第五章 數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)

1、13-16 調(diào)制調(diào)制-頻率搬移頻率搬移)2cos()(1cftx數(shù)學(xué)表示為數(shù)學(xué)表示為:兩個信號相乘兩個信號相乘設(shè)設(shè):為載波信號為載波信號)2cos()(2mftx為調(diào)制信號為調(diào)制信號調(diào)制調(diào)制:)(2cos)(2cos21)2cos()2cos()()(21mcmcmcfffffftxtx311112111211112122311)(zzzzzzzH4 5 6 10( )()()NMkkkky na y nkb x nk 01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z7 89120( )(1)(2)( )y na y na y nb x n 10 11121314 10(

2、 )()()NMkkkky na y nkb x nk01( )( )( )1MkkkNkkkb zY zH zX za z15 。 0( )()Mkky nb x nk0( )MkkkH zb z 16 1710( )()()NMkkkky na y nkb x nk18 12( )( )( )H zH zHz1221( )( )( )( )( )H zH zHzHzH z1920 21 1011111( )11MMkkkkkNNkkkkkc zb zH zAa zd zn由于系統(tǒng)函數(shù)由于系統(tǒng)函數(shù) 的系數(shù)的系數(shù) 和和 都是都是實數(shù)實數(shù)，因，因此此 和和 是是實數(shù)實數(shù)或者或者共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù)。

3、 ( )H zkakbkckd121211*11111*111111( )111MMkkkkkNNkkkkkg zh zh zH zAp zq zq z則則：22n 將相互共軛的零點（極點）合并起來，形成一將相互共軛的零點（極點）合并起來，形成一個實系數(shù)的二階多項式。個實系數(shù)的二階多項式。 12121121211112121111( )11MMkkkkkNNkkkkkg zzzH zAp zzzn 為了簡化級聯(lián)形式，將實系數(shù)的兩個一階因子為了簡化級聯(lián)形式，將實系數(shù)的兩個一階因子組合成二階因子，則整個可寫成實系數(shù)二階因子組合成二階因子，則整個可寫成實系數(shù)二階因子的形式：的形式：121212111

4、21( )( )1LLkkkkkkkzzH zAAHzzz23 24n每一個基本節(jié)與濾波器的一對極點和一對零點每一個基本節(jié)與濾波器的一對極點和一對零點有關(guān)。有關(guān)。n調(diào)整系數(shù)調(diào)整系數(shù) 、 可以單獨調(diào)整濾波器第可以單獨調(diào)整濾波器第 對零對零點，而不影響其它零點、極點。點，而不影響其它零點、極點。n調(diào)整系數(shù)調(diào)整系數(shù) 、 單獨調(diào)整濾波器第單獨調(diào)整濾波器第 對極點，對極點，而不影響其它零點、極點。而不影響其它零點、極點。 1k2k1k2kkk25 1201111*1110( )11 111MkkkNkkkNNM Nkkkkkkkkkkkb zH za zBg zAC zc zd zd z2627n并聯(lián)結(jié)

5、構(gòu)可以并聯(lián)結(jié)構(gòu)可以單獨單獨調(diào)整調(diào)整極點極點位置。位置。n但但不能不能像級聯(lián)型那樣單獨調(diào)整像級聯(lián)型那樣單獨調(diào)整零點零點的位置，因的位置，因為并聯(lián)型各子系統(tǒng)的零點，并非整個系統(tǒng)函數(shù)為并聯(lián)型各子系統(tǒng)的零點，并非整個系統(tǒng)函數(shù)的零點。的零點。n各并聯(lián)基本節(jié)的誤差相互沒有影響，因此，并各并聯(lián)基本節(jié)的誤差相互沒有影響，因此，并聯(lián)形式聯(lián)形式運算誤差最小運算誤差最小。n由于基本節(jié)并聯(lián)，可同時對輸入信號進(jìn)行運算，由于基本節(jié)并聯(lián)，可同時對輸入信號進(jìn)行運算，因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)因此并聯(lián)型結(jié)構(gòu)運算速度快運算速度快。 28n直接型直接型 n級聯(lián)型級聯(lián)型 n線性相位結(jié)構(gòu)線性相位結(jié)構(gòu) n頻率采樣型結(jié)構(gòu)頻率采樣型結(jié)構(gòu) 29 FIR濾

