(完整版)平方差公式與完全平方公式知識點總結

1、乘法公式的復習一、平方差公式(a+b)(a-b)=a 2-b 2歸納小結公式的變式，準確靈活運用公式： 位置變化， x y y x x2 y2 符號變化， x y x y x 2 y2 x 2 y2 指數變化， x2 y2 x2 y2 x4 y4 系數變化， 2a b 2a b 4a2 b2 換式變化， xy z m xy z m22xy z m22x y z m z m2 2 2 2 x y z zm zmm2 2 2 2x y z 2zmm 增項變化，xyzxyz22x y z2x y x y z2 2 2x xy xy y z2 2 2x 2xy y z22 連用公式變化， x y x

2、y x2 y22 2 2 2x y x y44xy 逆用公式變化， x y z 2 x y zx y z x y z x y z x y z2x 2y 2z4xy 4xz完全平方公式活用：把公式本身適當變形后再用于解題。這里以完全平方公式為例，經過變形或重新組合，可得如下幾個比較有用的派生公式：2 2 21. a b 2ab a2 b22. a b 2ab a2 b23. a b 2 a b 2 2 a2 b2224. a b a b 4ab靈活運用這些公式， 往往可以處理一些特殊的計算問題， 培養(yǎng)a b 8，ab 2 2(a b) 84 256綜合運用知識的能力。例 1已知 ab 2，ab1

3、，求a2b2 的值。例 已知 ab 8 ，ab2，求 (ab)2 的值。解：T (a b)2a22abb2(ab)2 a2 2ab b22二(a b) (a b) 4aboo二(a b) 4ab = (a b)例 3 已知 a b 4，ab 5，求 a2 b2 的值。解： a2 b2 a b 2 2ab 42 2 5 26三、學習乘法公式應注意的問題(一) 、注意掌握公式的特征，認清公式中的“兩數”例 1 計算 (-2 x2-5)(2 x2-5)分析：本題兩個因式中“-5 ”相同，“2x2”符號相反，因而“-5 ” 是公式(a+b)( a-b)二a2-b2中的a,而“ 2x2”則是公式中的b.

4、例 2 計算(-a2+4b)2分析：運用公式(a+b)2=a2+2ab+b2時，“-a2”就是公式中的a, “ 4b”就是公式中的b;若將題目變形為(4 b- a2)2時，則“4b”是公 式中的a,而“ a2”就是公式中的b.(解略)(二) 、注意為使用公式創(chuàng)造條件例 3 計算(2x+y-z+5)(2 x-y+z+5).分析：粗看不能運用公式計算，但注意觀察，兩個因式中的“2x”、 “5”兩項同號，“ y”、“z”兩項異號，因而，可運用添括號的技 巧使原式變形為符合平方差公式的形式248例 5 計算(2+1)(2 2+1)(2 4+1)(2 8+1)分析：此題乍看無公式可用,“硬乘”太繁,但若

5、添上一項( 2-1), 則可運用公式,使問題化繁為簡(三) 、注意公式的推廣計算多項式的平方，由(a+b) 2=a2+2ab+b2，可推廣得到：(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc可敘述為： 多項式的平方， 等于各項的平方和， 加上每兩項乘積 的 2 倍例 6 計算(2 x+y-3) 22 2 2解：原式=(2x) +y +(-3) +2 2x y+2 2x(-3)+2 y(-3)22=4x +y +9+4xy-12 x-6 y(四) 、注意公式的變換，靈活運用變形公式例 7 已知：x+2y=7, xy=6，求(x-2y)2 的值.22例 10 計算(2a+3b) -2

6、(2 a+3b)(5 b-4 a)+(4 a-5 b)分析：此題可以利用乘法公式和多項式的乘法展開后計算， 但逆 用完全平方公式，則運算更為簡便.四、怎樣熟練運用公式：熟悉常見的幾種變化 有些題目往往與公式的標準形式不相一致或不能直接用公式計 算，此時要根據公式特征，合理調整變化，使其滿足公式特點.常見的幾種變化是：1、 位置變化 女口( 3x+5y) (5y 3x)交換3x和5y的位置后即 可用平方差公式計算了.2、 符號變化女如 ( 2m 7n) (2m 7n)變?yōu)橐?2m+7n) (2m7n)后就可用平方差公式求解了(思考：不變或不這樣變，可以嗎？)3、 數字變化 女口 98X 102,

7、 992, 912等分別變?yōu)?1002) (100+2, (100-1) 2, (90+1) 2后就能夠用乘法公式加以解答了.4、 系數變化 女口( 4n+= ) (2m n )變?yōu)?2 (2n+1) (2n n )2444后即可用平方差公式進行計算了.(四)、注意公式的靈活運用有些題目往往可用不同的公式來解，此時要選擇最恰當的公式以 使計算更簡便.如計算(a2+1) 2(a2 1) 2,若分別展開后再相乘， 則比較繁瑣，若逆用積的乘方法則后再進一步計算，則非常簡便.即原式=(a2+1) (a2 1) 2= (a4 1) 2=a8 2a4+1.對數學公式只會順向(從左到右)運用是遠遠不夠的，還

