二次函數(shù)圖象(1)

1、二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質(zhì)一般地一般地, ,形如形如的函數(shù)的函數(shù), ,叫做二次函數(shù)叫做二次函數(shù). .其中其中, ,是是x x自變量自變量,a,b,c,a,b,c分分別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)別是函數(shù)表達(dá)式的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)和常數(shù)項(xiàng). .y=axy=ax2 2+bx+c (a+bx+c (a、b b、c c為常數(shù)為常數(shù),a0),a0)二次函數(shù)二次函數(shù): : 一次函數(shù)的圖像是一條直線一次函數(shù)的圖像是一條直線, ,反比例函數(shù)的圖反比例函數(shù)的圖像是雙曲線像是雙曲線, ,二次函數(shù)的圖像是什么形狀呢二次函數(shù)的圖像是什么形狀呢? ?通常怎樣通常怎樣畫一個(gè)函數(shù)的圖像畫一個(gè)函數(shù)的圖

2、像? ?x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y y畫函數(shù)畫函數(shù)y=xy=x2 2的圖像的圖像解解: (1) : (1) 列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 根據(jù)表中根據(jù)表中x,yx,y的數(shù)的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)(x,y),(x,y),再用平滑曲線順再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)次連接各點(diǎn), ,就得到就得到y(tǒng)=xy=x2 2的圖像的圖像. . 還記得如何用還記得如何用描點(diǎn)法畫一個(gè)函數(shù)描點(diǎn)法畫一個(gè)函數(shù)的圖像嗎的圖像嗎? ?y=x

3、y=x2 2x x -3-3 -2 -2 -1 -10 01 1 2 23 3y y請(qǐng)畫函數(shù)請(qǐng)畫函數(shù)y=y=x x2 2的圖像的圖像解解: (1) : (1) 列表列表 -9-9 -4-4-1 -10 0-1 -1-4-4 -9-9 (2) (2) 描點(diǎn)描點(diǎn)(3) (3) 連線連線 根據(jù)表中根據(jù)表中x,yx,y的數(shù)的數(shù)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)值在坐標(biāo)平面中描點(diǎn)(x,y),(x,y),再用平滑曲線順再用平滑曲線順次連接各點(diǎn)次連接各點(diǎn), ,就得到就得到y(tǒng)=xy=x2 2的圖像的圖像. .1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2二次函數(shù)二

4、次函數(shù)y=ax2的圖象形如物體拋射時(shí)的圖象形如物體拋射時(shí)所經(jīng)過的路線，我們把它叫做所經(jīng)過的路線，我們把它叫做拋物線拋物線。22xy232xy221xy2xy2xy這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸軸對(duì)稱，對(duì)稱，y軸就是它的軸就是它的對(duì)稱軸。對(duì)稱軸。 這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸軸對(duì)稱，對(duì)稱，y軸就是它的軸就是它的對(duì)稱軸。對(duì)稱軸。 這條拋物線關(guān)于這條拋物線關(guān)于y軸軸對(duì)稱，對(duì)稱，y軸就是它的軸就是它的對(duì)稱軸。對(duì)稱軸。 對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)對(duì)稱軸與拋物

5、線的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)。xyoxyo 從圖像可以看出從圖像可以看出, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的圖像的圖像都是一條曲線都是一條曲線, ,它的形狀類似于投籃球或投擲鉛球時(shí)球它的形狀類似于投籃球或投擲鉛球時(shí)球在空中所經(jīng)過的路線在空中所經(jīng)過的路線. .這樣的曲線叫做這樣的曲線叫做拋物線拋物線. .y=xy=x2 2的圖像叫做拋物線的圖像叫做拋物線y=xy=x2 2. .y=y=x x2 2的圖像叫做拋物線的圖像叫做拋物線y=y=x x2 2. . 實(shí)際上實(shí)際上, ,二次函數(shù)的圖像二次函數(shù)的圖像都是都是拋物線拋物線. .它們的它們的開口向上開口向上

6、或者或者向下向下. .一般地一般地, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的圖像叫做拋物線的圖像叫做拋物線y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c. 還可以看出還可以看出, ,二次函數(shù)二次函數(shù)y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的圖的圖像都是像都是軸對(duì)稱圖形軸對(duì)稱圖形, ,y y軸是它們的對(duì)稱軸軸是它們的對(duì)稱軸. .拋物線拋物線與與對(duì)稱軸對(duì)稱軸的的交點(diǎn)交點(diǎn)叫做拋物線的叫做拋物線的頂點(diǎn)頂點(diǎn). .拋物線拋物線y=xy=x2 2的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)(0,0)(0,0)是它的是它的最低點(diǎn)最低點(diǎn). .拋物線拋物線y=y=x x2 2的的頂點(diǎn)頂點(diǎn)(0,0)(0,0)是它的是它

