備戰(zhàn)202X高考數(shù)學大二輪復習專題二函數(shù)與導數(shù)2.3.1導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值課件理

1、2.32.3導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用-2-一、導數(shù)與函數(shù)的一、導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值單調(diào)性、極值、最值、最值-4-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性【思考】 函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性具有怎樣的關(guān)系?例1設(shè)aZ,已知定義在R上的函數(shù)f(x)=2x4+3x3-3x2-6x+a在區(qū)間(1,2)內(nèi)有一個零點x0,g(x)為f(x)的導函數(shù).(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)m1,x0)(x0,2,函數(shù)h(x)=g(x)(m-x0)-f(m),求證:h(m)h(x0)0,故當x1,x0)時,H1(x)0,H1(x)單調(diào)遞增.因此,當x1,x0)(x0,2時,H1(x)

2、H1(x0)=-f(x0)=0,可得H1(m)0,即h(m)0.令函數(shù)H2(x)=g(x0)(x-x0)-f(x),則H2(x)=g(x0)-g(x).由(1)知g(x)在區(qū)間1,2上單調(diào)遞增,故當x1,x0)時,H2(x)0,H2(x)單調(diào)遞增;當x(x0,2時,H2(x)0,H2(x)單調(diào)遞減.因此,當x1,x0)(x0,2時,H2(x)H2(x0)=0,可得H2(m)0,即h(x0)0.所以,h(m)h(x0)0或f(x)0;若已知y=f(x)的單調(diào)性,則轉(zhuǎn)化為不等式f(x)0或f(x)0在函數(shù)的單調(diào)區(qū)間上恒成立問題求解.-10-命題熱點一命題熱點二命題熱點三 答案解析解析關(guān)閉 答案解析

3、關(guān)閉對點訓練1設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),則f(x)是()A.奇函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)B.奇函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)C.偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)D.偶函數(shù),且在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)-11-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)求函數(shù)的極值或最值【思考】 函數(shù)的極值與導數(shù)有怎樣的關(guān)系?如何求函數(shù)的最值?例2已知函數(shù)f(x)=excos x-x.(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程;-12-命題熱點一命題熱點二命題熱點三解: (1)因為f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)

4、=0.又因為f(0)=1,所以曲線y=f(x)在點(0,f(0)處的切線方程為y=1.(2)設(shè)h(x)=ex(cos x-sin x)-1,則h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.-13-命題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思1.對于函數(shù)y=f(x),若在點x=a處有f(a)=0,且在點x=a附近的左側(cè)f(x)0,則當x=a時f(x)有極小值f(a);若在點x=b處有f(b)=0,且在點x=b附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0),g(x)=x3+bx.(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,求a,b的值;

5、(2)當a2=4b時,求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(-,-1上的最大值.解：(1)f(x)=2ax,g(x)=3x2+b.因為曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(1,c)處具有公共切線,所以f(1)=g(1),且f(1)=g(1),即a+1=1+b,且2a=3+b.解得a=3,b=3.-15-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-16-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-17-命題熱點一命題熱點二命題熱點三利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)的取值范圍【思考】 如何利用導數(shù)求與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)的取值范圍?例3已知函數(shù)f(x)=x3+ax+ ,g(x)=-ln x.(1)當a為

6、何值時,x軸為曲線y=f(x)的切線;(2)用minm,n表示m,n中的最小值,設(shè)函數(shù)h(x)=minf(x),g(x)(x0),討論h(x)零點的個數(shù).-18-命題熱點一命題熱點二命題熱點三(2)當x(1,+)時,g(x)=-ln x0,從而h(x)=minf(x),g(x)g(x)0,故h(x)在(1,+)無零點.故x=1是h(x)的零點;若a- ,則f(1)0,h(1)=minf(1),g(1)=f(1)0.所以只需考慮f(x)在(0,1)的零點個數(shù).()若a-3或a0,則f(x)=3x2+a在(0,1)無零點,故f(x)在(0,1)單調(diào).-19-命題熱點一命題熱點二命題熱點三-20-命