6、波器的差分方程濾波器的差分方程0( )()Mkky nb x nkFIR濾波器的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)濾波器的轉(zhuǎn)置結(jié)構(gòu)FIR濾波器的直接型結(jié)構(gòu)濾波器的直接型結(jié)構(gòu)30級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點級聯(lián)型結(jié)構(gòu)的特點n級聯(lián)型結(jié)構(gòu)每一個一階因子控制一個實數(shù)零點級聯(lián)型結(jié)構(gòu)每一個一階因子控制一個實數(shù)零點n每一個二階因子控制一對共軛零點。每一個二階因子控制一對共軛零點。n調(diào)整零點位置比直接型方便。但是它所需要的系調(diào)整零點位置比直接型方便。但是它所需要的系數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。數(shù)比直接型多，因而需要的乘法器多。 12111201012000( )( )NNNnkkkkknkkH zh n zzzzn級聯(lián)型表示級聯(lián)型表示31P

7、127 : 4-1習(xí)題習(xí)題解解:1024NsusNNNusTD290432. 61) 1(52msTF84.35FFT 快速卷積快速卷積,需要一次需要一次FFT,一次一次N點復(fù)數(shù)乘點復(fù)數(shù)乘,一次一次IFFT則則:快速卷積時快速卷積時間間msNTTFFL8 .76)(2復(fù)數(shù)乘只要只要SFfTT/11024/則運算就可處理采集的數(shù)據(jù)則運算就可處理采集的數(shù)據(jù)故故HzTffFsc7 .6666210242/32n5.5 線性相位型結(jié)構(gòu)（第七章討論）33n對系統(tǒng)函數(shù)取樣對系統(tǒng)函數(shù)取樣 n插值公式插值公式n頻率采樣型結(jié)構(gòu)頻率采樣型結(jié)構(gòu) 2( )( ), 0,1,2,1jkNz eH kH zkN1101(

8、 )( )11NNkkNH kH zzNWz101( )( )( )NckkH zHzHzN( )1NcHzz 1( )( )1kkNH kHzWz返回返回34n網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)35n差分方程差分方程n頻率響應(yīng)頻率響應(yīng) n幅度響應(yīng)幅度響應(yīng) ( )1NcHzz 1( )( )()y nx nx nN2()12sin2Njjj NcNH eeje ()2 sin2jcNH e分析分析:36n零點分布零點分布 梳狀濾波器有梳狀濾波器有N個零點，在單位圓上等個零點，在單位圓上等間隔分布。間隔分布。 2jkNkze0,1,1kN即即:3738n由由N N個個一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成一階網(wǎng)絡(luò)并聯(lián)而成n每個一階網(wǎng)絡(luò)

9、都是一個每個一階網(wǎng)絡(luò)都是一個諧振器諧振器，它們在，它們在單位圓單位圓上各有一個極點上各有一個極點 n這些諧振器的這些諧振器的極點極點正好與梳狀濾波器的正好與梳狀濾波器的零點零點相相抵消抵消，從而使這些頻率點上的頻率響應(yīng)等于，從而使這些頻率點上的頻率響應(yīng)等于H(kH(k) ) 2jkkNkNzWe3940n優(yōu)點優(yōu)點n系數(shù)系數(shù)H(kH(k) )就是濾波器在頻率采樣點就是濾波器在頻率采樣點 處的響應(yīng)，因此控制濾波器的頻率響應(yīng)比處的響應(yīng)，因此控制濾波器的頻率響應(yīng)比較方便。較方便。2kN41n缺點缺點 n所有諧振網(wǎng)絡(luò)的極點位于所有諧振網(wǎng)絡(luò)的極點位于單位圓單位圓上，系上，系統(tǒng)穩(wěn)定是靠這些統(tǒng)穩(wěn)定是靠這些極點

