復數誕生艱難歷程

1、復數誕生的復數誕生的艱難歷程艱難歷程 數學講座數學講座 譚 巍一、籠罩著懷疑一、籠罩著懷疑-虛數的誕生。虛數的誕生。1.虛數的誕生是數學發(fā)展的必然。虛數的誕生是數學發(fā)展的必然。 十六世紀前人們普遍認為負數不能開平十六世紀前人們普遍認為負數不能開平 方。但到十六世紀初，人們在尋求三次方。但到十六世紀初，人們在尋求三次方程求根公式時，再次遇到負數開平方方程求根公式時，再次遇到負數開平方的問題。如不承認它，代數就無法發(fā)展的問題。如不承認它，代數就無法發(fā)展了。數學本身的需要逼迫人們承認負數了。數學本身的需要逼迫人們承認負數可以是某數的平方，但這將意味著否定可以是某數的平方，但這將意味著否定原來的數的概

2、念，突破實數對數學的限原來的數的概念，突破實數對數學的限制，因此虛數的誕生是數學發(fā)展的必然。制，因此虛數的誕生是數學發(fā)展的必然。(10)40 xx210400 xx515x 2.著名的著名的“卡爾丹方程卡爾丹方程”。 卡爾丹，十六世紀意大利數學家，卡爾丹，十六世紀意大利數學家，1545年在著作中提出這樣的問題：年在著作中提出這樣的問題：“兩數的和是兩數的和是10，積為，積為40，求這兩個，求這兩個數。列出方程是數。列出方程是: x(10-x)=40, 求出根求出根:15 又說：又說：“我不管受到多大的良心的責我不管受到多大的良心的責備，但這兩個數相乘確實得到備，但這兩個數相乘確實得到40。他。

3、他第一次提出了負數的平方根存在，但第一次提出了負數的平方根存在，但又懷疑它的合法性。又懷疑它的合法性。25 二十七年后又一個意大利人把二十七年后又一個意大利人把 寫成寫成3i，并利用這一結果完整地，并利用這一結果完整地解決了三次方程的求根公式問題。解決了三次方程的求根公式問題。（關于三次方程的求根公式有一（關于三次方程的求根公式有一段十分有趣的歷史疑案，同學們段十分有趣的歷史疑案，同學們如有興趣今后抽時間再介紹之。）如有興趣今后抽時間再介紹之。）9二、三百年之爭二、三百年之爭-虛數合法嗎？虛數合法嗎？1. 1.虛數誕生后象一個怪胎，受到人們的懷虛數誕生后象一個怪胎，受到人們的懷疑和冷遇。如卡爾

4、丹自己也認為虛數捉疑和冷遇。如卡爾丹自己也認為虛數捉摸不定；如到了十七世紀（摸不定；如到了十七世紀（16291629年）一年）一荷蘭人吉拉德承認虛數荷蘭人吉拉德承認虛數“有用有用”它一定它一定有自己的一套法則；又如有自己的一套法則；又如16371637年法國數年法國數學家笛卡爾在學家笛卡爾在幾何學幾何學一書中第一次一書中第一次給出了虛數的名稱和實數相對。他說：給出了虛數的名稱和實數相對。他說：“-真的（正的）、假的（負的）根真的（正的）、假的（負的）根并不總是實的，它們有時是虛的并不總是實的，它們有時是虛的”此后此后虛數的名稱開始流行起來。虛數的名稱開始流行起來。2. 但是，虛數的幾何意義發(fā)現

5、之前，虛數總給但是，虛數的幾何意義發(fā)現之前，虛數總給人以虛無縹緲之感，連一些大數學家也不例外。人以虛無縹緲之感，連一些大數學家也不例外。如牛頓就認為復數沒有意義。他說：如牛頓就認為復數沒有意義。他說：“正是方正是方程的根常出現不可能的情況，才不致使不可能程的根常出現不可能的情況，才不致使不可能解的問題顯得象是可解的樣子。解的問題顯得象是可解的樣子。”德國數學家德國數學家萊布尼茲曾把虛數稱為：萊布尼茲曾把虛數稱為：“（虛數）是美妙的（虛數）是美妙的不可思議的神靈的避難所。不可思議的神靈的避難所?！钡搅耸耸兰o在到了十八世紀在17年時偉大的瑞士數學家歐拉雖然已經多次應年時偉大的瑞士數學家歐拉雖然已

6、經多次應用復數，但他認為用復數，但他認為“虛數是幻想中的數。虛數是幻想中的數。”說：說：“一切形如的數學式都是不可能存在的想象中一切形如的數學式都是不可能存在的想象中的數，它們既不是什么都不是，也不比什么都的數，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻。它們純屬虛幻?！比?、地位的確定三、地位的確定-“-“高斯平面高斯平面”的建立。的建立。 十八世紀末德國數學家高斯證明了代數十八世紀末德國數學家高斯證明了代數基本定理（一元基本定理（一元n n次方程有且僅有次方程有且僅有n n個個根），高斯的證明依賴對復數的承認。

7、根），高斯的證明依賴對復數的承認。 到到18311831年高斯詳細說明了復數的幾何意年高斯詳細說明了復數的幾何意義，即建立復平面，用復平面內的點來義，即建立復平面，用復平面內的點來表示復數，即，并第一次使用了復數這表示復數，即，并第一次使用了復數這個術語，并用個術語，并用i i來表示虛數單位，并且來表示虛數單位，并且建立起復數系。建立起復數系。 高斯的工作為復數爭得了合法地位，高斯的工作為復數爭得了合法地位，結束了近三百年的爭論后人為了紀念高結束了近三百年的爭論后人為了紀念高斯這一不朽功勛，就把斯這一不朽功勛，就把“復平面復平面”稱為稱為“高斯平面高斯平面”。 因此十九世紀后，在復數系的基礎因

8、此十九世紀后，在復數系的基礎上一個龐大的數學分支上一個龐大的數學分支-復變函數論復變函數論出現了，它為近代科學研究提供了一個出現了，它為近代科學研究提供了一個有力的數學工具有力的數學工具。四、既抽象又矛盾四、既抽象又矛盾-復數的復雜性。復數的復雜性。 復數誕生的艱難歷程給我們的啟復數誕生的艱難歷程給我們的啟示：示：1 1 數學內部的矛盾推動了數學的發(fā)數學內部的矛盾推動了數學的發(fā)展，虛數本身就是矛盾的產物。展，虛數本身就是矛盾的產物。2. 2. 虛數本身的矛盾外現于虛數與實虛數本身的矛盾外現于虛數與實數的矛盾，二者的每一方都是對數的矛盾，二者的每一方都是對另一方的否定，但復數系卻把它另一方的否定，但復數系卻把它們統(tǒng)一起來成為一個和諧的整體。們統(tǒng)一起來成為一個和諧的整體。3. 3. 復數的高度抽象性比較深刻地反復數的高度抽象性比較深刻地反映了復雜現象及其本質聯系，對數映了復雜現象及其本質聯系，對數學的各個分支有著深刻的影響。這學的各個分支有著深刻的影響。這以后的數的發(fā)展（如四元數，八元以后的數的