7、題熱點一命題熱點二命題熱點三題后反思與函數(shù)零點有關(guān)的參數(shù)范圍問題,往往利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點,并結(jié)合特殊點,從而判斷函數(shù)的大致圖象,討論其圖象與x軸的交點個數(shù)問題(或者轉(zhuǎn)化為兩個熟悉函數(shù)的交點問題),進而確定參數(shù)的取值范圍.-21-命題熱點一命題熱點二命題熱點三對點訓練3設(shè)函數(shù)f(x)=(1+x)2-2ln(1+x).(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若關(guān)于x的方程f(x)=x2+x+a在區(qū)間0,2上恰有兩個相異實根,求實數(shù)a的取值范圍.解：(1)函數(shù)的定義域為(-1,+),因為f(x)=(1+x)2-2ln(1+x),由f(x)0,得x0;由f(x)0,得-1x0,得x1;由

8、g(x)0,得-1x1.所以g(x)在0,1上單調(diào)遞減,在1,2上單調(diào)遞增.為使f(x)=x2+x+a在0,2上恰有兩個相異的實根,只須g(x)=0在0,1)和(1,2上各有一個實根,解得2-2ln 20的解集;若f(x)在M上單調(diào)遞增,則f(x)0在M上恒成立.2.f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減與f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為A不同,當f(x)在區(qū)間A上單調(diào)遞減時,A可能是f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間的一個真子集.若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為m,n,則在x=m(x=n)兩側(cè)導數(shù)值異號,f(m)=0(f(n)=0).3.求可導函數(shù)極值的步驟:(1)確定函數(shù)f(x)的定義域;(2)求f(x);(3)求f(x)=0

9、在定義域內(nèi)的根;(4)判定根兩側(cè)導數(shù)的符號;(5)下結(jié)論.要注意函數(shù)的極值點對應(yīng)的導數(shù)為0,但導數(shù)為0的點不一定是函數(shù)的極值點,必須是導數(shù)為0的點的左右附近對應(yīng)的導數(shù)異號.-24-規(guī)律總結(jié)拓展演練4.求函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的最大值與最小值,首先求出各極值及區(qū)間端點處的函數(shù)值;然后比較其大小,得出結(jié)論(最大的就是最大值,最小的就是最小值).5.對于研究方程根的個數(shù)的相關(guān)問題,利用導數(shù)這一工具和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想就可以很好地解決.這類問題求解的通法是:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域;(2)求導數(shù),得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)畫出函數(shù)圖象的草圖;(4)數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)的圖象與

10、x軸的交點情況進而求解.-25-規(guī)律總結(jié)拓展演練1.(2018全國,理5)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)為奇函數(shù),則曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為()A.y=-2xB.y=-x C.y=2x D.y=xD解析 因為f(x)為奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,則f(x)=x3+x.由f(x)=3x2+1,得在(0,0)處的切線斜率k=f(0)=1.故所求的切線方程為y=x.-26-規(guī)律總結(jié)拓展演練2.若x=-2是函數(shù)f(x)=(x2+ax-1)ex-1的極值點,則f(x)的極小值為(

11、)A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1A解析 由題意可得,f(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=x2+(a+2)x+a-1ex-1.因為x=-2是函數(shù)f(x)的極值點,所以f(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)ex-1.所以f(x)=(x2+x-2)ex-1.令f(x)=0,解得x1=-2,x2=1.當x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:所以當x=1時,f(x)有極小值,并且極小值為f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故選A.-27-規(guī)律總結(jié)拓展演練3.(2018全國,理13)曲線y=2ln(x+1)在點(0,0)處的切線方程為.y=2x當x=0時,y=2,曲線在(0,0)處的切線方程為y=2x.-28-規(guī)律總結(jié)拓展演練4.(1)討論函數(shù)f(x)= ex的單調(diào)性,并證明當x0時,(x-2)ex+x+20;(2)證明:當a0,1)時,函數(shù)g(x)= (x0)有最小值.設(shè)g(x)的最小值為h(a),求函數(shù)h(a)的值域.解：(1)f(x)的定義域為(-,-2)(-2,+).當且僅當x=0時,f(x)=0,所以f(x)在(-,-2),(-2,+)單調(diào)遞增.因此當x(0,+)時,f(x)f(0)=-