隨機(jī)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)有向小世界模型

1、隨機(jī)響應(yīng)的動(dòng)態(tài)有向小世界的標(biāo)度行為文中描述了一種小世界網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)模型，其中用有向的邊來(lái)描述社會(huì)和自然現(xiàn)象中各種各樣的的相關(guān)性。利用節(jié)點(diǎn)對(duì)輸入信息的隨機(jī)響應(yīng)的來(lái)模擬真實(shí)系統(tǒng)。這些因素間的相互影響導(dǎo)致了用來(lái)描寫整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的類自旋變量S（t）的整體動(dòng)態(tài)演化。 全局平均傳播距離 (L) 和平均傳播時(shí)間 (T) 以不同的指數(shù)按的形式 滿足標(biāo)度關(guān)系 。 當(dāng) N>>N* 時(shí) S （ t ）表現(xiàn)為 雙重標(biāo) 度的函數(shù)形式，其中 p 和 q 分別是重連參量和外部變量， 是標(biāo)度指數(shù),是個(gè)普適函數(shù)。這里我們也討論了模型的可能應(yīng)用。許多自然 , 社會(huì)和經(jīng)濟(jì)體系都可以用網(wǎng)絡(luò)來(lái)描述，用節(jié)點(diǎn)代表agents ，邊代

2、表他們之間的關(guān)系。在具有復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)中，小世界網(wǎng)絡(luò)（SWN）是基于一個(gè)高度規(guī)則連接的點(diǎn)陣， 將節(jié)點(diǎn)間原來(lái)的一部分邊 p 用隨機(jī)的重新連接的邊代替。它在復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究過(guò)程中扮演了一個(gè)非常重要的角色， 比如物理領(lǐng)域中的各種各樣的問(wèn)題及其它許多問(wèn)題。小世界網(wǎng)絡(luò)的（SWN）拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)網(wǎng)絡(luò)的動(dòng)態(tài)特性有至關(guān)重要的作用 , 作為一個(gè)研究網(wǎng)絡(luò)過(guò)程的平臺(tái)， Watts,Lago- Fernandezet al. 和 Kuperman ，Abramson已經(jīng)分析了許多實(shí)際問(wèn)題。模型中單個(gè) agents 的活動(dòng)隨時(shí)間演化 , 再考慮彼此間的相互聯(lián)系便會(huì)形成系統(tǒng)響應(yīng) , 在這個(gè)過(guò)程中網(wǎng)絡(luò)的連接保持不變。然而大多數(shù)

3、社會(huì)或生物系統(tǒng)中的相互作用并不是靜態(tài)的而是隨時(shí)間變化的。 當(dāng)邊兩端的節(jié)點(diǎn)狀態(tài)隨時(shí)間變化時(shí)， 他們之間的相互關(guān)系也會(huì)相應(yīng)地改變。 這種影響會(huì)產(chǎn)生全新的動(dòng)態(tài)標(biāo)度特性 , 這在以前的工作中并沒有發(fā)現(xiàn)。假設(shè)在沒有廣告的情況下， 一種便攜式日用品的新品牌在一家商店獨(dú)家出售。商品的信息是通過(guò)在人群中展示它才傳播出去 , 每一個(gè)新的買主便可能是一個(gè)信息源，這就會(huì)改變銷售過(guò)程中他或她在人群中的角色。 同時(shí)，人與人之間的關(guān)系也在不停地改變 ; 他們并不只是固定的消費(fèi)行為。 當(dāng)具有各種可能潛伏期 ( 感染但是不會(huì)傳染的 ) 的接觸性傳染病毒通過(guò)一個(gè)熟人網(wǎng)絡(luò)，從第一個(gè)病人開始傳播時(shí)，類似的事情就會(huì)發(fā)生。 當(dāng)一個(gè)感染

