高數(shù)函數(shù)極限

1、歡迎大家來到歡迎大家來到第三軍醫(yī)大學(xué)學(xué)習(xí)、生活！第三軍醫(yī)大學(xué)學(xué)習(xí)、生活！1醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)（ Medical Advanced Mathematics ）數(shù)學(xué)教研室 羅萬春辦公室：基礎(chǔ)部1061Tel: 771260-801 2本學(xué)期的主要內(nèi)容Ch1 函數(shù) 、極限和連續(xù) Ch2 一元函數(shù)微分學(xué)Ch3 一元函數(shù)積分學(xué)Ch4 多元函數(shù)微積分Ch5 微分方程基礎(chǔ)3 醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)的特點(diǎn)的特點(diǎn)多、快、聯(lián)、難多、快、聯(lián)、難u多：知識(shí)點(diǎn)多、內(nèi)容多多：知識(shí)點(diǎn)多、內(nèi)容多u快：教學(xué)進(jìn)度快于中學(xué)快：教學(xué)進(jìn)度快于中學(xué)u聯(lián)：知識(shí)前后聯(lián)系聯(lián)：知識(shí)前后聯(lián)系u難：課后習(xí)題難難：課后習(xí)題難4 學(xué)習(xí)態(tài)度學(xué)習(xí)態(tài)

2、度u積極面對(duì)積極面對(duì)u勇于克難勇于克難5 學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法深入預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽課、及時(shí)復(fù)習(xí)、適當(dāng)練習(xí)深入預(yù)習(xí)、認(rèn)真聽課、及時(shí)復(fù)習(xí)、適當(dāng)練習(xí) u深入預(yù)習(xí)：以深入預(yù)習(xí)：以“做做”代代“看看”u認(rèn)真聽課：以認(rèn)真聽課：以“說說”促促“聽聽”u及時(shí)復(fù)習(xí)：以及時(shí)復(fù)習(xí)：以“講講”鞏鞏“知知”u適當(dāng)練習(xí)適當(dāng)練習(xí) ：以：以“精精”替替“多多”6課終成績課終成績=作業(yè)、半期、討論（作業(yè)、半期、討論（30%30%） + + 期末考試（期末考試（70%70%）計(jì)算。）計(jì)算。 考試要求考試要求期末考試期末考試( (教考分離！教考分離！) )7 第一節(jié) 函數(shù)（Functions）醫(yī)學(xué)高等數(shù)學(xué)第一章 第一、二節(jié)第二節(jié) 極限(1

3、)（Limits）8一、函數(shù)的概念 二、復(fù)合函數(shù)三、函數(shù)的幾種簡(jiǎn)單性質(zhì)四、極限的概念六、極限的四則 運(yùn)算 91. 掌握復(fù)合函數(shù)、極限等概念及性質(zhì)；2. 會(huì)分解復(fù)合函數(shù)；3. 熟練掌握極限的四則運(yùn)算。復(fù)合函數(shù)的分解，極限概念的應(yīng)用。 復(fù)合函數(shù)，極限概念的理解與應(yīng)用。 10背景背景引例引例世界人口變化規(guī)律分析世界人口變化規(guī)律分析 u世界人口數(shù)據(jù)：世界人口數(shù)據(jù)：見右表。問題問題世界人口和時(shí)間有何關(guān)系？11年份人口（百萬）1900191019201930194019501960197019801990200016501750186020702300256030403710445052806080人口數(shù)

4、據(jù)隨時(shí)間變化的散點(diǎn)圖問題的分析問題的分析19001920194019601980200001000200030004000500060007000yearpopulation(millions)Scatterplot12符號(hào)表示時(shí)間：t人口：p則人口與時(shí)間存在關(guān)系：p=p(t) 進(jìn)一步分析：是否存在更明確的關(guān)系？19001920194019601980200001000200030004000500060007000yearpopulation(millions)regression曲線擬合0.008079266 1.013731tp 13一、函數(shù)的概念定義定義1. 設(shè)設(shè) x 和和 y 是同一

