高二數(shù)學(xué)空間向量解決空間距離問題

1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法 -距離問題距離問題一、求點到平面的距離一、求點到平面的距離一般方法：一般方法：利用定義先作出過利用定義先作出過這個點到平面的垂這個點到平面的垂線段，再計算這個線段，再計算這個垂線段的長度。垂線段的長度。還可以用等積法求距離還可以用等積法求距離. .OdP向量法求點到平面的距離向量法求點到平面的距離AOdnPsin|AP nAP n d|AP nn 其中其中 為斜向量，為斜向量， 為法向量。為法向量。nAP sindAP sin| APd 二、直線到平面的距離二、直線到平面的距離AOdnPd|AP nn 其中其中 為斜向量，為斜向量， 為法向量。為法向量

2、。nAP l三、平面到平面的距離三、平面到平面的距離AOdnPd|AP nn 四、異面直線的距離四、異面直線的距離nabd|AP nn ?n?AP 是與是與 都垂直的向量都垂直的向量n, a b AP點到平面的距離：點到平面的距離：直線到平面的距離：直線到平面的距離：平面到平面的距離：平面到平面的距離：異面直線的距離：異面直線的距離：四種距離的統(tǒng)一向量形式：四種距離的統(tǒng)一向量形式：d|AP nn ABCD1A1B1C1DExyz(1) 求求B1到面到面A1BE的距離；的距離；如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求下列問題：的中點，

3、求下列問題：ABCD1A1B1C1DExyz如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求下列問題：的中點，求下列問題：(2) 求求D1C到面到面A1BE的距離；的距離；ABCD1A1B1C1Dxyz如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求下列問題：的中點，求下列問題：(3) 求面求面A1DB與面與面D1CB1的距離；的距離；ABCD1A1B1C1DExyz如圖，在正方體如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為中，棱長為1，E為為D1C1的中點，求下列問題：的中點，求

4、下列問題：(4) 求異面直線求異面直線D1B與與A1E的距離的距離.FEB1C1D1DCA練習(xí)練習(xí)1：已知棱長為已知棱長為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，E、F分別是分別是B1C1和和C1D1 的中點，求點的中點，求點A1到平到平面面DBEF的距離。的距離。BxyzA1練習(xí)練習(xí)2：已知棱長為已知棱長為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1，求平面求平面DA1C1和平面和平面AB1C間的距離。間的距離。B1C1D1DCABxyzA1練習(xí)練習(xí)3:已知棱長為已知棱長為1的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1，求直線求直線DA1和和AC間的距離。間的距離。B1C1D1DCABx

5、yzA1小結(jié)小結(jié) 利用法向量來解決上述立體幾何題目，最大利用法向量來解決上述立體幾何題目，最大的的優(yōu)點就是不用象在進行幾何推理時那樣去優(yōu)點就是不用象在進行幾何推理時那樣去確定垂足的位置確定垂足的位置，完全依靠計算就可以解決，完全依靠計算就可以解決問題。但是也有局限性，用代數(shù)推理解立體問題。但是也有局限性，用代數(shù)推理解立體幾何題目，關(guān)鍵就是得幾何題目，關(guān)鍵就是得建立空間直角坐標(biāo)系建立空間直角坐標(biāo)系，把向量通過坐標(biāo)形式表示出來，所以能用這把向量通過坐標(biāo)形式表示出來，所以能用這種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正種方法解題的立體幾何模型一般都是如：正（長）方體、直棱柱、正棱錐等。（長）方體、直棱柱

6、、正棱錐等。練習(xí)練習(xí)4：如圖在直三棱柱如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=1, ACB=900,AA1= ,2求求B1到平面到平面A1BC的距離。的距離。B1A1BC1ACxyz練習(xí)練習(xí)5：如圖在直三棱柱如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中，中，AC=BC=AB=1, AA1=2求求B1到平面到平面A1BC的距離。的距離。B1A1BC1ACxyzM練習(xí)練習(xí)6： 已知正方形已知正方形ABCD的邊長為的邊長為4，CG平面平面ABCD，CG=2,E、F分別是分別是AB、AD的中點，的中點，求點求點B到平面到平面GEF的距離。的距離。GBDACEFxyzSABCNMOxyz練習(xí)練習(xí)7

7、：在三棱錐在三棱錐S-ABC中，中，ABC 是邊長為是邊長為4的正三角的正三角形，平面形，平面SAC垂直平面垂直平面ABC，SA=SC= ， M、N分別為分別為AB、SB的中點，求：點的中點，求：點B到平面到平面CMN的距離的距離.32.)3()2(;)1(的距離的距離到平面到平面求點求點的大??；的大??；求二面角求二面角證明：證明：CMNBBCMNSBAC ABCD1A1B1C1DExyz1111( , , )2AEABnx y zABE =(-1, ,0),=(0,21,-1)設(shè)為面的法)向量，則110,0,n AEn AB 10,20,xyyz 2 ,2 ,yxzx即11110,1,0 ,BABEAB 選點 到面的斜向量為11(1,2,2)xABEn 取 ，得平面的一個法向量111123AB nBABEdn 得 到面的距離為ABCD1A1B1C1DExyzDxyz1解：以D為坐標(biāo)原點，DA所在的直線為x軸，DC所在的直線為y軸，DD 所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，1)如圖所示111(0,0,1), (1,1,0),(1,0,1),(0,1)2DBAE則111,0 ,2AE 11,1, 1D B 11( , , ),nx y zAE D B 設(shè)是與都垂直的向量，則110,0,n AEn D B 10,20,xyxyz