小學(xué)數(shù)學(xué)奧數(shù)方法講義之-分解質(zhì)因數(shù)法_通用版

1、第三十一講分解質(zhì)因數(shù)法通過(guò)把一個(gè)合數(shù)分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上質(zhì)因數(shù)，來(lái)解答應(yīng)用題的解題方法叫做分解質(zhì)因數(shù)法。分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)有用，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問(wèn)題提供新穎的解法，有益于開(kāi)辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。例1一塊正方體木塊，體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是多少厘米？(適于六年級(jí)程度)解：把1331分解質(zhì)因數(shù)：1331=11X11X11答：這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是11厘米。例2一個(gè)數(shù)的平方等于324,求這個(gè)數(shù)。(適于六年級(jí)程度)解：把324分解質(zhì)因數(shù)：324=2X2X3X3X3X3=(2X3

2、X3)x(2X3X3)=18X18答：這個(gè)數(shù)是18。例3相鄰兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462,求這兩個(gè)數(shù)。(適于六年級(jí)程度)解：把462分解質(zhì)因數(shù)：462=2X3X7X11=(3X7)X(2X11)=21X22答：這兩個(gè)數(shù)是21和22。*例4ABCD=1673在這個(gè)乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個(gè)三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？(適于六年級(jí)程度)解：因?yàn)锳BC<D=1673ABC是一個(gè)三位數(shù),所以可把1673分解質(zhì)因數(shù)，然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個(gè)三位數(shù)與另一個(gè)數(shù)相乘的形式，這個(gè)三位數(shù)就是ABCff代表的數(shù)。1673=239X7答：ABC弋表239。例5一塊正方形田地，面積是2

3、304平方米，這塊田地的周長(zhǎng)是多少米？（適于六年級(jí)程度）解：先把2304分解質(zhì)因數(shù)，并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù)，每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊長(zhǎng)。2304=2X2X2X2X2X2X2X2X3X3=（2X2X2X2X3）X（2X2X2X2X3）=48X48正方形的邊長(zhǎng)是48米。這塊田地的周長(zhǎng)是：48X4=192（米）答略。*例6有3250個(gè)桔子，平均分給一個(gè)幼兒園的小朋友，剩下10個(gè)。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個(gè)。求這個(gè)幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級(jí)程度）解：3250-10=3240（個(gè)）把3240分解質(zhì)因數(shù)：3240=23X34X5接近40的數(shù)有36、37、38、

4、39這些數(shù)中36=22X32,所以只有36是3240的約數(shù)。23X34X5+（22X32）=2X32X5=90答：這個(gè)幼兒園有90名小朋友。* 例7105的約數(shù)共有幾個(gè)？（適于六年級(jí)程度）解：求一個(gè)給定的自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，可先將這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后按一個(gè)質(zhì)數(shù)、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積逐一由小到大寫出，再求出它的個(gè)數(shù)即可。因?yàn)椋?05=3X5X7,所以，含有一個(gè)質(zhì)數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個(gè)；含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3X5、3X7、5X7共3個(gè)；含有三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3X5X7共1個(gè)。所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個(gè)。答略。* 例8把15、22、30、35、39、44、52、7

5、7、91這九個(gè)數(shù)平均分成三組，使每組三個(gè)數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？（適于六年級(jí)程度）解：將這九個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)：15=3X522=2X1130=2X3X535=5X739=3X1344=2X2X1152=2X2X1377=7X1191=7X13觀察上面九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不難看出，九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個(gè)2,三個(gè)3,三個(gè)5,三個(gè)7,三個(gè)11,三個(gè)13,這樣每組中三個(gè)數(shù)應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個(gè)2,一個(gè)3,一個(gè)5,一個(gè)7,一個(gè)11和一個(gè)13。由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是：15、52和77;22、30和91;35、39和44。答略。* 例9有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，他們的年

