四年級(jí)奧林匹克數(shù)學(xué)基礎(chǔ)資料庫第13講雞兔同籠問題與假設(shè)法

1、第13講雞兔同籠問題與假設(shè)法雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計(jì)算。例1小梅數(shù)她家的雞與兔，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問：小梅家的雞與兔各有多少只？分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2X16=32（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32=12（只）腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個(gè)2,就可以求出兔的只數(shù)。解：有兔（44-2X16）+（4-2）=6（只），有雞16-6=10

2、（只）。答：有6只兔，10只雞。當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4X16=64（只）腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64-44=20（只）腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2=2（只）。因此只要算出20里面有幾個(gè)2,就可以求出雞的只數(shù)。有雞（4X16-44）+（4-2）=10（只），有兔1610=6（只）。由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。例2100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃。問：大、小和尚各有

3、多少人？分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300-140=160（個(gè)）?，F(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少31=2（個(gè)），因?yàn)?60+2=80,故小和尚有80人，大和尚有10080=20（人）。同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。例3彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套？分析

4、與解：我們?cè)O(shè)想有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。假設(shè)買了16套彩色文化用品，則共需19X16=304（元），比實(shí)際多304280=24（元），現(xiàn)在用普通文化用品去換彩色文化用品，每換一套少用1911=8（元），所以買普通文化用品24+8=3（套），買彩色文化用品163=13（套）。例4雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只？分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際

5、上多20020=180（只）?，F(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會(huì)減少4+2=6（只），而180+6=30,因此有兔子30只，雞10030=70（只）。解：有兔（2X10020）+（2+4）=30（只），有雞10030=70（只）。答：有雞70只，兔30只。例5現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個(gè)？分析：本題與例4非常類似，仿照例4的解法即可。解：小瓶有（4X50-20）+（4+2）=30（個(gè)），大瓶有50-30=20（個(gè)）。答：有大瓶20個(gè)，小瓶30個(gè)。例6一批鋼材，用小

6、卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸？分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4X36=144（噸）。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9（輛）小卡車。這樣每輛小卡車能裝144+9=16（噸）。由此可求出這批鋼材有多少噸。解：4X36+（45-36）X45=720（噸）。答：這批鋼材有720噸。例7樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅

7、不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶？分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)0.24X500=120（元）。實(shí)際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5（元）。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失0.24+1.26=1.5（元）。因此共打破花瓶4.5+1.5=3（只）。解：（0.24X500-115.5）+（0.24+1.26）=3（只）。答：共打破3只花瓶。例8小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下？分析與解

8、：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了12X（2+3）=60（下）?？汕蟪鲂访糠昼娞?8060）+（2+3+3）=90（下），小樂一共跳了90X3=270（下），因此小喜比小樂共多跳780270X2=240（下）。練習(xí)131 .雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只？2 .學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動(dòng)。問：象棋與跳棋各有多少副？3 .班級(jí)購買活頁簿與日記本合計(jì)32本，花錢74元?；铐摬久勘?.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本？4 .龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只？5 .小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張？6 .一個(gè)工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個(gè)雨天？7 .振興小學(xué)六年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對(duì)一題得5分，沒做或做錯(cuò)一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對(duì)了幾道題？8 .有一批水果，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝運(yùn)完。已知每只大