4、者最后變成傳染者時(shí) , 他便改變了同其他人之間的關(guān)系角色。在大多數(shù)信息或疾病的傳播過(guò)程中， 有效的相互作用是不對(duì)稱或非定向的 , 這已經(jīng)被廣泛地研究過(guò)。 兩節(jié)點(diǎn)之間邊的方向依賴于他們各自的狀態(tài)。 例如 , 病毒從感染者傳染到易感染者過(guò)程中便定義了一個(gè)從前者指向后者的動(dòng)態(tài)連接。同時(shí)，在兩個(gè)感染者之間或兩個(gè)易感染者之間的任何連接對(duì)于疾病的傳播是無(wú)效的。另一個(gè)例子 , 作為展示小世界網(wǎng)絡(luò)影響的一些特殊的食物網(wǎng)， 可以用內(nèi)在的有向的營(yíng)養(yǎng)鏈來(lái)描述，并且它們的結(jié)構(gòu)也隨時(shí)間而變化 . 這些模型能夠說(shuō)明人類的污染或自然界中的災(zāi)難是如何在不同食物鏈等級(jí)中的物種之間傳播的。 最近，在二維有向小世界網(wǎng)絡(luò)中發(fā)現(xiàn)了非平

5、衡態(tài)相變。通常，真實(shí)系統(tǒng)中的個(gè)體不會(huì)同時(shí)對(duì)輸入信號(hào)作出反應(yīng)。感染相同傳染病的人，病毒在他們體內(nèi)的潛伏期并不同，這取決于他們對(duì)病毒的抵抗力。同樣，在獲得該日用品的信息到買的行為之間的時(shí)間間隔也會(huì)隨各個(gè)買主的消費(fèi)能力的不同而變化。 總而言之 , 在這個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展過(guò)程中總是存在隨機(jī)張弛或隨機(jī)響應(yīng)。這篇論文中我們描述了上面提到的三種因素動(dòng)態(tài)變化的相互作用, 連接的方向性和 agents 的隨機(jī)響應(yīng)在真實(shí)系統(tǒng)它們交織在一起。 這些因素的相互作用使我們產(chǎn)生了做這個(gè)工作的動(dòng)機(jī)。 我們將這些因素結(jié)合在一起形成了一個(gè)定向的動(dòng)態(tài)小世界網(wǎng)絡(luò) (DDSWN)，我們用它來(lái)模擬實(shí)際的傳播過(guò)程。利用這個(gè)模型，通過(guò)進(jìn)行數(shù)值分析

6、， 我們獲得了信息傳播的動(dòng)態(tài)尺度效應(yīng)特性和系統(tǒng)對(duì)信息的整體響應(yīng)，這些結(jié)果以前沒人發(fā)現(xiàn)。我們根據(jù)以下的原則建立模型 :(i) 構(gòu)造一個(gè)配位數(shù)為 2z的重連的一維圓形點(diǎn)陣。從全部的 N個(gè)結(jié)點(diǎn)中任意地選出一個(gè)結(jié)點(diǎn)， 標(biāo)記為 j ，作為唯一的一個(gè)狀態(tài)為自旋向上的起始種子 , 而其它節(jié)點(diǎn)（ i j ）處在自旋向下的狀態(tài)。種子是第一個(gè)向與其相連的節(jié)點(diǎn)發(fā)出自旋反轉(zhuǎn)信息的結(jié)點(diǎn)。 (ii) 考慮到不同結(jié)點(diǎn)對(duì)信息響應(yīng)的差異 , 我們定義了響應(yīng)時(shí)間 i 作為每個(gè)節(jié)點(diǎn) i 從接收到信息到轉(zhuǎn)變?yōu)樽孕蛏蠣顟B(tài)的弛豫時(shí)間,并且隨機(jī)變量 i服從概率分布 P( i) .在這篇論文中我們考慮兩種類型的概率分布, 均勻分布和泊松分

7、配。前者可寫為P( i) （ i ） (q- i)/q,其中 （ x）是階越函數(shù) , 當(dāng)x<0時(shí)候?yàn)?0和當(dāng) x> 0時(shí)候?yàn)?1, q是一個(gè)表征分布寬度的參數(shù)。其中i 均勻地分布在 0 和 q之間，平均值為q/2 。對(duì)于后者，我們利用離散的泊松分布, 其中 k是 i 的整數(shù)部分，q是它的平均值。在兩種分布形式中，參量q都是用來(lái)衡量隨機(jī)響應(yīng)時(shí)間的平均值和兩者之間的差異。(iii)我們假設(shè) i的空間分布是與時(shí)間無(wú)關(guān)的 , 但在每一個(gè)單位時(shí)間 0內(nèi)， DDSWN中的連接都會(huì)更新 ; 也就是說(shuō)，在任何時(shí)刻（ v是個(gè)正整數(shù)），就會(huì)有一個(gè)含新邊的小世界網(wǎng)絡(luò) (SWN)從一維規(guī)則圓形點(diǎn)陣中產(chǎn)生通