10、極點與梳狀濾波器在單與梳狀濾波器在單位圓上的位圓上的零點零點對消來保證的。如果濾波對消來保證的。如果濾波器的系數(shù)稍有誤差，有些極點就器的系數(shù)稍有誤差，有些極點就不能不能被被零點所零點所抵消抵消，從而導(dǎo)致系統(tǒng)，從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定不穩(wěn)定。n所有的系數(shù)所有的系數(shù)H(kH(k) )和和 都是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)都是復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)相乘對硬件實現(xiàn)是不方便的。相乘對硬件實現(xiàn)是不方便的。 kNW42n將單位圓上的極零點向內(nèi)收縮到半徑為將單位圓上的極零點向內(nèi)收縮到半徑為r r的圓上，的圓上，如果由于某種原因，零極點如果由于某種原因，零極點不能抵消不能抵消時，時，極點位置極點位置仍在單位圓內(nèi)仍在單位圓內(nèi)，保持系統(tǒng)，保持系統(tǒng)穩(wěn)定

11、穩(wěn)定。 11rr且1101( )( )11NNNkkNH kH zr zNrWz43n將第將第k k和第和第N-kN-k個諧振器個諧振器合并合并為一個實系為一個實系數(shù)二階網(wǎng)絡(luò)，從而將復(fù)數(shù)乘法運算變成數(shù)二階網(wǎng)絡(luò)，從而將復(fù)數(shù)乘法運算變成實數(shù)運算。實數(shù)運算。nN N為偶數(shù)為偶數(shù) 2 11111(0)(2)( )1( )11NNNkkHH NH zr zHzNrzrz44 修正的修正的FIR濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu)濾波器頻率采樣結(jié)構(gòu) 45nN為奇數(shù)為奇數(shù) 1(1) 201112211(0)( )1211 2 cosNNNkkkzHH zr zNrzrk zr zN46 一般來說，當(dāng)采樣點數(shù)一般來說，當(dāng)采樣點

12、數(shù)N較大時，頻率采樣結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，較大時，頻率采樣結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜， 所需的乘法器和延時器比較多。但在以下兩種情況下，使用頻率所需的乘法器和延時器比較多。但在以下兩種情況下，使用頻率采樣結(jié)構(gòu)比較經(jīng)濟(jì)。采樣結(jié)構(gòu)比較經(jīng)濟(jì)。 （1） 對于窄帶濾波器，其多數(shù)采樣值對于窄帶濾波器，其多數(shù)采樣值H(k)為零，諧振器柜為零，諧振器柜中只剩下幾個所需要的諧振器。這時采用頻率采樣結(jié)構(gòu)比直接型中只剩下幾個所需要的諧振器。這時采用頻率采樣結(jié)構(gòu)比直接型結(jié)構(gòu)所用的乘法器少，當(dāng)然存儲器還是要比直接型用得多一些。結(jié)構(gòu)所用的乘法器少，當(dāng)然存儲器還是要比直接型用得多一些。 （2）在需要同時使用很多并列的濾波器的情況下，這些并列）在

13、需要同時使用很多并列的濾波器的情況下，這些并列的濾波器可以采用頻率采樣結(jié)構(gòu)，并且可以大家共用梳狀濾波器的濾波器可以采用頻率采樣結(jié)構(gòu)，并且可以大家共用梳狀濾波器和諧振和諧振柜，只要將各諧振器的輸出適當(dāng)加權(quán)組合就能組成各個并柜，只要將各諧振器的輸出適當(dāng)加權(quán)組合就能組成各個并列的濾波器。列的濾波器。 47 根據(jù)根據(jù)DFT的共軛對稱性，如果的共軛對稱性，如果h(n)是實序列，則其離散傅是實序列，則其離散傅里葉變換里葉變換H(k)關(guān)于關(guān)于N/2點共軛對稱，即點共軛對稱，即H(k)=H*(N-k)。又因為。又因為 ，為了得到實系數(shù)，我們將，為了得到實系數(shù)，我們將Hk(z)和和HN-k(z)合并合并為一個二

14、階網(wǎng)絡(luò)，為一個二階網(wǎng)絡(luò)， 記為記為Hk(z)(*)(kNNkNWW2211101*11)(12cos211)(1)(1)(1)()(zrzkNrzaazWrkHzrWkHzrWkNHzrWkHzHkkkNkNkNNkNk）（12, 2 , 1Nk48式中式中: )(Re2)(Re210kNkkWkrHakHa 該二階網(wǎng)絡(luò)是一個諧振頻率為二階網(wǎng)絡(luò)是一個諧振頻率為k=2k/N的有限的有限Q值的諧振器，值的諧振器，其結(jié)構(gòu)如圖其結(jié)構(gòu)如圖4-11 所示。所示。 除了共軛復(fù)根外除了共軛復(fù)根外H(z)還有實根。當(dāng)還有實根。當(dāng)N為偶數(shù)時，有一對實根為偶數(shù)時，有一對實根z=r，(r圓上橫軸對稱點圓上橫軸對稱點)

