多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式x

1、多項(xiàng)式除法示例多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的一般步驟:多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式一般用豎式進(jìn)行演算普，_I""9(1)把被除式、除式按某個字母作降募排列，并把所缺的項(xiàng)葩.第H"二無常UrTT£K用零補(bǔ)齊.(2)用被除式的第一項(xiàng)去除除式的第一項(xiàng)，得商式的第一項(xiàng).(3)用商式的第一項(xiàng)去乘除式，把積寫在被除式下面(同類項(xiàng)對齊)，消去相等項(xiàng)，把不相等的項(xiàng)結(jié)合起來.(4)把減得的差當(dāng)作新的被除式，再按照上面的方法繼續(xù)演算，直到余式為零或余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時為止.被除式=除式X商式+余式如果一個多項(xiàng)式除以另一個多項(xiàng)式，余式為零，就說這個多項(xiàng)式能被另一個多項(xiàng)式整除多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的運(yùn)

2、算多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，一般可用豎式計算，方法與算術(shù)中的多位數(shù)除法相似，現(xiàn)舉例說明如下:例1計算(x29x20)(x4)規(guī)范解法I有,J月十9.萬0，科20(x29x20)(x4)x5.解法步驟說明：(1)先把被除式x29x20與除式x4分別按字母的降募排列好.(2)將被除式x29x20的第一項(xiàng)x2除以除式x4的第一項(xiàng)x,得x2xx，這就是商的第一項(xiàng)(3)以商的第一項(xiàng)x與除式x4相乘，得x2(4)從x29x20減去x24x,得差5x(5)再用5x20的第一項(xiàng)5x除以除式的第一項(xiàng)面，寫成代數(shù)和的形式.(6)以商式的第二項(xiàng)5與除式x4相乘，得5x(7)相減得差0,表示恰好能除盡.(8)寫出運(yùn)算結(jié)果，(

3、x29x20)(x4)例2計算(6x59x47x220x3)(2x24x,寫在x29x20的下面.20,寫在下面，就是被除式去掉x24x后的一部分.x，得5xx5,這是商的第二項(xiàng)，寫在第一項(xiàng)x的后20的下20,寫在上述的差5x面.x5.x5).規(guī)范解法12工一b#'-3(br*n，1。/31第+5573(6x59x47x220x3)(2x2x5)3x33x26x1?余9x2注遇到被除式或除式中缺，用0位或空出；余式的次數(shù)低于除式的次數(shù).另外，以上兩例可用分離系數(shù)法求解.如例2.7-1-5J&-#+0+T7=20+36-3口1512-8-2012q6-30(6x59x47x220

4、x3)(2x2x5)3x33x26x1?余9x28.什么是合除法由前面的4我知道兩個多式相除可以用式行，但當(dāng)除式一次式，而且它的首系數(shù)1，情況比特殊.如：算(2x33x4)(x3).RS球小年N1伊工七6上舞j-3j2x'+0*Jjr-41-.衛(wèi)+J+3*H二津叔*量8*324-4*2263.si59因除法只系數(shù)行，和x無關(guān)，于是算式（1）就可以化成算式（2）.可以再化.方框中的數(shù)2、6、21和余式首系數(shù)重復(fù)，可以不寫.再注意到，因除式的首系數(shù)是1,所以余式的首系數(shù)6、21與商式的系數(shù)重復(fù)，也可以省略.如果再把代數(shù)和中的“十”號省略，除式的首系數(shù)也省略，算式（2）就化成了算式（30的形

5、式：（3）|4JIS）|將算式（3）改寫成比較好看的形式得算式（4）,再將算式（4）中的除數(shù)一3換成它的相反數(shù)了加法，于是得到算式（5）.其中最下面一行前三個數(shù)是商式的系數(shù)，末尾一個數(shù)是余數(shù).多項(xiàng)式相除的這種算法，叫做綜合除法，它適合于除式為一次式，而且一次項(xiàng)系數(shù)為1.3,減法就化為1的商式和余例1用綜合除法求x43x33x23x12除以x式.規(guī)范解法111-33-312|I1TI1-21=210商式x32x2x2,余式=10.例2用綜合除法證明2x515x310x29能被x3整除.規(guī)范證法這里x33）,所以綜合除法中的除數(shù)應(yīng)是一3.（注意被除式按降募排列,缺項(xiàng)補(bǔ)0.）-618-9因余數(shù)是0,

