同濟六版高等數(shù)學上下冊課后習題答案21

1、習題2-1 1.設(shè)物體繞定軸旋轉(zhuǎn),在時間間隔0,t內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為q,從而轉(zhuǎn)角q是t的函數(shù):q=q(t).如果旋轉(zhuǎn)是勻速的,那么稱為該物體旋轉(zhuǎn)的角速度,如果旋轉(zhuǎn)是非勻速的,應(yīng)怎樣確定該物體在時刻t0的角速度？解在時間間隔t0,t0+Dt內(nèi)的平均角速度為,故t0時刻的角速度為. 2.當物體的溫度高于周圍介質(zhì)的溫度時,物體就不斷冷卻,若物體的溫度T與時間t的函數(shù)關(guān)系為T=T(t),應(yīng)怎樣確定該物體在時刻t的冷卻速度？解物體在時間間隔t0,t0+Dt內(nèi),溫度的改變量為DT=T(t+Dt)-T(t),平均冷卻速度為,故物體在時刻t的冷卻速度為. 3.設(shè)某工廠生產(chǎn)x單位產(chǎn)品所花費的成本是f(x)元,此函數(shù)

2、f(x)稱為成本函數(shù),成本函數(shù)f(x)的導數(shù)f¢(x)在經(jīng)濟學中稱為邊際成本.試說明邊際成本f¢(x)的實際意義.解f(x+Dx)-f(x)表示當產(chǎn)量由x改變到x+Dx時成本的改變量.表示當產(chǎn)量由x改變到x+Dx時單位產(chǎn)量的成本.表示當產(chǎn)量為x時單位產(chǎn)量的成本. 4.設(shè)f(x)=10x2,試按定義,求f ¢(-1).解. 5.證明(cos x)¢=-sin x.解. 6.下列各題中均假定f ¢(x0)存在,按照導數(shù)定義觀察下列極限,指出A表示什么: (1);解. (2),其中f(0)=0,且f ¢(0)存在;解. (3).解=f &#

3、162;(x0)-f ¢(x0)=2f ¢(x0). 7.求下列函數(shù)的導數(shù): (1)y=x4; (2); (3)y=x1.6; (4); (5); (6); (7);解 (1)y¢=(x4)¢=4x4-1=4x3. (2). (3)y¢=(x1.6)¢=1.6x1.6-1=1.6x 0.6. (4). (5). (6). (7). 8.已知物體的運動規(guī)律為s=t3(m). 求這物體在t=2秒(s)時的速度.解v=(s)¢=3t2,v|t=2=12(米/秒). 9.如果f(x)為偶函數(shù),且f(0)存在,證明f(0)=0.證明當

4、f(x)為偶函數(shù)時,f(-x)=f(x), 所以,從而有2f¢(0)=0,即f¢(0)=0. 10.求曲線y=sin x在具有下列橫坐標的各點處切線的斜率:,x=p.解因為y¢=cos x,所以斜率分別為,. 11.求曲線y=cos x上點處的切線方程和法線方程式.解y¢=-sin x,故在點處,切線方程為,法線方程為. 12.求曲線y=ex在點(0,1)處的切線方程.解y¢=ex,y¢|x=0=1, 故在(0, 1)處的切線方程為y-1=1×(x-0),即y=x+1. 13. 在拋物線y=x2上取橫坐標為x1=1及x2=3

5、的兩點,作過這兩點的割線,問該拋物線上哪一點的切線平行于這條割線？解y¢=2x,割線斜率為.令2x=4,得x=2. 因此拋物線y=x2上點(2, 4)處的切線平行于這條割線. 14. 討論下列函數(shù)在x=0處的連續(xù)性與可導性: (1)y=|sin x|; (2).解 (1)因為y(0)=0,所以函數(shù)在x=0處連續(xù).又因為,而y¢-(0)¹y¢+(0),所以函數(shù)在x=0處不可導.解因為, 又y(0)=0,所以函數(shù)在x=0處連續(xù). 又因為,所以函數(shù)在點x=0處可導, 且y¢(0)=0. 15.設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù)且可導,a,b應(yīng)取什

6、么值？解因為,f(1)=a+b,所以要使函數(shù)在x=1處連續(xù),必須a+b=1 .又因為當a+b=1時,所以要使函數(shù)在x=1處可導,必須a=2,此時b=-1. 16.已知求f+¢(0)及f-¢(0),又f¢(0)是否存在？解因為 f-¢(0)=,f+¢(0)=,而f-¢(0)¹f+¢(0),所以f¢(0)不存在. 17.已知f(x)=,求f¢(x) .解當x<0時,f(x)=sin x,f¢(x)=cos x;當x>0時,f(x)=x,f¢(x)=1;因為f-¢(0)=,f+¢(0)=,所以f¢(0)=1,從而 f¢(x)=. 18.證明:雙曲線xy=a2上任一點處的切線與兩坐標軸構(gòu)成的三角形的面積都等于2a2.解由xy=a2得,.設(shè)(x0,