雙曲線中的一些常見(jiàn)結(jié)論

1、雙曲線中的一些常見(jiàn)結(jié)論一、橢圓的常用結(jié)論:1.點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角.2 . PT平分PF1F2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑 的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3 .以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離.4 .以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切._ ,X 2V 2_x x y y5 .若p(x0,y)在橢圓/+ = 1上，則過(guò)P0的橢圓的切線方程是1不 +/ =1.一， 、x 2 y 2一6 .若p(x,y)在橢圓+ b- = 1外，則過(guò)p作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P、P2,則切點(diǎn)弦x x y yPP的直線方程是+三士 = 1.1

2、 2a 2 b 2x2 y27 .橢圓原+言=1 (ab0)的左右焦點(diǎn)分別為FjF2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn) /FPF =y，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S= b2 tan二.1 2M *2x2 y28 .橢圓+ - = 1 (ab0)的焦半徑公式 a 2 b 2I MF = a + ex , I MF = a 一 ex (F (-c,0) , F (c,0) M (x , y ).9 .設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的橢圓準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFLNF.10 .過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與橢圓交于兩點(diǎn)P、Q, AA2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂

3、點(diǎn)，A1P和A* 交于點(diǎn)M, A2P和AQ交于點(diǎn)N,則MFLNF.x211. AB是橢圓一 +a2y2b2二1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(x , y )為AB的中點(diǎn)，則kOM kAB = 三，即 KABb 2 x-。2 y 0x2y212.若p(x,y )在橢圓a；+卷=1內(nèi),則被po所平分的中點(diǎn)弦的方程是x x y y x 2 y 20 + 0 = + 0-；a2b2a2b2【推論】X 2y 2X 2y 2xx y y1、若Po(xo,y o)在橢圓a+加=1內(nèi),則過(guò)p。的弦中點(diǎn)的軌跡方程是a+良=點(diǎn)+方。X 2 y2. , c、 ,， c、橢圓工+ b2 = 1(ab。)的兩個(gè)頂點(diǎn)為41(一

4、，0) , A2(a,0)，與y軸平行的直線交橢圓于X2y2P1 P2時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是瓦一正=1.X2 y22、過(guò)橢圓/+ b- = 1 (a0, b0)上任一點(diǎn)A(xo,y)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓b2 x 于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且k = 一(常數(shù)).bc a 2 yx2 y23、若P為橢圓02 + b2 = 1(ab0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F2是焦點(diǎn)，/PF1F2 =a ,a - ca B/PF F = B，則ij= tan co t .2 1a + c 22x2 y24、設(shè)橢圓/ + b- = 1 (ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，P (異

5、于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任意一點(diǎn)，在4PFF 中，記 / FPF =a , / PFF = 0 , / FF P =y ,則有.廿。一 =c = e.1 21 21 21 2sin B + sin y aX2 y25、若橢圓a + b2 =1 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0b0)上任一點(diǎn),爐2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),則2 a I AF2 1! PA I + I PF (Ax + By + C)2.x2 y28、已知橢圓一+ t- = 1 (ab0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP 1 OQ .a2 b2(1)11+I OP |2 | OQ |211, ,

6、4 a 2 b 2=+ ; (2) |OP|2+|OQ|2的最大值為-a 2 b 2a 2 + b 2(3) S 0Pq的最小值是x2y2,9、過(guò)橢圓 - =1a2b2(ab0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P,則I PF I _eI MN I - 2 .x2 y210、已知橢圓+ - =1 ( ab0) ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x a2 b2a 2 一 b 2a 2 一 b 2軸相交于點(diǎn)P(x ,0),則一 x b0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),FF2為其焦點(diǎn)記2 b 2c , y/FPF =。，則(1)I PF II PF I= (

7、2) S= b2tan-1 212 1 + cos 0A PF1F22x2 y212、設(shè)A、B是橢圓一 +J = 1 ( ab0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，/PAB =a , a2 b22ab21 cosa I/PBA = p , /BPA =y ,c、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1) I PAI=.(2)a 2 c 2 co s2 y2a2b2tan a tan P= 1 e2 ,(3) S =cot Y .apab b 2 a 2x2 y213、已知橢圓一+ t- = 1 ( ab0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的直 a2 b2線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)

8、線l上，且BC X軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn). 14、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn) 的連線必與切線垂直.15、過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑 互相垂直.16、橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).)17、橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18、橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng).二、雙曲線的常用結(jié)論：1、點(diǎn)P處的切線PT平分PF1F2在點(diǎn)

9、P處的內(nèi)角.2、PT平分APFE在點(diǎn)P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的 圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).3、以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.4、以焦點(diǎn)半徑PF為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.(內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支)1一， 、X 2 y 25、若P0(X0, y0)在雙曲線二b- = 1 (a0,b0)上，則過(guò)P0的雙曲線的切線方程是呈 - yy=1.a 2 b 2一 、X 2 y 26、若P0(x0, y0)在雙曲線a2 %=1 (a0,b0)外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為pP2,則切點(diǎn)弦p1P2的直線方程是x0x - y2y=i .x 2 y