8、過(guò)重連相同數(shù)量的 p條邊，從而我們便得到動(dòng)態(tài)變化的小世界網(wǎng)絡(luò)。 (iv) 所有節(jié)點(diǎn)自旋狀態(tài)的演化具有相同的方式。 當(dāng)一個(gè)自旋向下的節(jié)點(diǎn)接收到信息后， 在弛豫時(shí)間的最后時(shí)刻它躍遷為自旋向上的狀態(tài)并保持在這個(gè)狀態(tài)，并能夠發(fā)送相同的信息。因此 , 這個(gè)動(dòng)態(tài) SWN中的連接是定向的，因?yàn)樾畔⒅荒軓淖孕蛏系臓顟B(tài)傳遞給自旋向下的狀態(tài)， 其它任何形式的連接都是無(wú)效的。實(shí)際上，連接的定向性反映了自然界中擴(kuò)散過(guò)程的不可逆性。對(duì)于非定向的和靜態(tài)的 SWN, 可利用特征路徑長(zhǎng)度來(lái)描述小世界效應(yīng) ,其中尺度效應(yīng)函數(shù) 在 時(shí)極限為 ， 時(shí)極限為 ，是區(qū)分大小世界區(qū)間的臨界規(guī)模。然而在 DDSWN中并不是所有節(jié)點(diǎn)彼此間

9、都是有效連接在一起的， 因?yàn)橹挥心切淖孕蛏系墓?jié)點(diǎn)連接到自旋向下的節(jié)點(diǎn)間的連接才是有效的。因此, 在現(xiàn)在的模型中失去了它原來(lái)的意義。為了研究信息在 DDSWNs中信息傳播的有多廣和多快, 我們引進(jìn)與時(shí)間相關(guān)的平均傳播距離，和平均傳播時(shí)間， 是個(gè)時(shí)間標(biāo)記。是在（ 1）和 時(shí)刻之間所產(chǎn)生的信息接收者的數(shù)量，是從最初的種子節(jié)點(diǎn)到這些接受者之間的平均距離。我們通過(guò)數(shù)值模擬來(lái)計(jì)算它們， 在對(duì)的隨機(jī)配置和初始種子位置的選擇至少 50次后，將所得的結(jié)果整體取平均獲得數(shù)據(jù)。得到的結(jié)果在圖1和圖 2中給出。我們發(fā)現(xiàn)對(duì)于給定的 N和z平均的路徑長(zhǎng)度（這里我們直接表明與時(shí)間相關(guān)，忽略角標(biāo)）隨時(shí)間單調(diào)增加，最后達(dá)到

10、與 p相關(guān)的飽和值(見圖1和圖 2左上角的插圖 ), 表明了 p因大小有限而產(chǎn)生的影響。計(jì)算過(guò)程中算得的的總和告訴我們所有的節(jié)點(diǎn)都能夠或早或晚被訪問(wèn)到，這表明動(dòng)態(tài)模型比靜態(tài)定向 SWN模型更適合用來(lái)描述傳播過(guò)程。因?yàn)樵陲柡蜖顟B(tài)下和的大小與時(shí)間無(wú)關(guān)所以我們用它們來(lái)表征網(wǎng)絡(luò)的全局屬性。與靜態(tài) SWNs中與方程（1）表示的標(biāo)度關(guān)系相對(duì)應(yīng)， DDSWNs中相應(yīng)的量為，對(duì)于給定的 p它與lnN 正相關(guān)（圖 1和圖 2中右下部），但對(duì)于給定的 N它與 p成冪律關(guān)系（見圖 1和圖 2的主圖，直線的斜率為）。因此我們得出一個(gè)新的標(biāo)度公式分別從圖 1和圖 2的數(shù)據(jù)得出 L0.14 ±0.02（均勻分布