6、所以2x515x310x29能被x3整除.當(dāng)除式為一次式,而一次項(xiàng)系數(shù)不是1時，需要把它變成1以后才能用綜合除法.例3求2x除以2x1的商式和余數(shù).規(guī)范解法把2x除以2,1化為x,用綜合除法.22才是所求的商但是，商式2x2x3,這是因?yàn)槌匠?,被除式?jīng)]變，商式擴(kuò)大了2倍，應(yīng)當(dāng)除以2式；余數(shù)沒有變.商式x21x3,余數(shù)73.244為什么余數(shù)不變呢我們用下面的方法驗(yàn)證一下.用2x3x7除以x2x3x31,得商式2x2x_3，余數(shù)為22x12x2x_3732242x1x21x37_244即2x3x3除以2x1的商式x21x-3,余數(shù)仍為綜合除法與余數(shù)定理綜合除法與余數(shù)定理是中學(xué)數(shù)學(xué)中十分重要的

7、內(nèi)容，它們是研究多項(xiàng)式除法的有力工具。綜合除法和余數(shù)定理在整個中學(xué)數(shù)學(xué)中有著極為廣泛的應(yīng)用。本節(jié)我們將作一些初步介紹。一、綜合除法一個一元多項(xiàng)式除以另一個一元多項(xiàng)式，并不是總能整除。當(dāng)被除式f(x)除以除式g(x),(g(x)0)得商式q(x)及余式r(x)時，就有下列等式：f(x)g(x)q(x)r(x)。其中r(x)的次數(shù)小于g(x)的次數(shù)，或者r(x)0。當(dāng)r(x)0時，就是f(x)能被g(x)整除。下面我們介紹一個一元多項(xiàng)式除以另一個一元多項(xiàng)式的簡便運(yùn)算一一綜合除法。2所得的商和余式例1、用綜合除法求2x414x47x3除以x(1)把被除式按降募排好，缺項(xiàng)補(bǔ)零。3x26x2,余式是8(

8、2)把除式的第二項(xiàng)-2變成2,寫在被除式的右邊，中間用一條豎線隔開。(3)把被除式的第一項(xiàng)的系數(shù)2移到橫線的下面，得到商的第一項(xiàng)的系數(shù)。(4)用2乘商的第一項(xiàng)的系數(shù)2,得4,寫在被除式的第二項(xiàng)的系數(shù)-7的下面，同-7相加，得到商的第二項(xiàng)系數(shù)-3o(5)用2乘商的第二項(xiàng)的系數(shù)-3,得-6,寫在被除式的第三項(xiàng)的系數(shù)0的下面，同0相加，得到商的第三項(xiàng)的系數(shù)-6。(6)用2乘商的第三項(xiàng)的系數(shù)-6,得-12,寫在被除式的第四項(xiàng)的系數(shù)14的下面,同14相加，得到商的第三項(xiàng)系數(shù)2。(7)用2乘商的常數(shù)項(xiàng)2,得4,寫在被除式的常數(shù)項(xiàng)4的下面，同4相加，得到余式8。前面討論了除式都是一次項(xiàng)系數(shù)為1的一次式的情形

9、。如果除式是一次式,但一次項(xiàng)系數(shù)不是1,能不能利用綜合除法計算呢例2、求(3x3i0x223x16)(3x2)的商式Q和余式Ro解：把除式縮小3倍，那么商就擴(kuò)大3倍，但余式不變。因此先用2X去除被除式，再把所得的商縮小3即可。233102316IZ281033312156Q=x24x5,R=6F面我們將綜合除法做進(jìn)一步的推廣，使除式為二次或者二次以上的多項(xiàng)式時也能夠利用綜合除法來求商和余式。例3、用綜合除法求(3473112104)(232)的商Q和余式R3711109664解:Q=3x22x5,R=3x2二、余數(shù)定理余數(shù)定理又稱裴蜀定理。它是法國數(shù)學(xué)家裴蜀(17301783)發(fā)現(xiàn)的。余數(shù)定理

10、在研究多項(xiàng)式、討論方程方面有著重要的作用。余數(shù)定理：多項(xiàng)式f(x)除以xa所得的余數(shù)等于f(a)。略證：設(shè)f(x)Q(x)(xa)R將x=a代入得f(a)Ro例4、確定m的值使多項(xiàng)式f(x)x53x48x311xm能夠被x-1整除。解：依題意f(x)含有因式x-1,故f(1)0。 4-13+8+11+m=0。可得m=-17。求一個關(guān)于x的二次多項(xiàng)式，它的二次項(xiàng)系數(shù)為1,它被x-3除余1,且它被x-1除和被x-2除所得的余數(shù)相同解：設(shè)f(x)x2axb f(x)被x3除余1,.f(3)93ab1 f(x)被x1除和x2除所得的余數(shù)相同，.f(1)f(2)即1ab42ab由得a3，代入得b1.二f