10、27、雙曲線a2 b? = 1(a0，bo)的左右焦點(diǎn)分別為Fj F2，點(diǎn)P為雙曲線上任意一點(diǎn)V/勺=，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為sAYb2號(hào)x2 y28、雙曲線工b = 1(a0,bo)的焦半徑公式：(F(一c,0) , F (c,0)當(dāng) M(x0,y0)在右支上時(shí)，I MFi = ex0 + a , I MF = ex0 - a ；當(dāng) M(x0, y0)在左支上時(shí)，I MF I= - ex + a , I MF I= - ex - a。9、設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP 和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn)F的雙曲線準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，則MFLNF.10、

11、過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)F的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)P、Q, 4、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和A2Q交于點(diǎn)M，A2P和A#交于點(diǎn)N，則MFLNF.x2 y211、AB是雙曲線a2 - b = 1(a0,b0)的不平行于對(duì)稱軸的弦，M (x 0, y 0)為AB的中點(diǎn),則Km. Kbb 2 x “ 一，即 Ka 2 y ABb 2 x0-。02 y 0x2 y212、若P0(x0,y 0)在雙曲線 - b =1 (40,40)內(nèi)，則被也所平分的中點(diǎn)弦的方程是x2 y 213、若P (x0,y。)在雙曲線 b = 1(，,13)內(nèi)，則過(guò)p。的弦中點(diǎn)的軌跡方程是x2 y 2 x x y y=00.a2

12、b2 a2b2【推論】：x2 y 21、雙曲線a2 b- = 1(a0,b0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1(-a,0) , Aa,0)，與y軸平行的直線x2 y 2交雙曲線于P P2時(shí)A1Pl與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是益+食=1.x2 y 22、過(guò)雙曲線a2 - b- = 1 (a0,bo)上任一點(diǎn)A (x0, y 0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交雙b 2 x曲線于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且k =-一(常數(shù)). BCa 2 yx2 y 23、若P為雙曲線 g = 1 (a0,b0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)Fj尸2是焦點(diǎn), c a a B c a B a/PF F = a , /PF F = B，

13、則= tan co t(或=tan co t).1 22 1c + a22 c + a 22x2 y 24、設(shè)雙曲線a2 b- = 1 (a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F/F2，P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為雙曲線上 任意一點(diǎn)，在4PF與中，記/仆PF2 =a , /PFF B , /FFP =y，則有sin a土 (sin y - sin B)x2 y 25、若雙曲線a2 b- = 1 (a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為FF2，左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)10,b0)上任一點(diǎn),FjF2為二焦點(diǎn)，慶為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則I AF21 2a 0,b0)與直線Ax + By + C = 0有公共點(diǎn)的充要條件是 a2 b2且 O

14、P 1OQ .X 2 y 28、已知雙曲線一一一 二1 (ba 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn) a2 b2(1)+I OP I2 I OQ I211,4 a 2 b 2|OP|2+|OQ|2的最小值為； (3)b 2 - a 2sa0PQ的最小a2b2值是E一一12 y 2 T、9、過(guò)雙曲線一-t-= 1 (a0,b0) a2 b2的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,N兩點(diǎn)，弦MN的垂直平分線交x軸于P,I PF I則=.I MN I 2一，一 .X2y2 r10、已知雙曲線一-=1a 2b 2(a0,b0) ,A、8是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與*軸相交于點(diǎn)P(X0

15、,0)，則X0之a(chǎn) 2 + b 2或Xa0X 2 y 211、設(shè)P點(diǎn)是雙曲線a； / = 1(a0,b0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),FF2為其焦點(diǎn)記2 b 2, y/ FPF =。，則(1)I PF II PF I=-.(2) S= b 2 cot-.1 212 1 - cos0A PF1F22 .X2 y212、設(shè)慶、8是雙曲線-J = (a0,b0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，/PAB = a a2 b2，c、e分別是雙曲線的半焦距離心率，則有2ab21 cos a I(1) I PA I=I a2 c2co s2 y ISA PAB(2) tan a tan P = 1 - e2 .

16、(3)X 2 V 2,一一13、已知雙曲線 =1 (a0,b0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E，過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)F a 2 b 2的直線與雙曲線相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC X軸，則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF 的中點(diǎn).14、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.15、過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.16、雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e(離心率).(注:在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)).17、雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.18雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng).三.拋物線的常用結(jié)論：1.若AB是拋物線V2 = 2pXp0)的焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)，且A(x,V), Bx,y)，則：xx =,1 12 21 24VV 二-P2。1 22 .已知直線AB是過(guò)拋物線V2 = 2px(p 0)焦點(diǎn)F,則_L_上_L_ = af| |bf|3 .若AB是拋物線V2= 2px( p 0)的焦點(diǎn)弦，且直線AB的傾斜角為a，則| AB |= 2 P (aW sin 2 a0)。4 .焦點(diǎn)弦中通徑(過(guò)焦點(diǎn)且垂直于拋物線對(duì)稱軸