6、齡數(shù)相乘的積是5040。四個(gè)學(xué)生的年齡分別是幾歲？(適于六年級(jí)程度)解：把5040分解質(zhì)因數(shù)：5040=2X2X2X2X3X3X5X7由于四個(gè)學(xué)生的年齡一個(gè)比一個(gè)大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)。用八個(gè)質(zhì)因數(shù)表示四個(gè)連續(xù)自然數(shù)是：7,2X2X2,3X3,2X5即四個(gè)學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。答略。* 例10在等式35X()X81X27=7X18X()X162的兩個(gè)括號(hào)中，填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)。(適于六年級(jí)程度)解：將已知等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù)，得：5X37X7X()=22X36X7X()把上面的等式化簡(jiǎn)，得：15X()=4X()所以，在左邊的括號(hào)內(nèi)填4,在右邊的括號(hào)內(nèi)填1

7、5。15X(4)=4X(15)答略* 例11把84名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六年級(jí)程度）解：把84分解質(zhì)因數(shù):84=2X2X3X7除了1和84外，84的約數(shù)有：2,3,7,2X2=4,2X3=6,2X7=14,3X7=21,2X2X3=12,2X2X7=28,2X3X7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進(jìn)行分組。84+2=42（組），84+3=28（組），84+4=21（組），84+6=14（組），84+7=12（組），84+12=7（組），84+14=6（組），84+21=4（組），84+28=3（組），84+42=2（組）。因此每組2人分42組；每組3人分2

8、8組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。答略。*例12把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個(gè)數(shù)分成兩組，每組四個(gè)數(shù)，要使各組數(shù)中四個(gè)數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。（適于六年級(jí)程度）解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個(gè)因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù)，它們所含有的質(zhì)因數(shù)一定相同。因此，首先應(yīng)把八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。14=2X7143=11X1330=2X3X5169=13X1333=3X114445=5X7X12775=3X5X54953

9、=3X13X127在上面的質(zhì)因式中，質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有2個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有4個(gè)。在把題中的八個(gè)數(shù)分為兩組時(shí)，應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有1個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有2個(gè)。按這個(gè)要求每一組四個(gè)數(shù)的積應(yīng)是：2X7X11X127X3X3X5X5X13X13因?yàn)椋?2X7)X(3X5X5)X(11X13)X(3X13X127)=14X75X143X4953,根據(jù)接下來(lái)為“14、75、143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953,另一組的四個(gè)數(shù)是：30、33、169、4445。答略。*例13一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是315平方厘米，長(zhǎng)比寬多6

10、厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。(適于五年級(jí)程度)解：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x厘米，則長(zhǎng)為(x+6)厘米。根據(jù)題意列方程，得：x(x+6)=315x(x+6)=3X3X5X7=(3X5)X(3X7)x(x+6)=15X21x(x+6)=15X(15+6)x=15x+6=21答：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是21厘米，寬是15厘米。* 例14已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為210,求這三個(gè)自然數(shù)各是多少？(適于五年級(jí)程度)解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是x-1,x,x+1,根據(jù)題意列方程，得：(x-1)xxX(x+1)=210=21X10=3X7X2X5=5X6X7比較方程兩邊的因數(shù)，得：x=6,x-1=5,x+1=7o答：這三個(gè)連

11、續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。* 例15將37分為甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，使甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的乘積為1440,并且甲、乙兩數(shù)的積比內(nèi)數(shù)的3倍多12,求甲、乙、丙各是幾？(適于六年級(jí)程度)解：把1440分解質(zhì)因數(shù)：1440=12X12X10=2X2X3X2X2X3X2X5=(2X2X2)X(3X3)X(2X2X5)=8X9X20如果甲、乙二數(shù)分別是8、9,丙數(shù)是20,則：8X9=72,20X3+12=72正符合題中條件。答：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是8、9、20。* 例16一個(gè)星期天的早晨，母親對(duì)孩子們說(shuō)：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說(shuō)：“是的，我們的年齡和您年齡的乘積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10。”從這次談話中，你能否確定母親在多大時(shí)，才生下第二個(gè)兒子？(適于六年級(jí)程度)解：由題意可知，母親有三個(gè)兒子