5、過程中的兩個(gè)變量，如果是同一過程中的兩個(gè)變量，如果對(duì)于變量對(duì)于變量 x 的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量變量 y 總有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量總有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，則稱變量 y 是是變量變量 x 的的函數(shù)函數(shù)(function)。變量。變量 x 稱為稱為自變量自變量(independent variable)，變量，變量 y 稱為稱為因變量因變量(dependent variable) ，記為，記為 問題1：什么是函數(shù)？Dxxfy, )(14DxfDxxfyyDfy),()(對(duì)應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域) 定義域 函數(shù)的表達(dá)方法:公式法、圖象法

6、、表格法、使表達(dá)式及實(shí)際問題都有意義的自變量集合.例如：書上例1-3一段文字15基本初等函數(shù)（六類）（ 見書P4頁） 特別地，一些函數(shù)對(duì)其定義域內(nèi)的不同值，不能用一個(gè)統(tǒng)一的解析式表示，而是需要兩個(gè)或多個(gè)不同的解析表達(dá)式，這類函數(shù)稱為分段函數(shù)(piecewise function). 問題2：如何將電話費(fèi)表示為時(shí)間的函數(shù)？16二、復(fù)合函數(shù)二、復(fù)合函數(shù) 設(shè)在定義域U上變量 y 是變量 u 的函數(shù)：y=f(u) , 在定義域D上變量u 是變量x的函數(shù)： 。如果對(duì)變量 x 的某些值，變量 u 的對(duì)應(yīng)值恰在U中，因而能夠確定變量 y 的值，則稱 y 是 x的復(fù)合函數(shù)(compound function)

7、，記為)(xu).(xfy 問題3：函數(shù)y=sin2x的含義是什么？17;),(Uuufy;),(DxxuUD )(且構(gòu)成復(fù)合函數(shù) ( ) ,yfxxD1. 由函數(shù)鏈注意: )(ufyux)(x ( )yfx18例如, 函數(shù)鏈 :,arcsinuy ,122xuDx,1231,23但函數(shù)鏈22,arcsinxuuy不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù) .,12arcsin2xy可定義復(fù)合函數(shù)2. 構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件 不可少. UD )( 為什么？193. 兩個(gè)以上函數(shù)也可構(gòu)成復(fù)合函數(shù).例如, 0,uuy),2, 1, 0(,cotkkvvu),(,2xxv20 技巧：重點(diǎn)抓住對(duì)應(yīng)基本初等函數(shù)自變量位置上的形式。4

8、. 能夠正確分解復(fù)合函數(shù).解：例1 分析函數(shù)的復(fù)合結(jié)構(gòu)： ) 1, 0( ,2aaayx分解為： ,uay 2xu 21例2 分解復(fù)合函數(shù)： ) 1lg(arctanxy解： 分解得： ,uy ,arctanvu ,lgwv 1 xw22初 等 函 數(shù) 1、基本初等函數(shù)(六類)2、初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算與有限次復(fù)合運(yùn)算步驟構(gòu)成的，可用一個(gè)解析式表示的函數(shù)，叫。 問題4：分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？為什么分段函數(shù)是否是初等函數(shù)？為什么？23課堂練習(xí)課堂練習(xí)11(1)cos;yx分解下列復(fù)合函數(shù)分解下列復(fù)合函數(shù)1(2)lg(cos);yx1(3)(cos).yfx24三、 函數(shù)的幾

9、種特性1. 有界性2. 單調(diào)性3. 奇偶性4. 周期性（自學(xué)，書P5頁）25公元前5世紀(jì)，古希臘詭辯學(xué)派哲學(xué)家芝諾（Zeno）提出“追龜說”：讓阿基里斯（Achilles，古希臘奧運(yùn)會(huì)中的一名長跑冠軍 ）與烏龜賽跑。假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍，但讓烏龜在阿基里斯前100米處起跑26結(jié)結(jié) 論論11100 10 110100S 1111917世紀(jì)，微積分產(chǎn)生，用世紀(jì)，微積分產(chǎn)生，用極限極限才解決這一問題。才解決這一問題。假設(shè)假設(shè)阿基里斯追上烏龜之前，烏龜所爬的路程為阿基里斯追上烏龜之前，烏龜所爬的路程為無限、無限、 運(yùn)動(dòng)、無窮小、運(yùn)動(dòng)、無窮小、連續(xù)連續(xù)阿基里斯雖然越來越逼近烏龜，但阿基里斯雖