8、要注意 逆向(從右到左)運用.如計算(1 1) (1 土) (1 4 )( 1234右)(1 掃)，若分別算出各因式的值后再行相乘， 不僅計算繁難， 910而且容易出錯.若注意到各因式均為平方差的形式而逆用平方差公 式，則可巧解本題.即原式=(1 寸)(1+2) (1 三)(1+彳)xx( 1 -1) (1+-1)22331010=丄 X 3 X 2 X 4 XX 9 X 11 =丄 X 耳二耳.2 2 3 310 10 2 10 20有時有些問題不能直接用乘法公式解決， 而要用到乘法公式的變 式，乘法公式的變式主要有：a2+b2= (a+b) 2 2ab，a2+b2= (a b) 2+2ab

9、用這些變式解有關問題常能收到事半功倍之效. 2 2 2 2如已知 m+n=7, mr=- 18,求 m+n , m- mi+ n 的值.面對這樣的問題就可用上述變式來解，即 m+n2二(m+n) 2-2mr=72-2x( 18) =49+36=85, m mr+ n2= (m+n) 2 3mrr72 3x( 18) =103.下列各題，難不倒你吧？！1、若 a+l=5,求(1) a2+A , (2) (a-丄)2的值.aaa2、求(2+1) (22+1) (24+1) (28+1) ( 216+1) (232+1) (264+1) +1 的末位數字.(答案：1. (1) 23; (2) 21.

10、 2. 6)五、乘法公式應用的五個層次2 2 2 2乘法公式：(a + b)(a b)=a b , (a 士 b)=a 士 2ab + b ,(a 士 b)(a 2 士 ab+ b2)=a3 士 b3.第一層次一一正用即根據所求式的特征，模仿公式進行直接、簡單的套用.例1計算(2x y)(2x y).第二層次一一逆用，即將這些公式反過來進行逆向使用.例2計算第三層次一一活用：根據待求式的結構特征，探尋規(guī)律，連續(xù)反復 使用乘法公式；有時根據需要創(chuàng)造條件，靈活應用公式.例 3 化簡：(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8 + 1) + 1.分析直接計算繁瑣易錯，注意到這四個因式很有

11、規(guī)律，如果再增 添一個因式“ 2- 1 ”便可連續(xù)應用平方差公式，從而問題迎刃而解.解原式=(2 1)(2 + 1)(2 2+ 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) + 1=(22 - 1)(2 2 + 1)(2 4+ 1)(2 8+ 1) +仁216.第四層次一一變用：解某些問題時，若能熟練地掌握乘法公式222333的一些恒等變形式，如 a + b =(a + b) 2ab, a + b =(a + b) 3ab(a + b)等，則求解十分簡單、明快.例 5 已知 a + b=9, ab=14,求 2a2 + 2b2 的值.2 2 2解:V a + b=9, ab=14,.2a + 2b =

12、2(a + b) 2ab=2(92 14)=106 ,第五層次綜合后用：將(a + b) 2=a2 + 2ab+ b2和(a b)2=a22ab + b 綜合，可得(a + b)2+ (a b)2=2(a2 + b2); (a + b)2 (a b) 2=4ab;合理地利用這些公式處理某些問題顯得新穎、簡捷.例 6 計算：(2x + y z + 5)(2x y + z + 5).解：原式=1 (2x+y-z+5)+(2x-y+z+5)2-1 (2x+y-z+5)-(2x-y+z+5)244=(2x + 5)2 (y z) 2=4x2 + 20x + 25 y2 + 2yz z2乘法公式的使用技

13、巧： 提出負號：對于含負號較多的因式，通常先提出負號，以避免 負號多帶來的麻煩。例1、運用乘法公式計算：(1) (-1+3x)(-1-3x);(2) (-2m-1) 2 改變順序：運用交換律、結合律，調整因式或因式中各項的排 列順序，可以使公式的特征更加明顯.例2、運用乘法公式計算：111a2(1)行亠二匕)(-4b - 3 )；( 2) (x-1/2)(x 2+1/4)(x+1/2) 逆用公式將幕的公式或者乘法公式加以逆用，比如逆用平方差公式，得a2-b2 = (a+b)(a-b)，逆用積的乘方公式，得 anbn=(ab) n,等等，在解 題時常會收到事半功倍的效果。例3、計算：(1)(x/

14、2+5) 2-(x/2-5) 2;(2)(a-1/2) 2(a2+1/4) 2(a+1/2) 合理分組：對于只有符號不同的兩個三項式相乘，一般先將完全相同的項調到各因式的前面，視為一組；符號相反的項放在后面， 視為另一組；再依次用平方差公式與完全平方公式進行計算。計算：(1)(x+y+1)(1-x-y);( 2)(2x+y-z+5)(2x-y+z+5).先提公因式，再用公式例2.計算：8x 4x 24簡析：通過觀察、比較，不難發(fā)現，兩個多項式中的X的系數成倍數，y的系數也成倍數，而且存在相同的倍數關系，若將第一個多 項式中各項提公因數2出來，變?yōu)? 4x丿，則可利用乘法公式。4三.先分項，再用公式例 3.計算：2x 3y 2 2x 3y 6簡析：兩個多項中似乎沒多大聯(lián)系，但先從相同未知數的系數著 手觀察，不難發(fā)現，X的系數相同，y的系數互為相反數，符合乘法 公式。進而分析如何將常數進行變化。若將