11、） L 0.160 ±0.005（泊松分布）。同時(shí)，平均傳播時(shí)間 <T>s也表現(xiàn)出與 <L>s同樣的形式，但斜率不同。T分別從圖 3和圖 4中提取數(shù)據(jù)我們得到均勻分布的斜率為 0.29 ±0.01 ，泊松分布的斜率為T 0.245 ±0.006 。來(lái)自初始的種子節(jié)點(diǎn)的信息經(jīng)過(guò)樹狀的路徑 , <L>s 和<T>s分別是信息到達(dá)最終的節(jié)點(diǎn)的最大路徑距離和傳播時(shí)間。<L>s 和<L>s的標(biāo)度關(guān)系是 DDSWN模型的特有特征。模擬表明飽和的 <L>和<T> 對(duì)p的依賴源于動(dòng)態(tài)變

12、化的連接和有限大小的影響, 標(biāo)度關(guān)系式中的 lnN 因子源于 SWN背景的幾何學(xué)特性 , 而因子則源于有向連接的傳播機(jī)制， 與普通的 SWNs中的行為是不同的。指數(shù) L和 T仍然依賴弛豫時(shí)間的特殊分布形式。另一方面，可以預(yù)見，在大世界區(qū)域中，當(dāng)?shù)臅r(shí)候?，F(xiàn)在我們研究一下S（ t ） 的行為 ,它被定義為在時(shí)刻 t（被分為 N個(gè)時(shí)間段）自旋向上的所有節(jié)點(diǎn)的數(shù)量。 它描述了狀態(tài)為自旋向上的節(jié)點(diǎn)的比例, 它在 t 時(shí)刻的導(dǎo)數(shù) S(t),反映了在時(shí)刻 t時(shí)自旋向下的節(jié)點(diǎn)躍遷為自旋向上的幾率，因?yàn)檫@個(gè)模型中經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后所有節(jié)點(diǎn)都應(yīng)該處于自旋向上的狀態(tài), 也就是說(shuō)t >時(shí)， S（ t ）->

13、; 1.通過(guò)改變參量設(shè)置我們對(duì)S（ t ）進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。在均勻分布的情況下， 對(duì)于固定的 q，不同的 p得到的結(jié)果繪于圖 5(a) 。如果時(shí)間標(biāo)度重新調(diào)整如，則所有的曲線都可以整合到一起, 如圖 5(b),5(b)中p0 0.1,0.20 ±0.005 。 對(duì)于泊松分布，我們調(diào)整了時(shí)間標(biāo)度, 如圖 5(c)和5(d) 所示 , 我們得到 0.186 ± 0.006 。同一時(shí)刻 , 如果 q也改變 , 我們也能利用時(shí)間標(biāo)度調(diào)整 來(lái)合并曲線 , 如圖 6 所示。從圖中我們得到均勻分布的 0.750 ±0.003 和泊松分布的 0.880 ±0.006, 兩者

14、的 q010。因此 , 我們有如下 S(t) 的標(biāo)度公式：其中和是一個(gè)已知分布的普適函數(shù)。這里的響應(yīng)時(shí)間的分布是反映節(jié)點(diǎn)慣性的 phenomenological 函數(shù)。其它形式的函數(shù)也能應(yīng)用于特定的系統(tǒng)。 對(duì)于不同的分布， 我們的模擬結(jié)果表明在 DDSWNs 中存在共同的的動(dòng)力學(xué)標(biāo)度行為， 并且只有指數(shù)的數(shù)值依賴于分布的形式。 對(duì)于一個(gè)特定的過(guò)程 , 響應(yīng)時(shí)間有明確的含義。例如，一個(gè)新型日用品的銷售問(wèn)題 , i 表示一個(gè)消費(fèi)者在知道和買這個(gè)日用品之間所延遲的時(shí)間， q 與人們消費(fèi)能力的差異相關(guān)。另一個(gè)例子 , 食物網(wǎng)中通常有一些定向的從底層物種指向最高層物種的連接 , 并且有用 lnN 標(biāo)度的平均營(yíng)養(yǎng)距離 . 在 DDSWN模型中它們?nèi)烤哂?lt;L>s的典型數(shù)值。這表明