7、的最高點(diǎn)最高點(diǎn). .y=xy=x2 2y=y=x x2 22xy2xy 1、觀察右圖，、觀察右圖，并完成填空。并完成填空。拋物線拋物線y=x2y=-x2頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸對(duì)稱軸位置位置開口方向開口方向增減性增減性極值極值（0，0）（0，0）y軸軸y軸軸在在x軸的上方（除頂點(diǎn)外）軸的上方（除頂點(diǎn)外）在在x軸的下方（除頂點(diǎn)外）軸的下方（除頂點(diǎn)外）向上向上向下向下當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，最小值為時(shí)，最小值為0。當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)，最大值為時(shí)，最大值為0。二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)的性質(zhì)、頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸、位置與開口方向、位置與開口方向、增減性與極值、增減性與極值2 2、練習(xí)、練習(xí)2 23

8、 3、想一想、想一想 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線在同一坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=x2與拋物線與拋物線 y= -x2的位置有什么關(guān)系？的位置有什么關(guān)系？ 如果在同一坐標(biāo)系內(nèi)如果在同一坐標(biāo)系內(nèi) 畫函數(shù)畫函數(shù)y=ax2與與y= -ax2的圖象，怎樣畫才簡(jiǎn)便？的圖象，怎樣畫才簡(jiǎn)便？ 4 4、練習(xí)、練習(xí)4 4動(dòng)畫演示動(dòng)畫演示 在同一坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線在同一坐標(biāo)系內(nèi)，拋物線y=x2與拋物線與拋物線 y= -x2的位置有什么關(guān)系？的位置有什么關(guān)系？ 如果在同一坐標(biāo)系內(nèi)如果在同一坐標(biāo)系內(nèi) 畫函數(shù)畫函數(shù)y=ax2與與y= -ax2的圖象，怎樣畫才簡(jiǎn)便？的圖象，怎樣畫才簡(jiǎn)便？ 答：拋物線拋物線答：拋物線拋物線y=x2與拋物線

9、與拋物線 y= -x2 既關(guān)于既關(guān)于x軸對(duì)軸對(duì)稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。只要畫出稱，又關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。只要畫出y=ax2與與y= -ax2中的中的一條拋物線，另一條可利用關(guān)于一條拋物線，另一條可利用關(guān)于x軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn)軸對(duì)稱或關(guān)于原點(diǎn) 對(duì)稱來畫。對(duì)稱來畫。2xy2xy 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸的時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，左側(cè)，y隨著隨著x的增大而的增大而減小。減小。 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸的時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，右側(cè)，y隨著隨著x的增大而的增大而增大。增大。 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，在對(duì)稱軸的時(shí)，在對(duì)稱軸的左側(cè)，左側(cè)，y隨著隨著x的增大而的增大而增大。增大。 當(dāng)當(dāng)a0a0時(shí)時(shí), ,拋物線的開口向拋物線的開口向上上, ,頂點(diǎn)是

10、拋物線的最低點(diǎn)頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn), ,a a越大越大, ,拋物線的開口越小拋物線的開口越小; ; 當(dāng)當(dāng)a0a0 a0 a0 a0 m+10 mm2 2+m=2 +m=2 解解得得:m:m1 1=2, m2, m2 2=1=1 由由得得:m:m1 1 m=1 m=1 此時(shí)此時(shí), ,二次函數(shù)為二次函數(shù)為: y=2x: y=2x2 2, ,22xy232xy2 2、根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空、根據(jù)左邊已畫好的函數(shù)圖象填空：（1）拋物線）拋物線y=2x2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是的頂點(diǎn)坐標(biāo)是 ,對(duì)稱軸是對(duì)稱軸是 ，在在 側(cè)，側(cè)，y隨著隨著x的增大而增大；在的增大而增大；在 側(cè)，側(cè)，y隨著隨著x的增大而減小，當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p小，當(dāng)x= 時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù)y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,拋物拋物線線y=2x2在在x軸的軸的 方（除頂點(diǎn)外）。方（除頂點(diǎn)外）。（2）拋物線拋物線 在在x軸的軸的 方（除頂點(diǎn)外），在對(duì)稱軸的方（除頂點(diǎn)外），在對(duì)稱軸的左側(cè)，左側(cè)，y隨著隨著x的的 ；在對(duì)稱軸的右側(cè)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨著隨著x的的 ，當(dāng)，當(dāng)x=0時(shí)，時(shí)，函數(shù)函數(shù)y的值最大，最大值是的值最大，最大值是 ，當(dāng)當(dāng)x 0時(shí)，時(shí)，y0a0時(shí)時(shí), ,拋物線的開口向上拋物線的開口向上, ,頂點(diǎn)是頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)拋物線的最低點(diǎn); ; 當(dāng)當(dāng)a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 xy