10、然越來越逼近烏龜，但永遠(yuǎn)追不上永遠(yuǎn)追不上烏龜烏龜27 1 1、 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限x四、函數(shù)的極限四、函數(shù)的極限Axfx)(limx的絕對(duì)值無限增大時(shí)的絕對(duì)值無限增大時(shí)則則f(x)無限接近無限接近A描述性定義描述性定義則稱則稱當(dāng)當(dāng)x趨于趨于無窮大無窮大時(shí)時(shí)函數(shù)函數(shù)f(x)的極限為的極限為A)()(xAxf當(dāng)或如：如：01limxx28數(shù)學(xué)語言定義（分析定義）數(shù)學(xué)語言定義（分析定義）（任意?。ㄈ我庑。?0N當(dāng)當(dāng)|xN時(shí)時(shí)總有總有|)(|Axf稱稱Axfx)(lim思考：思考：如何證明如何證明01limxx29oxy)(xfy A幾何解釋幾何解釋30當(dāng)當(dāng)x的絕對(duì)值無限增大時(shí)的絕對(duì)值無限增大

11、時(shí) 則則f(x)不趨于任何常數(shù)不趨于任何常數(shù)（1）如：如：xysin2xy （2）x趨于正無窮大和趨于負(fù)無窮大時(shí)，趨于正無窮大和趨于負(fù)無窮大時(shí)， f(x) 趨于趨于不同常數(shù)不同常數(shù)2/arctanlimxx2/arctanlimxx3lim xx3limxx 問題5：極限不存在有哪些情形極限不存在有哪些情形？31 2 2、 時(shí)函數(shù)的極限時(shí)函數(shù)的極限0 xx （1）函數(shù)）函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 附近有定義附近有定義0 x)(xfAxfxx)(lim0或)()(0 xxAxf當(dāng)（2）x以任意方式無限接近以任意方式無限接近x0則則f(x)無限接近無限接近A描述性定義描述性定義則稱則稱當(dāng)當(dāng)x趨于趨于x0時(shí)時(shí)函

12、數(shù)函數(shù)f(x)的極限為的極限為A如：如：4lim22xx32數(shù)學(xué)語言定義（分析定義）數(shù)學(xué)語言定義（分析定義） （1）函數(shù)）函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 附近有定義附近有定義0 x)(xf（2）（任意?。ㄈ我庑。?0當(dāng)當(dāng)|00 xx時(shí)時(shí)總有總有|)(|Axf稱稱Axfxx)(lim0課后思考：課后思考：如何證明如何證明 ？4lim22xx33幾何解釋幾何解釋0 x0 xAAAx0 xy)(xfy 34左極限左極限 : :)(0 xfAxfxx)(lim0右極限右極限 : :)(0 xfAxfxx)(lim0Axfxx)(lim0Axfxfxxxx)(lim)(lim00Ax0 xy)(xfy 極限存在的充要

13、條件極限存在的充要條件左右極限定義左右極限定義極限存在的充要條件極限存在的充要條件3. 3. 數(shù)列的極限數(shù)列的極限（自學(xué)，書p9)354.極限存在性判別準(zhǔn)則極限存在性判別準(zhǔn)則準(zhǔn)則準(zhǔn)則1（夾逼定理）（夾逼定理）Axfxx)(lim0)(x之間有之間有 若在同一極限過程中，函數(shù)若在同一極限過程中，函數(shù))()()(21xfxfxf、),()(21xfxfxf）且且),(lim)(lim2100 xfAxfxxxx)(x)(x36準(zhǔn)則準(zhǔn)則2（單調(diào)有界準(zhǔn)則）（單調(diào)有界準(zhǔn)則）單調(diào)有界數(shù)列一定有極限。單調(diào)有界數(shù)列一定有極限。課堂練習(xí)課堂練習(xí)2222111lim ()12nnnnnn利用極限準(zhǔn)則證明利用極限準(zhǔn)則證明37（2 2）約分型）約分型求下列極限：求下列極限：211(1)limxxx211(2)lim1xxx2112(3)lim()11xxx2211(4)lim()12xxx 222(5)lim2xxx（1 1）代入型）代入型（3 3）通分型）通