數(shù)學(xué)歸納法證明例題

1、例1用數(shù)學(xué)歸納法證明：請讀者分析下面的證法：證明：n=1時，左邊，右邊，左邊=右邊，等式成立假設(shè)n=k時，等式成立，即：那么當(dāng)n=k+1時，有：這就是說，當(dāng)n=k+1時，等式亦成立由、可知，對一切自然數(shù)n等式成立評述：上面用數(shù)學(xué)歸納法進行證明的方法是錯誤的，這是一種假證，假就假在沒有利用歸納假設(shè)n=k這一步，當(dāng)n=k+1時，而是用拆項法推出來的，這樣歸納假設(shè)起到作用，不符合數(shù)學(xué)歸納法的要求正確方法是：當(dāng)n=k+1時這就說明，當(dāng)n=k+1時，等式亦成立，例2是否存在一個等差數(shù)列an，使得對任何自然數(shù)n，等式：a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立，并證明你的結(jié)論分析：采用由特

2、殊到一般的思維方法，先令n=1，2，3時找出來an，然后再證明一般性解：將n=1，2，3分別代入等式得方程組，解得a1=6，a2=9，a3=12，則d=3故存在一個等差數(shù)列an=3n+3，當(dāng)n=1，2，3時，已知等式成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明存在一個等差數(shù)列an=3n+3，對大于3的自然數(shù)，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立因為起始值已證，可證第二步驟假設(shè)n=k時，等式成立，即a1+2a2+3a3+kak=k(k+1)(k+2)那么當(dāng)n=k+1時，a1+2a2+3a3+kak +(k+1)ak+1= k(k+1)(k+2)+ (k+1)3(k+1)+3=(k+1)(k

3、2+2k+3k+6)=(k+1)(k+2)(k+3)=(k+1)(k+1)+1(k+1)+2這就是說，當(dāng)n=k+1時，也存在一個等差數(shù)列an=3n+3使a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)成立綜合上述，可知存在一個等差數(shù)列an=3n+3，對任何自然數(shù)n，等式a1+2a2+3a3+nan=n(n+1)(n+2)都成立例3證明不等式 (nN)證明：當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=2左邊<右邊，不等式成立假設(shè)n=k時，不等式成立，即那么當(dāng)n=k+1時，這就是說，當(dāng)n=k+1時，不等式成立由、可知，原不等式對任意自然數(shù)n都成立說明：這里要注意，當(dāng)n=k+1時，要證的目標(biāo)是，當(dāng)代入歸納

4、假設(shè)后，就是要證明：認識了這個目標(biāo)，于是就可朝這個目標(biāo)證下去，并進行有關(guān)的變形，達到這個目標(biāo)例4已知數(shù)列an滿足a1=0，a2=1，當(dāng)nN時，an+2=an+1+an求證：數(shù)列an的第4m+1項(mN)能被3整除分析：本題由an+1=an+1+an求出通項公式是比較困難的，因此可考慮用數(shù)學(xué)歸納法當(dāng)m=1時，a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除當(dāng)m=k時，a4k+1能被3整除，那么當(dāng)n=k+1時，a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1=a4k+2+a4k+1+a4

5、k+2+a4k+2+a4k+1=3a4k+2+2a4k+1由假設(shè)a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除因此，當(dāng)m=k+1時，a4(k+1)+1也能被3整除由、可知，對一切自然數(shù)mN，數(shù)列an中的第4m+1項都能被3整除例5n個半圓的圓心在同一條直線l上，這n個半圓每兩個都相交，且都在直線l的同側(cè)，問這些半圓被所有的交點最多分成多少段圓??？分析：設(shè)這些半圓最多互相分成f (n)段圓弧，采用由特殊到一般的方法，進行猜想和論證 當(dāng)n=2時，由圖(1)兩個半圓交于一點，則分成4段圓弧，故f (2)=4=22當(dāng)n=3時，由圖(2)三個半徑交于三點，則分成9

6、段圓弧，故f (3)=9=32由n=4時，由圖(3)三個半圓交于6點，則分成16段圓弧，故f (4)=16=42由此猜想滿足條件的n個半圓互相分成圓弧段有f (n)=n2用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：當(dāng)n=2時，上面已證設(shè)n=k時，f (k)=k2，那么當(dāng)n=k+1時，第k+1個半圓與原k個半圓均相交，為獲得最多圓弧，任意三個半圓不能交于一點，所以第k+1個半圓把原k個半圓中的每一個半圓中的一段弧分成兩段弧，這樣就多出k條圓?。涣硗庠璳個半圓把第k+1個半圓分成k+1段，這樣又多出了k+1段圓弧 f (k+1)=k2+k+(k+1) =k2+2k+1=(k+1)2 滿足條件的k+1個半圓被所有的交點最

7、多分成(k+1)2段圓弧由、可知，滿足條件的n個半圓被所有的交點最多分成n2段圓弧說明：這里要注意；增加一個半圓時，圓弧段增加了多少條？可以從f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中發(fā)現(xiàn)規(guī)律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)N的4K+1次方-N為何是10的倍數(shù)？先證明n5-n一定是10 的倍數(shù)再用數(shù)學(xué)歸納法證明n(4k+1)-n也是10的倍數(shù)n5-n=n(n-1)(n+1)(n2+1)顯然n,n-1中必有一個數(shù)是偶數(shù) 所以n5-1是2的倍數(shù)下面分情況討論n=5t 5t+1 5t+2 5t+3 5t+4 都能得到n5-n 是5的倍數(shù)而(2,5)互

8、質(zhì) 所以n5-n是10 的倍數(shù)所以當(dāng)k=1時成立假設(shè)當(dāng)k=r時成立 即n(4r+1)-n=10s則當(dāng)k=r+1 時 n(4r+4+1)-n=(n4r+1-n)*n4+(n5-n)=n4*10s+n5-n由于n5-n是10的倍數(shù) 所以當(dāng)k=r+1時也成立證明:2的n次方大于2n+1,n是大于3的整數(shù)n=3時，23=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立設(shè)nk,k>3時成立則：2(k+1)=2*2k>2*(2k+1)=4k+2>2k+8>2(k+1)+1n=k+1時成立所以，2的n次方大于2n+1,n是大于2的整數(shù)證明：當(dāng)且僅當(dāng)指數(shù)n不能被4整除時，1n2n3n4n能被5整除證明 設(shè)A=1n2n3n4n，當(dāng)n=4k(k為整數(shù))時，1n、3n的個位數(shù)均為1，2n、4n的個位均為6，1+1+6+6=14，A的個位為4，顯然A不能被5整除當(dāng)n4k時，若n=4k+1，易知A的個位=（1+2+3+4）的個位=0，A能被5