：兩種溶液混合前后的濃度關(guān)系例：（3）通比：解決因單方面變化而引起變化的問題，抓住不變6工程問題要深刻明白單位1的概念：把整個工程看成單位1（多個工程時通常最小的當(dāng)成單位1） ；工作效率：衡量工作快慢的量（工作總量÷ 工作時間） 工作效率的和：多人合作（工作效率相加） 特別注意： 工作量和工作效率都可直接相加，但工作時間不能 方程（組）可大大縮短分析時間 合作問題 水池進出水問題7按比例分配，8分百問題分?jǐn)?shù)的

46、性質(zhì)：分子分母同時擴大或縮小相同的非0倍數(shù)，值不變 方程法：直接假設(shè)間接假設(shè)（近年?？迹?份數(shù)法：設(shè)總份數(shù)為各分母的最小公倍數(shù) 分百問題?？挤輸?shù)法單位1法方程法9在比的問題中：是，比，占后面的是一個意思 如何判斷份數(shù)和數(shù)值，比較：甲比乙多, 代表份數(shù)；甲 - 乙 = 乙 甲比乙多m, 代表份數(shù)；甲 - 乙 = 八、方程解題1等量關(guān)系 相關(guān)聯(lián)量的表示法例： 甲 + 乙 =100 甲÷乙=3 x 100-x 3x x解方程技巧: 恒等變形2二元一次方程組的求解：就是消元的過程（1）代入消元法、加減消元法、乘除消元法（2）當(dāng)方程數(shù)小數(shù)未知數(shù) 轉(zhuǎn)化為解不等式； 轉(zhuǎn)化為解不定方程； 看看是方程

47、組列錯了，還是根本就不用解，把某個或幾個或幾個和(差、積、商)當(dāng)作已知數(shù)，把要求得未知數(shù)表示出來； 3不定方程的分析求解以系數(shù)大者為試值角度、設(shè)未知數(shù)最好讓它一定是自然數(shù)；（1）整除（余數(shù)）：加減：一般來說模小的，同余 乘除：分解質(zhì)因數(shù)（2）范圍：（3）遇到數(shù)字和要想棄九法4不等方程的分析求解5未知數(shù)（1）直接設(shè)未知數(shù)（問什么設(shè)什么）、間接設(shè)未知數(shù)（問什么并不設(shè)這個為未知數(shù)，而是設(shè)中間條件）；（2）有時候不需要把所有未知數(shù)都解出來；（3）有時候可以把某些未知數(shù)當(dāng)已知數(shù)，去表示其他未知數(shù)九、找規(guī)律（操作與策略 ）兩個基本方法：1是抓實質(zhì)，操作：通過操作找規(guī)律，可以算作找規(guī)律題；操作一定要仔細遇到

48、看上去無法下手的，可以先用簡單的數(shù)或情況、少量的數(shù)或情況，試試找找規(guī)律；如果題目中沒有限制條件，就可以先拿符合的特殊的數(shù)字或情況找規(guī)律：可以按結(jié)果找，也可以按過程中找，但通常會考過程中的規(guī)律，迎春杯也是這個特點特別多數(shù)排列找規(guī)律：看行、列、中間數(shù)，周期性、等差數(shù)列、數(shù)的個數(shù)等等周期性問題，也叫循壞問題 余數(shù)的應(yīng)用ü 首先找題目中有無周期ü 有周期，做無周期，仔細操作找周期（如植樹問題其實有周期）ü 周期的循環(huán)不是固定的ü 一般日期問題都是周期問題，年月日、星期幾問題ü 周期：（總數(shù)-搗亂分子）÷組的個數(shù)下一組前幾個；ü 眼睛

49、要尖，要建立對應(yīng)關(guān)系ü 找規(guī)律的方法之一：列表，怎么知道要列表？ 如果一道題里有好幾個規(guī)律數(shù)列問題 等差數(shù)列通項公式 an=a1+(n-1)d求項數(shù)： n=求和： S=ü 求和公式、求項目的公式，即不住用植樹問題套，其實植樹問題就是等差數(shù)列問題ü 當(dāng)?shù)炔顢?shù)列有奇數(shù)項時，和為中間數(shù)×項數(shù)；也就是首數(shù)和尾數(shù)的平均數(shù)是中間數(shù)ü （3）1+3+5+9+11= 項數(shù)2ü 常常需要找數(shù)和項數(shù)的對應(yīng)關(guān)系ü 逆著算的問題ü 余數(shù)相同的各個數(shù)實際上是等差數(shù)列 等比數(shù)列：相鄰兩項倍數(shù)關(guān)系恒定不變。an=a1×qn-1, an=am×qn-m(mn)中間項2=兩邊的乘積求和： S=借來還去：使2用于公比是2或1/2；一定主要借最小的，別忘了還； 裴波那契數(shù)列： 兔子序列：1 1 2 3 5 8 13 復(fù)合數(shù)列：一會變大，一會變小 二級等差數(shù)列： 平方數(shù)列：1、4、9、（3）最值問題 最短線路a.一個字符陣組的分線讀法b.在格子路線上的最短走法數(shù) 最優(yōu)化問題a.統(tǒng)籌方法b.烙餅問題十、算式謎找突破口，什么是突破口？就是那些一看到，就馬上知道填什么的地方，一般找的方法：末尾法（末位分析），首位法（高位分析），進位，借位，位數(shù)，估算，結(jié)合數(shù)論知識點，嘗試（考慮極端情況，如果不能，選擇次優(yōu)，一定要仔