9-2(2)-利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

1、, bxa ).()(21xyx 利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分利用直角坐標(biāo)系計(jì)算二重積分X型區(qū)域型區(qū)域:)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy .),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf ,dyc ).()(21yxy Y型區(qū)域型區(qū)域:)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx Dxy 1例例 6 6 改改變變積積分分 xdyyxfdx1010),(的的次次序序. 原原式式 ydxyxfdy1010),(.解解積分區(qū)域如圖積分區(qū)域如圖 .10, 10 :xyxD也可表示為也可表示為

2、.10, 10 :yxyD 例例7 計(jì)算由四個(gè)平面計(jì)算由四個(gè)平面x 0 y 0 x 1 y 1所圍成的所圍成的柱體被平面柱體被平面z 0及及2x 3y z 6截得的立體的體積截得的立體的體積 四個(gè)平面所圍成的立體如圖四個(gè)平面所圍成的立體如圖 解解: dxdyyxVD)326( 1010)326(dyyxdx 101022326dxyxyy 1027)229(dxx所求體積為所求體積為281 02.|,:|,DIyxdxdyDxy例例 求求其其中中xy011 2解解.|2中的絕對(duì)值符號(hào)去掉中的絕對(duì)值符號(hào)去掉必須將必須將xy 兩部分兩部分分成分成將區(qū)域?qū)^(qū)域拋物線拋物線212、DDDxy 11,0

3、:21 xxyD11, 2:22 xyxD 22122),( ),( |),(DyxxyDyxyxxyyxf 21)()(22DDdxdyxydxdyyxIdyxydxdyyxdxxx 2211021122)()(1546 2D1D第三節(jié)第三節(jié) 二重積分計(jì)算方法（二）二重積分計(jì)算方法（二）利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分AoDiirr iirrriiiiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分一、利用極坐標(biāo)系計(jì)算二重積分.)sin,c

4、os()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r二重積分化為二次積分的公式二重積分化為二次積分的公式(一一)區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf AoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式二重積分化為二次積分的公式(二二)區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖(曲邊扇形曲邊扇形), ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積極坐標(biāo)系下區(qū)域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積

5、分的公式二重積分化為二次積分的公式(三三)區(qū)域特征如圖區(qū)域特征如圖(極點(diǎn)在極點(diǎn)在區(qū)域內(nèi)部區(qū)域內(nèi)部).(0 rDoA)(r,2 0例例1 1 寫寫出出積積分分 Ddxdyyxf),(的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)二二次次積積分分形形式式，其其中中積積分分區(qū)區(qū)域域,11| ),(2xyxyxD 10 x.1 yx122 yx解解在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxdyyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd例例 2 2 計(jì)算計(jì)算dxdyeDyx 22，其中，其中 D 是由中心在是由中心在原點(diǎn)

6、，半徑為原點(diǎn)，半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域的圓周所圍成的閉區(qū)域.解解在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下 D：ar 0， 20. dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae xy0a解解D：bra ， 20 . dyxD 22 20bardrrd)(31233ab )(3233ab xxdyyxdx2212210)(求求 解解 積分區(qū)域積分區(qū)域D如圖所示如圖所示 tan sec0 ,40| ),( D Dxxdddyyxdx 12122102)( dd tansec040112tansec40 d例例4.第四節(jié)第四節(jié) 三重積分的概念及計(jì)算法三重積分的概念及計(jì)算法（直角坐標(biāo)系下計(jì)算法）（直

7、角坐標(biāo)系下計(jì)算法）一、三重積分的定義一、三重積分的定義.,),(),(),(,:Mzyxzyxzyx物體的質(zhì)量物體的質(zhì)量試求該試求該為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)且且處的密度為處的密度為上的點(diǎn)上的點(diǎn)它在它在域域設(shè)有一物體占據(jù)空間區(qū)設(shè)有一物體占據(jù)空間區(qū)例例 方法：方法：分割分割,取近似取近似,求和求和,取極限取極限個(gè)小塊個(gè)小塊把物體任意分把物體任意分n.,21nVVV ),()(iiiiiVV 取一點(diǎn)取一點(diǎn)體積也記體積也記在每一小塊在每一小塊 iiiiiVM ),( niiiiiniiVMM11),( 則 niiiiiVM10),(lim .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的平面來劃分的平面來劃分

8、用平行于坐標(biāo)面用平行于坐標(biāo)面在直角坐標(biāo)系中，如果在直角坐標(biāo)系中，如果.lkjizyxv 則則.積元素積元素叫做直角坐標(biāo)系中的體叫做直角坐標(biāo)系中的體其中其中dxdydzV 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域在在閉區(qū)域閉區(qū)域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作直線作直線過點(diǎn)過點(diǎn)Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz方法一方法一(投影法）：投影法）：直角坐標(biāo)系中將三重積直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三分化為三 次

9、積分計(jì)算次積分計(jì)算函數(shù)，則函數(shù)，則的的只看作只看作看作定值，將看作定值，將先將先將zzyxfyx),(, ),(),(21),(),(yxzyxzdzzyxfyxF上的二重積分上的二重積分在閉區(qū)間在閉區(qū)間計(jì)算計(jì)算DyxF),(.),(),(),(),(21 DyxzyxzDddzzyxfdyxF ,),()(:21bxaxyyxyD 得：得：fx, y,z dv =.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx注意：注意： 投影法是把三重積分化為二次積分和一次積分，且投影法是把三重積分化為二次積分和一次積分，且積分順序?yàn)榉e分順序?yàn)椤跋纫缓蠖纫缓蠖保虼艘?/p>

10、稱為，因此也稱為“先一后二先一后二”法法. .解解, 122 yxxyzo.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 101010)(dzzyxdydxdxdydzM 1010)21(dyyxdx 101022121dxyyxy102)1(21 x 10)1(dxx23 例例2 解解 221111122 =x,y,z | x + yz, - xy- x , -x 111112222),(yxxxdzzyxfdydxI積分區(qū)域可表示為積分區(qū)域可表示為:由曲面由曲面z x2 y2及平面及平面z 1所所化三重積分化三重積分 dxdydzzyxfI),(積分，積分，其中積分區(qū)域其

11、中積分區(qū)域 xozy例例 3解解為三次為三次圍成圍成. 3)1(zyxdxdydz yxxdzzyxdydx1031010)1(1(x y z)| 0 z 1 x y 0 y 1 x 0 x 1 解解 xyxdyzyxdx1010210)1(21 xdyyxdx1021081)1(21例例4xozy111積分區(qū)域可表示為積分區(qū)域可表示為:dxyyxx 101081)1(21dxxx 108183)1(2110216183)1ln(21xxx )852(ln21 xozy111 xdyyxdx1021081)1(21z方法二：方法二：用截面法計(jì)算三重積分用截面法計(jì)算三重積分.z zDccdxdyzyxfdz),(21 dvzyxf),( 截面法是把三重積分化為一截面法是把三重積分化為一次積分和二次積分，次積分和二次積分， 且積分順且積分順序?yàn)樾驗(yàn)椤跋榷笠幌榷笠弧保虼艘卜Q，因此也稱為為“先二后一先二后