11、(x)x23x1。注：本例也可用待定系數(shù)法來解。同學(xué)們不妨試一試即：2rxaxbI(x1)(xm)再由(x2)(x(1)()xxmR(2)()xxnR3)(xpR(x1)R(x2)(xn)R，可得m2,n3)(xp)1，解得p0of(x)x23x1。練習(xí)：1、綜合除法分別求下面各式的商式和余式。(1)(3x44x35x26x7)(x2)；(2)(x56x49x314x8)(x4)；(3) (x3(abc)x2(abbcca)xabc)(xa)；(4) (9x45x2y28y48xy318x3y)(3x2y)；(5) (2x47x316x215x15)(X22x3);(6)(x6x512x37x

12、)(x33x25x2)2、一個關(guān)于x的二次多項(xiàng)式f(x),它被x-1除余2,被x-3除余28,它可以被x+1整除，求f(x)。3、一個整系數(shù)四次多項(xiàng)式f(x),有四個不同的整數(shù)1,2,3,4,可使f(1)1,f(f(3)1,f(4)1,求證：任何整數(shù)都不能使f()1粽合除法:常除式g(x)=x幡例】:a日寺，我俯介貂粽合除法去求商式、含余式。f(x)=2x4+x25x,g(x)=x2,求f(x)除以g(x)的商式、含余式。解：2x4+x235x=(2x+4x2+9x+23)(x-2)+46粽合除法的原理：f(x)=a3x3+a2x2+a1x+ao，g(x)=xb,若存在商式q僅尸c2x2+c1

13、x+c。，繪式r(x)=d由除法的定羲：(a3x3+a2x2+a1x+ao)=(c2x2+c1x+co)(xb)+d2015C2()48184624923,46上面的信劇系可嘉成以下的形式:a3a2a1aoc2c2a3式,繪式c2bc1c1bcocobdf(x)coasda3a2a1aoc2bc1ba2cobc2ba1aoc1bcoba2c2ba1c1b,aocob,dr(x)q(x)c2c1co常f(x)除以g(x)=ax+b日寺，我個子也可利用粽合除法求含余式r(x)、商式q(x)。bf(x)除以(x+)的商式q/(x)=aq(x)典繪式ab由除法的7£羲：f(x)=(ax+b)

14、q(x)+r(x)=(x+_)aq(x)+r(x)可先利用粽合除法求出a1r(x),而所要求的商式q(x)=aq/(x),繪式r(x)不燮。繪式定理、因式定理除法原理：f(x)=g(x)q(x)+r(x),degr(x)<degg(x)或r(x)=0繪式定理：多項(xiàng)式f(x)除以xa的繪式等於f(a)。有f(a)的求值我儼可以利用粽合除法得到。b含余式定理推It：多51式f(x)除以ax+b的含余式等於f(a)(2)多項(xiàng)式f(x)除以xa的繪式f(a)的ft重意羲：(1)多項(xiàng)函數(shù)f(x)在x=a的函數(shù)值。乾例：二次式ax2+bx4以x+1除之，得繪式3,以x1除之，得繪式1,若以x2除之，

15、所得的繪式卷。解：f(x)=ax2+bx4,f(-1)=3且f(1)=1由此解得a典b,再求f(2)=18即卷所得。靶例：求11541147211356112+1511+7之值0解：f(x)=x5-4x4-72x3-56x2+15x+7利用粽合除法求f(11)=51靶例：二多項(xiàng)式f(x),g(x)以2x23x2除之，含余式分月侑3x+2,4x+7,外f(x)+g(x)以2x+1除之，其含余式尚可Ans：192解:f(x)=(2x23x2)Xp(x)+(3x+2)2g(x)=(2x3x2)Xq(x)+(-4x+7)2f(x)+g(x)=(2x3x2)(p(x)+q(x)+(-x+9)=(2x+1

16、)(x-2)(p(x)+q(x)+(-x+9)F(x)=f(x)+g(x),F(1一)=-(219)+9=2IE例：f(x)=2x4+3x3+5x26,求2x1除f(x3)的繪式解：可令g(x)=f(x3),再利用繪式定理。Ans:2靶例：求多項(xiàng)式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之繪式卷何解：x2+3x+2=(x2+2x+3)+(x-1)2323(x+3x+2)=(x+2x+3)+(x-1)=(x2+2x+3)3+3(x2+2x+3)2(x-1)+3(x2+2x+3)(x-1)2+(x-1)求多項(xiàng)式(x2+3x+2)3被x2+2x+3除之含余式=求多項(xiàng)式(x-1)3被x2+2x+3除之繪

