計算機視覺04 2.3 視覺系統(tǒng)的幾何特性

1、第三節(jié)第三節(jié) 視覺系統(tǒng)的幾何特性視覺系統(tǒng)的幾何特性3.20 (3 lectures)引言引言3.22 (2 lectures)視覺基本特性視覺基本特性I生物特性生物特性3.27 (3 lectures)視覺基本特性視覺基本特性II物理特性物理特性3.29 (2 lectures)視覺基本特性視覺基本特性III幾何特性幾何特性4.3 (3 lectures)圖像處理基礎圖像處理基礎I空域處理空域處理4.5 (2 lectures)圖像處理基礎圖像處理基礎II頻域處理頻域處理4.10 (3 lectures)特征提取特征提取I點特征點特征4.12 (2 lectures)特征提取特征提取II邊緣及

2、線特征邊緣及線特征 在任何特定的理論中，只有其中在任何特定的理論中，只有其中包含數(shù)學的部分才是真正的科學。包含數(shù)學的部分才是真正的科學?？档?相關的數(shù)學基礎相關的數(shù)學基礎o 齊次坐標齊次坐標o 射影幾何射影幾何o 2D變換變換o 3D變換變換o 相機內(nèi)參數(shù)相機內(nèi)參數(shù)o 預備知識預備知識1 1、點的齊次坐標、點的齊次坐標二個齊次坐標如相差一個非零因子，則這二二個齊次坐標如相差一個非零因子，則這二個齊次坐標相同個齊次坐標相同1vuvu2 2、無窮遠直線上的點、無窮遠直線上的點如點如點 為無窮遠直線上的點，為無窮遠直線上的點，則則 t t =0=0tvu1. 1. 齊次坐標齊次坐標3 3、直線的齊次

3、坐標表示、直線的齊次坐標表示 直線方程可表示為直線方程可表示為 規(guī)范化直線參數(shù)向量后，規(guī)范化直線參數(shù)向量后，直線的齊次坐標直線的齊次坐標可表示為：可表示為：1. 1. 齊次坐標齊次坐標3 3、通過二點的直線、通過二點的直線 如果如果 為二圖象點，則通過為二圖象點，則通過該二點的直線的參數(shù)向量為：該二點的直線的參數(shù)向量為：12112212,uuxvxvtt21xxL0021xLxLTTL Lx x1 1x x2 21. 1. 齊次坐標齊次坐標4 4、二次圓錐曲線的齊次坐標表示為：、二次圓錐曲線的齊次坐標表示為：1. 1. 齊次坐標齊次坐標2. 2. 2D變換變換2D 變換的基本組合變換的基本組合

4、2D2D變換變換 2D 2D平移變換可描述為：平移變換可描述為：或者：或者： 2D 2D旋轉(zhuǎn)、平移變換可描述為：旋轉(zhuǎn)、平移變換可描述為：2D2D變換變換 2D 2D旋轉(zhuǎn)、平移、尺度變換可描述為：旋轉(zhuǎn)、平移、尺度變換可描述為： 2D 2D仿射變換可描述為：仿射變換可描述為： 2D 2D透視變換可描述為：透視變換可描述為：2D2D變換的層次變換的層次3. 3. 3D變換變換3D 變換的層次變換的層次三維剛體變換三維剛體變換tRpp12zzzyzxyzyyyxxzxyxxrrrrrrrrrR其中其中 p p點在第一個視場中的坐標點在第一個視場中的坐標p1p1通過旋轉(zhuǎn)和平移，通過旋轉(zhuǎn)和平移，變換到第二

5、個視場中的坐標變換到第二個視場中的坐標p2p2 Tzyxttt),(t旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣 用直角坐標系中的歐用直角坐標系中的歐拉角描述空間角拉角描述空間角 光軸俯仰角光軸俯仰角(pitch)(pitch)：繞繞x x軸的旋轉(zhuǎn)角軸的旋轉(zhuǎn)角 光軸偏航角光軸偏航角(yaw)(yaw)：繞：繞y y軸的旋轉(zhuǎn)角軸的旋轉(zhuǎn)角 光軸扭轉(zhuǎn)角光軸扭轉(zhuǎn)角(twist)(twist)：繞繞z z軸的旋轉(zhuǎn)角軸的旋轉(zhuǎn)角旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣coscoscossinsincossinsinsincoscoscossinsinsinsincossinsincossincossincoscossinsincoscoszzzyzxyzy

6、yyxxzxyxxrrrrrrrrrzzzyzxyzyyyxxzxyxxrrrrrrrrrR數(shù)值解不穩(wěn)定性數(shù)值解不穩(wěn)定性單位正交矩陣單位正交矩陣旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)軸o坐標系的旋轉(zhuǎn)可視為逆時針繞單位矢坐標系的旋轉(zhuǎn)可視為逆時針繞單位矢量量 的旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn). .o直接使用旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角來產(chǎn)生令人直接使用旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角來產(chǎn)生令人滿意的數(shù)值解滿意的數(shù)值解 (,)xyzn n n旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣基于齊次坐標系，基于齊次坐標系，3D3D旋轉(zhuǎn)可以由坐標軸旋轉(zhuǎn)可以由坐標軸n n和轉(zhuǎn)角和轉(zhuǎn)角描描述，或者等效描述為：述，或者等效描述為： 旋轉(zhuǎn)矩陣旋轉(zhuǎn)矩陣對于向量對于向量v v旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)9090度度, ,等效于做一次叉乘：等效于

