推理的幾種基本方法

1、備 課 筆 記課題序號(hào)§13.2授課班級(jí)0965 / 0971/0952授課課時(shí)2課時(shí)授課形式新 授授課章節(jié)名 稱(chēng) 推理的幾種基本方法使用教具幻燈片 多媒體 教學(xué)目的 通過(guò)學(xué)習(xí)合情推理的方法使學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣，形成一定的創(chuàng)造性思維能力及創(chuàng)造的欲望，能從教學(xué)案例中學(xué)到一些合情推理的具體方法。理解演繹推理的涵義及其常用結(jié)構(gòu)（三段論），體會(huì)在證明和計(jì)算過(guò)程中所用到的演繹推理模式，并逐步形成良好的演繹推理習(xí)慣及較強(qiáng)的邏輯思維能力。理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和一般步驟，會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的關(guān)于自然數(shù)n的命題。教學(xué)重點(diǎn)1.合情推理與演繹推理的一般的方法2.歸納推理與類(lèi)比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的

2、應(yīng)用3.演繹推理的一般形式及其應(yīng)用4.數(shù)學(xué)歸納法的原理與應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)1.歸納推理與類(lèi)比推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的應(yīng)用2.演繹推理的一般形式及其應(yīng)用3.數(shù)學(xué)歸納法的原理與應(yīng)用更新、補(bǔ)充、刪節(jié)內(nèi) 容 無(wú)課外作業(yè)指導(dǎo)用書(shū)教學(xué)后記興趣是最好的老師，在教學(xué)中要注重培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣讓他們參與到用合情推理發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的過(guò)程中來(lái)。授課主要內(nèi)容或板書(shū)設(shè)計(jì)§13.2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1. 幾種主要的邏輯推理簡(jiǎn)單的說(shuō)，推理可以分為合情推理與演繹推理兩大類(lèi)。定義：合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等，推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程。定義：演繹推理是根據(jù)已有的

3、事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程。（1）歸納推理定義：歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）是從具體事實(shí)中概括出一般結(jié)論的一種推理模式。如果僅能對(duì)部分事實(shí)驗(yàn)證結(jié)論，則叫做不完全歸納法；如果能窮盡全部事實(shí)驗(yàn)證結(jié)論，則叫做完全歸納法。結(jié)論：不完全歸納法是一種合情推理，得出的結(jié)論未必正確；完全歸納法得出的結(jié)論是確鑿可信的。（2）類(lèi)比推理定義：類(lèi)比推理是在兩類(lèi)不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種推理模式。（3）演繹推理定義：演繹推理是由一般性的命題嚴(yán)格的推出特殊性命題的一種推理模式，主要用于證明給定的結(jié)論。演繹推

4、理過(guò)程一般分為大前提、小前提、推出結(jié)論三段，一般叫做三段論式。三段論可以表示為：一個(gè)一般性原理（大前提）：MP（M是P）；一個(gè)特殊情況（小前提）：SM（S是M）；結(jié)論：SP（S是P）。2. 數(shù)學(xué)歸納法：數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，由以下三步構(gòu)成：（1） 驗(yàn)證命題p當(dāng)n=1時(shí)為真；（2）設(shè)當(dāng)n=k時(shí)p為真；（3）證明當(dāng)n=k+1時(shí)p為真，則p對(duì)一切正自然數(shù)nN+為真。課 堂 教 學(xué) 安 排教學(xué)過(guò)程主要教學(xué)內(nèi)容及步驟一導(dǎo) 入二新課講授（雙向溝通）三小結(jié)“若p，則q”形式的數(shù)學(xué)命題的建立，命題是否為真的判定，都需要一個(gè)邏輯推理過(guò)程。根據(jù)命題不同，證明的方法也各不相同。這種推理、證明方法，也就是所謂邏

5、輯思維。在學(xué)習(xí)和掌握數(shù)學(xué)命題本省的同時(shí)，了解和學(xué)習(xí)邏輯推理過(guò)程、證明方法，有助于我們建立正確的推理方法，提高我們的邏輯思維能力。3. 幾種主要的邏輯推理簡(jiǎn)單的說(shuō)，推理可以分為合情推理與演繹推理兩大類(lèi)。定義：合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等，推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程。例如：哥德巴赫猜想：大于4的偶數(shù)都可以表示為兩奇素?cái)?shù)之和。6=3+3；8=3+5；10=5+5=3+7；12=5+7；.到目前為止這個(gè)淺顯易懂的猜想尚未得以證明，所以未必正確。定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得