17、式=10x+14IE例：IS求下列各小:(1)求多項(xiàng)式f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)之繪式。(2)tg多項(xiàng)式f(x)不低於2次，以x1除之繪2,以x+2除之繪1,即以(x1)(x+2)除f(x)的含余式卷何(3)tg多項(xiàng)式f(x)不低於3次，以x1除之繪3,以x+1除之繪1,以x2除之繪2,即求以(x1)(x+1)(x2)除f(x)的繪式。解：(1)f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以(x1)(x7)也就是f(x)=x750x5+8x45x319x2+41x+6除以x2-8x+7我俯可得繪式11x-29(2) f(x)=(x

18、-1)(x+2)Q(x)+ax+b由f(1)=2及f(-2)=-1我個子可以解得a=1,b=1我俯可得繪式x+12(3) f(x)=(x-1)(x+1)(x-2)Q(x)+ax+bx+c由f(1)=3,f(-1)=1及f(2)=-2我個子可以解得a=-2,b=1,c=42我俯可得繪式2x+x+4Ans：(1)11x29(2)x+1(3)2x2+x+4靶例：多項(xiàng)式f(x)以x2-3x4,2x23x+1除之繪式各卷4x1,2x+7,言式求f(x)以22x9x+4除之繪式卷何解：f(x)=(x2-3x4)Xp(x)+4x1=(x-4)(x+1)Xp(x)+4x1f(x)=(2x23x+1)Xq(x)

19、+2x+7=(x-1)(2x-1)Xq(x)+2x+71f(4)=15且f()=822f(x)=(2x9x+4)xS(x)+ax+b=(x-4)(2x-1)xS(x)+ax+b利用f(4)=15=4a+b及f(1)=8=a+b222我個子可解得a=2,b=7,故f(x)以2x9x+4除之繪式卷2x+7靶例：多項(xiàng)式f(x)以x(x1)除之，繪式卷x+3,以x(x+1)除之繪式卷3x+3,IiJf(x)2除以x(x1)之繪式卷何解：f(x)=x(x1)xp(x)+(x+3)f(x)=x(x+1)xq(x)+(3x+3)22f(x)=x(x1)xS(x)+ax+bx+c1)xS(x)+ax2+bx+

20、co2我個號有f(0)=3,f(1)=2,f(-1)=6分別代入f(x)=x(x21)之繪式卷4x2x+3o2可以解得a=4,b=-2,c=3，故f(x)除以x(x靶例：多項(xiàng)式f(x)除以x3得繪式16,除以x+4得繪式19,即f(x)除以(x3)(x+4)所得的繪式卷Ans:5x+1靶例：多項(xiàng)式f(x)以x23x+2除之繪式卷3,以x24x+3除之得繪式卷3x,即以x25x+6除之繪式卷Ans:6x9靶例：以x2+2x+3除f(x)繪x+12,以(x+1)2除f(x)繪5x+4,即以(x+1)(x2+2x+3)除f(x)的繪式卷Ans:6x211x6蒯列：用(x1)2除x10+2所得的繪式尚

21、可Ans:10x7(直接除察保數(shù)規(guī)期即可得)靶例：以(x+1)2除x50+1之繪式0Ans:50x48(直接除察保數(shù)規(guī)期即可得)因式定理：f(x)一多式，即xf(x)的因式f(尸0。if明：因卷f(x)=(x)Q(x)b推入axb卷f(x)的因式f(a尸0靶例：因式定理的鷹用：(1)言式周下列何者懸f(x)=4x5+8x4+7x322x22x+5的因式(a)x1(b)x+2(c)2x1(d)x2(2)f(x)=x42x3+4x2+ax+3之一因式懸x3,求a之。靶例：tKf(x)=4x411x3+14x210x+3,即下列何者卷f(x)之因式(A)x+1(B)4x+3(C)4x3(D)3x2(

22、E)x1Ans:(C)(E)靶例：若f(x)=x35x2+mx+n有因式x2+x6,外m+n=Ans:24靶例：a,b,c懸整數(shù),0<a<b,若xc黑x(xa)(xc)17的因式，(a,b,c)=Ans:(2,18,1)一次因式橫瞬定理：f(x)=2x+3,g(x)=5x2x+7,h(x)=f(x)g(x)=10x3+13x2+11x+21,10x3是2xX5x2來的，21是3X7來的，因此U察一次式2x+3|h(x),而2|10,3|21,造偃I余吉果封於一般整保數(shù)的多項(xiàng)式也是成立，我儼符它嘉成下面的定理：定理：ISf(x)=axn+axn1+?+ax+a卷一偃I整彳系數(shù)n次多項(xiàng)