15、 除二階網(wǎng)絡(luò)外尚有兩除二階網(wǎng)絡(luò)外尚有兩個對應(yīng)的一階網(wǎng)絡(luò)個對應(yīng)的一階網(wǎng)絡(luò): 12/101)2/()(1)0()(z rNHzHz rHzHN49z1 r2z1a0ka1kkNr2cos2圖 4-1150 這時的這時的H(z)如式如式(4-14)，其結(jié)構(gòu)如圖，其結(jié)構(gòu)如圖4-12(下頁下頁)所示。圖中所示。圖中Hk(z), z=1, 2, , N/2-1 的結(jié)構(gòu)如圖的結(jié)構(gòu)如圖 4.11 (上頁上頁)所示。所示。 (4-14) 當(dāng)當(dāng)N為奇數(shù)時，只有一個實根為奇數(shù)時，只有一個實根z=r，對應(yīng)于一個一階網(wǎng)絡(luò)，對應(yīng)于一個一階網(wǎng)絡(luò)H0(z)。這。這時的時的H(z)為為 2/ )1(10)()(1)1 ()(N

16、kkNNzHzHNzrzH(4-15) 顯然，顯然，N等于奇數(shù)時的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由一個一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和等于奇數(shù)時的頻率采樣修正結(jié)構(gòu)由一個一階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)和(N-1)/2個二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)組個二階網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)組成。成。 2 11111(0)(2)( )1( )11NNNkkHH NH zr zHzNrzrz返回返回返回返回51圖4-12 頻率采樣修正結(jié)構(gòu) y(n)z N r NH(0)1 / Nz 1H1(z)H2(z)HN / 21(z)rH(N / 2)z 1 r525.7 格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)5.7.1 全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)1. 全零點格型網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)全零點格型網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)全零

17、點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的流圖如圖5.7.1所示。該流圖只有直通通路，沒有反饋回路，因此可稱為FIR格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。觀察該圖，它可以看成是由圖5.7.2的基本單元級聯(lián)而成。 53圖5.7.1 全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)54圖5.7.2 基本單元55 只要知道格型網(wǎng)絡(luò)的系數(shù)kl，l=1, 2, 3, , N, 由上式可以直接求出FIR格型網(wǎng)絡(luò)的系統(tǒng)函數(shù)。按照圖5.7.2寫出差分方程如下：llllknrnene) 1()()(11(5.7.1) (5.7.2) ) 1()()(11nrknenrllll562. 由由FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換成全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)假設(shè)N階FIR型網(wǎng)絡(luò)

18、結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)為(5.7.9)式中, h(0)=1; h(n)是FIR網(wǎng)絡(luò)的單位脈沖響應(yīng)。令ak=h(k)，得到:(5.7.10)式中，a0=h(0)=1; kl為全零點格型網(wǎng)絡(luò)的系數(shù), l=1, 2, , N。NnnznhzH0)()(NkkkzazH0 )(57 下面僅給出轉(zhuǎn)換公式，推導(dǎo)過程請參考文獻(xiàn)19： (5.7.11) (5.7.12) (5.7.13) 式中, l=N, N1, , 1。)(Nkkaa lllka)() 1( , 3 , 2 , 1 12)()()1(lkkakaallklllklk58解釋解釋 公式中的下標(biāo)k（或l）表示第k(或l)個系數(shù)，這里FIR結(jié)構(gòu)和格型結(jié)構(gòu)

19、均各有N個系數(shù); (5.7.13)式是一個遞推公式，上標(biāo)（帶圓括?。┍硎具f推序號，從（N）開始，然后是N1, N2, , 2；注意(5.7.12)式，當(dāng)遞推到上標(biāo)圓括弧中的數(shù)字與下標(biāo)相同時，格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)kl剛好與FIR的系數(shù)相等。下面舉例說明?！纠?5.7.1】 將下面三階FIR系統(tǒng)函數(shù)3(z)轉(zhuǎn)換成格型網(wǎng)絡(luò)，要求畫出該FIR直接型結(jié)構(gòu)和相應(yīng)的格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖。lllka)(lllaa)(3213576. 064. 09 . 01)(zzzzH59解解 例題中N=3, 按照(5.7.11)式，有 由(5.7.12) 式，得到: 按照(5.7.13) 式，遞推得到:576. 0 , 64.