6、到新結(jié)論的推理過(guò)程。（1）歸納推理定義：歸納推理（簡(jiǎn)稱(chēng)歸納）是從具體事實(shí)中概括出一般結(jié)論的一種推理模式。如果僅能對(duì)部分事實(shí)驗(yàn)證結(jié)論，則叫做不完全歸納法；如果能窮盡全部事實(shí)驗(yàn)證結(jié)論，則叫做完全歸納法。不完全歸納法舉例：給出數(shù)列前幾項(xiàng)an=2,4,6,8，要求寫(xiě)出數(shù)列的通項(xiàng)。答：通項(xiàng)為，（n=1，2，3，）十七世紀(jì)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬歸納出的猜想：是一個(gè)素?cái)?shù)?？沈?yàn)證當(dāng)n=0，1，2，3，4時(shí)這個(gè)猜想是正確的但n=5時(shí)它是錯(cuò)的。結(jié)論：三角形的內(nèi)角和為180°結(jié)論：不完全歸納法是一種合情推理，得出的結(jié)論未必正確；完全歸納法得出的結(jié)論是確鑿可信的。練習(xí):P18/1,2,3,4,5（2）類(lèi)比推理定義：類(lèi)比

7、推理是在兩類(lèi)不同的事物之間進(jìn)行對(duì)比，找出若干相同或相似點(diǎn)之后，推測(cè)在其他方面也可能存在相同或相似之處的一種推理模式。類(lèi)比推理從已知規(guī)律探索和發(fā)現(xiàn)未知的規(guī)律，所得的結(jié)論也是一種猜想，屬于合情推理。例如：正方形（邊長(zhǎng)為a）正方體（棱長(zhǎng)為a）四邊相等，鄰邊垂直六面全等，鄰面垂直面積a2體積a3周長(zhǎng)4a表面積6a2對(duì)角線長(zhǎng)體對(duì)角線長(zhǎng)周長(zhǎng)一定的矩形中，正方形面積最大表面積一定的長(zhǎng)方體中，正方體體積最大有內(nèi)切圓（半徑為）有內(nèi)切球（半徑為）正方形內(nèi)切圓的內(nèi)接正方形面積為原正方形面積的正方體內(nèi)切球的內(nèi)接正方體表面積為原正方體表面積的正方形的對(duì)稱(chēng)軸有4條？（3）演繹推理定義：演繹推理是由一般性的命題嚴(yán)格的推出特

8、殊性命題的一種推理模式，它主要用于證明給定的結(jié)論。演繹推理過(guò)程一般分為大前提、小前提、推出結(jié)論三段，一般叫做三段論式。三段論可以表示為：一個(gè)一般性原理（大前提）：MP（M是P）；一個(gè)特殊情況（小前提）：SM（S是M）；結(jié)論：SP（S是P）。例1已知f（x+3）=2x2-1，求f（0），f（x）。解：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x+3）=2x2-1（大前提）取x=-3（小前提），則f（-3+3）=f（0）=17.（結(jié)論）對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f（x+3）=2x2-1令x+3=t，即取x=t-3（小前提），則f（t）=2（t-3）2-1=2t2-12t+17.(結(jié)論)對(duì)任意實(shí)數(shù)t，f（t）=2t2-12t+17（大

9、前提）取t=x（小前提），則f（x）=2x2-12x+17（例2求證：函數(shù)f（x）=x4+2x2-1的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。證明：f（x）的定義域?yàn)镽。當(dāng)xR時(shí)，f（-x）=（-x）4+2（-x）2-1= x4+2x2-1= f（x）所以f（x）為偶函數(shù)，又因?yàn)榕己瘮?shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，所以函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)。分析：先證得f（x）為偶函數(shù)的結(jié)論，使“f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”這個(gè)特殊問(wèn)題與“偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)”這個(gè)一般性命題建立了聯(lián)系。練習(xí)：P22/14. 數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納法，由以下三步構(gòu)成：（2） 驗(yàn)證命題p當(dāng)n=1時(shí)為真；（3） 設(shè)當(dāng)n=k時(shí)p為真；（4） 證明當(dāng)n=k+1時(shí)p為真，則p對(duì)一切正自然數(shù)nN+為真。這種方法適用于與自然數(shù)n有關(guān)的命題的完全歸納。例3：n=1時(shí)，a1=a1+（1-1）d=a1，公式是正確的。設(shè)當(dāng)n=k時(shí)公式正確，即ak=a1+（k-1）d，則當(dāng)