23、式，若整彳系數(shù)一次式axb是f(x)的因式，且a,bnn110注意：一次因式椀Tit定理的逆敘述不成立。例如：f(x)=3x+5x+4x2,f(3)0由此定理，可知若一次式cxd中c不卷an的因數(shù)或d必不篇f(x)的因式。故只有漏;足a|an且b|a0的一次式axb才有可能成卷f(x)的因式，因此我偽只要徙滿足a|an且b|a0道些axb去找一次因式就可以了靶例：求整保數(shù)f(x)=3x3+5x2+4x2的整彳系數(shù)一次因式。根摞一次因式椀Tit定理，假axb熱jf(x)的一次因式，州a|3且b|2。我個課f所有可能的axb合x+1,x1,x+2,x2,3x+1,3x1,3x+2,3x2,再利用粽

24、合除法椀t看看那一他是f(x)的因式3x1是f(x)的因式。蒯列：求f(x)=2x4+5x3x2+5x3的一次因式。Ans:2x1典x+3靶例：找出f(x)=6x47x3+6x21的所有整保數(shù)一次式。Ans:2x1、3x+1定理：tgf(x)卷整保數(shù)多項(xiàng)式，a,b卷不同的整數(shù)，瞪明：(ab)|f(a)f(b)。靶例：屣史擘家卷了推敲大數(shù)擘家歇黑里得的出生年份，彝現(xiàn)在西元前336年日寺，流僖了一期有趣的故事：那一年的某一天，歇黑里得造了一他整保數(shù)的多項(xiàng)式，典高采烈的跟旁人我現(xiàn)在的年齡剛好是道他多項(xiàng)式的一他根。旁人卷了想知道K黑里得的年齡，於是符7及一偃I比7大的整數(shù)代入K黑里得的多項(xiàng)式，余吉果得

25、到77及85的。道日寺候歇黑里得笑著：我的年齡有你代的數(shù)那麼小喝你能根摞道些史料推測出歇黑里得出生的年份喝提示：麋里得提及的多項(xiàng)式卷f(x),而K黑里得有a,且f(7)=77,f(b)=85,且b>7,由例題13可得b7|f(b)fb7|8,且7a|f(7)f(a)=77,ba|f(b)f(a)=85,再根摞造些修件，去求得a的，a=14,所以K黑里得出生的年份是西元前350年。最高公因式、最低公倍式定羲：f(x),g(x)卷二多項(xiàng)式，若存在多項(xiàng)式h(x)使得f(x)=g(x)h(x),外僻If(x)靶例：因卷x3g(x)的因式或g(x)f(x)的倍式。符虢：f(x)|g(x)。1=(x

26、1)(x2+x+1),所以x1典x2+x+1均煞x3+1的因式，x3+1熱jx1典x2+x+1的倍式。12靶例：因懸次243xJ(x4241)(x2)=(1x211-)(-x1)，所以x+1,x+2,221x1,1x1都是222注意：由上面雨他例子可知，若1x23x44f(x)|g(x),IiJcT的因式。2f(x)|g(x)(c0)o因此就一般而言，只要求出整保數(shù)的因式或倍式即可。f(x)+n(x)g(x)。(2)性St：若d(x)|f(x),d(x)|g(x),外d(x)|m(x)公因式典公倍式：若多項(xiàng)式d(x)同日茅焉多項(xiàng)式f(x),g(x)的因式，外隔d(x)卷f(x),g(x)的公因

27、式。注意：d(x)=c(c0)卷任何雨偃I多項(xiàng)式的公因式。d(x)熱Jf(x),g(x)的公因式，外kd(x)(k0)亦卷f(x),g(x)的公因式，因此我伊通常只取一偃I代表就行了。如果多項(xiàng)式f(x),g(x)除了常數(shù)以外，沒有其它的公因式，就耦它俯互U。f(x),g(x)都是非零多式，如果m(x)同日寺是f(x),g(x)的倍式，那麼就耦m(x)卷f(x),g(x)的公倍式。m(x)卷f(x),g(x)的公倍式，即km(x)亦卷f(x),g(x)的公倍式，因此我儼通常只取一偃I代表就行了。靶例：f(x)=4x11,g(x)=4x2+4x+1,h(x)=2x27x+3。求f(x),g(x)的公因式，g(x),h(x)的公因式。因卷f(x)=(2x+1)(2x1),g(x)