20、0 , 9 . 0)3(3)3(2)3(1aaa576. 0)3(33 ak60l=3, k=1時, l=3, k=2時,(3)(3)(2)13212230.90.576 0.64 0.795 182 4511 (0.576)ak aak (3)(3)(2)23122230.640.576 0.90.181 974 9111 (0.576)ak aak91 974 181. 0)2(22 ak61l=2, k=1時,最后按照算出的格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)，畫出三階FIR直接型結(jié)構(gòu)和三級格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)流圖如圖 5.7.3所示。 47 757 672. 0)91 974 181. 0(1)91 974 181

21、. 01 (45 182 795. 01222)2(12)2(1)1(1kakaa47 757 672. 01k62圖5.7.3 例5.7.1圖63略去由全零點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換到FIR直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的公式，如需要了解該內(nèi)容，請參考文獻(xiàn)19。實際上，調(diào)用MATLAB函數(shù)實現(xiàn)直接型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)與格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)之間的相互轉(zhuǎn)換非常容易。tf2latc實現(xiàn)直接型到格型結(jié)構(gòu)變換，latc2tf 實現(xiàn)格型到直接結(jié)型結(jié)構(gòu)變換。K=tf2latc(hn): 求FIR格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)向量K=k1, k2, , kN, hn為FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)向量，并關(guān)于hn(1)=h(0)歸一化。應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)FIR系統(tǒng)函數(shù)在單位

22、圓上有零極點時，可能發(fā)生轉(zhuǎn)換錯誤。64hn=latc2tf(K) 將FIR格型結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)換為FIR直接型結(jié)構(gòu)。K為FIR格型結(jié)構(gòu)的系數(shù)向量K，hn為FIR濾波器的單位脈沖響應(yīng)向量，即FIR直接型結(jié)構(gòu)系數(shù)向量。顯然，該函數(shù)可以用于求格型結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。例 5.7.1的求解程序如下：hn=1, 0.9, 0.64, 0.576;K=tf2latc(hn)運行結(jié)果：K=0.6728 0.1820 0.5760與上面的遞推結(jié)果相同。655.7.2 全極點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)全極點格型網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)全極點IIR系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)用下式表示: (5.7.14)(5.7.15)式中, A(z)是FIR系統(tǒng)，因此全極點IIR

23、系統(tǒng)H(z)是FIR系統(tǒng)A(z)的逆系統(tǒng)。下面先介紹如何將H(z)變成A(z)。假設(shè)系統(tǒng)的輸入和輸出分別用x(n)、y(n)表示，由 (5.7.17) 式得到全極點IIR濾波器的差分方程為)(111)(1zAzazHNkkkNkkkzazA11)(66如果將x(n)、y(n)的作用相互交換，差分方程則變成下式:則(5.7.17)觀察上式，它描述的是具有系統(tǒng)函數(shù)H(z)=A(z)的FIR系統(tǒng)，而(5.7.16) 式描述的是H(z)=1/A(z)的IIR系統(tǒng)。按照(5.7.16) 式描述的全極點直接型結(jié)構(gòu)如圖5.7.4所示。 )()()(1nxknyanyNkk)()()(1nyknxanxNkk

24、Nkkknxanxny1)()()(5.7.16)67圖5.7.4 全極點IIR系統(tǒng)的直接型結(jié)構(gòu)68基于上面的事實，我們將FIR格型結(jié)構(gòu)通過交換公式中的輸入輸出作用，形成它的逆系統(tǒng)，即全極點格型IIR系統(tǒng)。重新定義輸入輸出再將FIR格型結(jié)構(gòu)的基本公式(5.7.1)、(5.7.2)重寫如下：（5.7.18） （5.7.19） )()(),()(0nenynenxNllllknrnene) 1()()(11) 1()()(11nrknenrlllldefdef69由于重新定義了輸入輸出，將el(n)按降序運算，rl(n)不變，即（5.7.20）（5.7.21）（5.7.22）（5.7.23）)()(nenxNllllknrnene) 1()()(111 , 1,NNl) 1()()(11nrkne