7、做一次叉乘： 當轉(zhuǎn)角當轉(zhuǎn)角很小時，可以簡化為很小時，可以簡化為單位四元數(shù)單位四元數(shù)o單位圓上任意一點對應一個旋轉(zhuǎn)角單位圓上任意一點對應一個旋轉(zhuǎn)角o單位球上任意一點對應兩個旋轉(zhuǎn)角單位球上任意一點對應兩個旋轉(zhuǎn)角 ),(yx四元數(shù)四元數(shù)o四維單位球可以表示三維空間中的三四維單位球可以表示三維空間中的三個旋轉(zhuǎn)角個旋轉(zhuǎn)角123222120qqqq 一個旋轉(zhuǎn)矩陣對應四維單位球上一點一個旋轉(zhuǎn)矩陣對應四維單位球上一點 222123201032203110322321222030212031302123222120 2 22 22 2 qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqR

8、四元數(shù)四元數(shù) 設旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量為設旋轉(zhuǎn)軸的單位矢量為 繞該軸逆時針旋轉(zhuǎn)角繞該軸逆時針旋轉(zhuǎn)角 的單位四元數(shù)為：的單位四元數(shù)為： ,xyzn n n則旋轉(zhuǎn)軸單位矢量可以表示為：則旋轉(zhuǎn)軸單位矢量可以表示為： xyznnnijk0cossin22xyzxyzqnnnqqqqijkijk四元數(shù)四元數(shù)o 四元數(shù)乘法定義四元數(shù)乘法定義),(00000000qrqrqrqrqrqrqrqrqrqrqrqrqrqrqrqrzxyyxzxzyzxyyzzyxxzzyyxxrq6543210,qqqqqqqo 剛體變換可以很方便地用七個元素表示剛體變換可以很方便地用七個元素表示 TqqqR65412,pqp4.

9、射影幾何射影幾何o 一般的成象系統(tǒng)通常將三維場景變換成二維一般的成象系統(tǒng)通常將三維場景變換成二維灰度或彩色圖像，這種變換可以用一個從三灰度或彩色圖像，這種變換可以用一個從三維空間到二維空間的映射來表示：維空間到二維空間的映射來表示：o 四維空間四維空間o 五維空間，更高維空間五維空間，更高維空間),(),(:23yxzyxRRf透視投影透視投影 o 透視投影透視投影(perspective projection)(perspective projection)是最常用的成像是最常用的成像模型，可以用針孔（模型，可以用針孔（pinholepinhole）成像模型來近似表）成像模型來近似表示示 o

10、 透視投影方程：透視投影方程：o 點在圖像平面中的位置點在圖像平面中的位置 ：zfyyxxxzfx yzfy o 正交投影（正交投影（orthogonal projectionorthogonal projection）指用平行于光）指用平行于光軸的光將場景投射到圖像平面上軸的光將場景投射到圖像平面上, , 因此也稱為平行因此也稱為平行投影（投影（parallel projectionparallel projection） o 投影方程為：投影方程為： 正交投影正交投影 xx yy 5.5.相機內(nèi)部幾何參數(shù)相機內(nèi)部幾何參數(shù)o 單應矩陣單應矩陣（Homography matrix）o 內(nèi)部矩陣

11、內(nèi)部矩陣（Intrinsic matrix）2D像素與像素與3D場景點關系場景點關系Oc：鏡頭光心鏡頭光心Cs：圖像坐標系原點圖像坐標系原點Sx ,Sy ：像素間距像素間距Xs ,Ys ：圖像平面圖像平面2D像素與像素與3D場景點關系場景點關系Oc：鏡頭光心鏡頭光心Cs：圖像坐標系原點圖像坐標系原點Sx ,Sy ：像素間距像素間距Xs ,Ys ：圖像平面圖像平面Rs：3D旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)Ms：單應矩陣單應矩陣相機內(nèi)部參數(shù)矩陣相機內(nèi)部參數(shù)矩陣K1. 1. 攝像機常數(shù)攝像機常數(shù)：投影中心到攝像機平面的：投影中心到攝像機平面的距離，近似于透鏡焦距長度距離，近似于透鏡焦距長度2. 2. 主點主點：光軸與圖像平

12、面的交點，接近圖：光軸與圖像平面的交點，接近圖像中心點像中心點3. 3. 透鏡變形系數(shù)透鏡變形系數(shù) 徑向變形：光線彎曲徑向變形：光線彎曲 偏心：透鏡中心偏離光軸偏心：透鏡中心偏離光軸4. 4. 比例因子比例因子：行和列上的單位距離：行和列上的單位距離徑向變形對稱性示意圖徑向變形對稱性示意圖徑向變形導致圖像變形徑向變形導致圖像變形徑向徑向變形模型變形模型o變形的修正量用多項式建模變形的修正量用多項式建模 )1()(2(2)(2)()1)()(2)(2()(232221634221232221634221rpxxrpyyxxprrryyyrpyyxxpxxrprrrxxxppppppppo圖像坐標

13、可以修正為真實坐標圖像坐標可以修正為真實坐標 yyyxxx徑向變形徑向變形切向變形切向變形6.6.對極幾何對極幾何（Epipolar GeometryEpipolar Geometry)oIIMommeellN Nn一些預備知識一些預備知識基本矩陣基本矩陣(fundamental matrix)(fundamental matrix)的推導及形式的推導及形式 1110, 0)(),(,1,1RKTKFFmmmRKTKmRXTmKTTRXKmKXmXPmXPmTTTTErElF F 的秩為的秩為2 2，F(xiàn) F在相差一個常數(shù)因子下是唯一確定的。在相差一個常數(shù)因子下是唯一確定的。F F 可以通過可以通過8 8對圖象對應點線性確定。對圖象對應點線性確定。本質(zhì)矩陣本質(zhì)矩陣（essential matrix）一些預備知識一些預備知識對極幾何的一些代數(shù)性質(zhì)對極幾何的一些代數(shù)性質(zhì)0FmnT基本矩陣和外極點的關系基本